模擬試卷解答

模擬試題 Q3：完整解答（solution）及自編評分指引

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

返回題目。全部評分指引均為自編。

模擬 Q3 · 設支撐的無側移柱；全部幾何資料亦列於旁邊題目。 — 自編模擬試題圖：有支撐、無側移（sway）鋼柱（braced non-sway column）。頂端箭嘴表示設計壓力（compressive force） $F_{c} = 1000 kN$ 。型鋼 $254 \times 254 \times 89$ UC，兩軸有效長度（effective length） $L_{E, x} = L_{E, y} = 3500 mm$ 。均勻一階彎矩（bending moment） $M_{x} = 80$ 、 $M_{y} = 40 kN \cdot m$ ；兩軸放大係數 $1.1$ 。已給 $m_{x} = m_{y} = m_{LT} = 1$ 及已放大 $M_{LT} = 88 kN \cdot m$ 。示意圖不按比例，以數值標註為準。開啟原尺寸圖片。

查表（table lookup）：Data File 第 11 頁，準確選取 $254 \times 254 \times 89$ UC 列。分開讀尺寸／局部寬厚比（width-to-thickness ratio）表及截面性質（section properties）表。圖中 $x - x$ 軸水平穿腹板（web）， $y - y$ 軸垂直穿其中央。

截面性質（section properties）	數值與單位
翼緣（flange）／腹板厚度（web thickness）／兩根部之間的腹板（web）淨深度	$T = 17.3 mm$ 、 $t = 10.3 mm$ 、 $d = 200.3 mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 7.41$ 、 $\frac{d}{t} = 19.4$ 。
迴轉半徑（radius of gyration）（由 $cm$ 換算）	$r_{x} = 11.2 \times 10 = 112 mm$ ； $r_{y} = 6.55 \times 10 = 65.5 mm$ 。
面積（Area）	$A = 113 {cm}^{2} = 11300 {mm}^{2}$ 。
彈性截面模數（elastic section modulus）	$Z_{x} = 1096 {cm}^{3}$ ； $Z_{y} = 379 {cm}^{3}$ 。
塑性截面模數（plastic section modulus）	$S_{x} = 1224 {cm}^{3}$ ； $S_{y} = 575 {cm}^{3}$ 。
LTB 參數	$u = 0.85$ 、 $x = 14.5$ ，兩者均無量綱（dimension）。

(a) 先分類，再選抗力模型

淺白解說（Simple explanation）：薄板會先起皺（Local buckling）

整根鋼構件尚未發揮預期承載力，薄板部分可能已先起皺。

分別按定義算翼緣（Flange）及腹板（Web）的寬厚比。
把各比值與適用截面類別（Section class）界限比較。
較不利板件決定整個截面的類別。

注意（Remember）：彎曲（Bending）與均勻受壓（Uniform compression）的界限不同。

相關概念與完整方法（Full method）

T = 17.3 mm

，按 S355 厚度區間取

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

翼緣

\frac{b}{T} = 7.41

；Class 1 限值

9 ε = 8.035248

；Class 2 限值

10 ε = 8.928054

。翼緣屬 Class 1。
腹板應力參數：

r_{1} = \frac{F}{d t p_{y}} = \frac{1000 \times 1,000}{200.3 \times 10.3 \times 345}

按

0 \leq r_{1} \leq 1

限定後得

1.000000

。對此範圍內任何

r_{1}

，保守的 Class 1 腹板限值為

40 ε = 35.712215

。

\frac{d}{t} = 19.4 < 35.712215

，腹板符合此較嚴格限值。整體屬 Class 1，採用受上限約束的塑性截面抗力。

講義 Class 1 組合應力（stress）腹板（web）限值 $\frac{80 ε}{1 + r_{1}}$ 不會低於 $40 ε$ ，因為 $r_{1} \leq 1$ 。採用此較嚴格界限，既保守，也避免在沒有依據下宣告塑性（plasticity）分類。翼緣（flange）仍須獨立驗算（check）。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）1 個概念 · 3 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

(b) 截面組合驗算（check）

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

在同一截面，壓力（compressive force）及彎矩（bending moment）共用材料承載能力。使用已放大彎矩，以及受上限限制的塑性（plasticity）抗彎承載力（moment resistance）。總和不得超過 $1$ ；以下各項均無量綱（dimension）。

A_{g} p_{y} = \frac{113 \times 100 \times 345}{1,000} = 3898.5 kN

M_{x, amp} = 1.1 \times 80 = 88 kN \cdot m

M_{y, amp} = 1.1 \times 40 = 44 kN \cdot m

M_{cx} = \min (\frac{345 \times 1224}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 1096}{1,000})

= \min (422.28, 453.744) = 422.28 kN \cdot m

M_{cy} = \min (\frac{345 \times 575}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 379}{1,000})

