模擬試卷解答

模擬試題 Q4：完整解答（solution）及自編評分指引

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

中英術語對照（Terminology）

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

返回題目。全部評分指引均為自編。

模擬 Q4 · 兩個相等的設計集中荷載；全部幾何資料亦列於旁邊題目。 — 自編模擬試題圖：兩個相等的設計集中荷載（two equal design point loads）。 $457 \times 191 \times 67$ UB 忽略自重（self-weight）；B、C 各有向下 $140 kN$ 箭嘴。A–B、B–C、C–D 各 $2 m$ ；A、D 為豎向支座。示意圖不按比例，以標註尺寸為準。開啟原尺寸圖片。

(a) 平衡及內力圖

淺白解說（Simple explanation）：反力為何要平衡？（Equilibrium）

想像一塊蹺蹺板：不能跌下，也不能一直轉動。

向上反力（Reactions）總和要