= \min (198.375, 156.906) = 156.906 kN \cdot m

截面組合比值：

\frac{1000}{3898.5} + \frac{88}{422.28} + \frac{44}{156.906} = 0.745324

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

(c) 構件彎曲屈曲（flexural buckling）組合驗算（check）

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

Table 8.7：熱軋（hot-rolled） H 形（UC），最大厚度（thickness） $\leq 40 mm$ ，繞 $x$ 軸用曲線 $b$ ，繞 $y$ 軸用曲線 $c$ 。使用 Data File 第 8 頁的 $p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 欄。兩軸曲線不同，因此不能只看長細比（slenderness ratio）便判定控制軸。

已給有效長度：

L_{Ex} = L_{Ey} = 3500 mm

λ_{x} = \frac{3500}{112} = 31.250000

λ_{y} = \frac{3500}{65.5} = 53.435115

x

軸用曲線 b：

30

行為

325

，

35

行為

318 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{31.250000 - 30}{35 - 30} = 0.250000

p_{c} = 325 + 0.250000 \times (318 - 325) = 323.250000 \frac{N}{{mm}^{2}}

y

軸用曲線 c：

52

行為

263

，

54

行為

258 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{53.435115 - 52}{54 - 52} = 0.717557

p_{c} = 263 + 0.717557 \times (258 - 263) = 259.412214 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{A p_{cx}}{10} = \frac{113 \times 323.250000}{10} = 3652.725000 kN

P_{cy} = \frac{113 \times 259.412214}{10} = 2931.358015 kN

P_{c} = \min (P_{cx}, P_{cy}) = 2931.358015 kN

構件相互作用（interaction）使用彈性（elasticity）彎矩（bending moment）分母 $p_{y} Z$ ，即使截面驗算（check）使用塑性截面模數（plastic section modulus）亦然。此處使用已放大彎矩。

M_{ex} = \frac{345 \times 1096}{1,000} = 378.12 kN \cdot m

M_{ey} = \frac{345 \times 379}{1,000} = 130.755 kN \cdot m

\frac{F}{P_{c}} + \frac{m_{x} M_{x, amp}}{M_{ex}} + \frac{m_{y} M_{y, amp}}{M_{ey}}

= \frac{1000}{2931.358015} + \frac{1 \times 88}{378.12} + \frac{1 \times 44}{130.755}

= 0.910376

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

(c) LTB 組合驗算（check）

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

連續／無側移（sway）構件：Class 1／2 採用 $β_{W} = 1$ 。按指定有效長度（effective length），完整計算 $u$ 、 $v$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{3500}{65.5} = 53.435115

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{53.435115}{14.5})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.878487

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}} = 0.85 \times 0.878487 \times 53.435115 \times 1 = 39.900763

查 Data File 第 5 頁 Table 8.3a 的 $p_{y} = 345$ 欄：

35

行為

332

，

40

行為

317 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{39.900763 - 35}{40 - 35} = 0.980153

p_{b} = 332 + 0.980153 \times (317 - 332) = 317.297710 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = p_{b} S_{x} = \frac{317.297710 \times 1224}{1,000} = 388.372397 kN \cdot m

課程 Eq.8.81 的最後一項使用一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）。 $M^{LT}$ 是指定的已放大強軸（major axis）值，不可再放大。軸力（axial force）分母為 $P_{cy}$ 。

\frac{F}{P_{cy}} + \frac{m_{LT} M_{LT}}{M_{b}} + \frac{m_{y} M_{y, first}}{M_{ey}}

= \frac{1000}{2931.358015} + \frac{1 \times 88}{388.372397} + \frac{1 \times 40}{130.755}

= 0.873641

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 5 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

精簡答案與自擬評分指引

$p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ ； $P_{cx} = 3652.725 kN$ 、 $P_{cy} = 2931.358 kN$ ； $M_{cx} = 422.280 kN \cdot m$ 、 $M_{cy} = 156.906 kN \cdot m$ ； $M_{b} = 388.372 kN \cdot m$ 。組合比值：截面 $0.745324$ 、彎曲屈曲（flexural buckling） $0.910376$ 、軸力（axial force）／LTB $0.873641$ 。題目要求的三項強度驗算（check）全部通過。

自編配分：截面分類（section classification） $4$ ；截面性質（section properties）／放大 $3$ 、截面組合驗算（check） $3$ ；曲線／長細比（slenderness ratio） $4$ 、抗壓強度插值（interpolation） $4$ 、彎曲屈曲（flexural buckling）式／結果 $4$ 、準確 LTB 計算 $5$ 、第二項構件組合驗算／結論 $3$ 。不要把已給 $88 kN \cdot m$ 再乘 $1.1$ 。

動畫解說（Animation lab）跟隨計算程序（Calculation sequence）2 個概念 · 6 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

找出荷載、支承、連接幾何及題目明示的假設。
分清已知值、查表值及計算值，並統一單位。
原式播放器按原有次序逐步顯示計算式。
比較需求與承載力或相關限值；明確保留缺少資料及條件式結論。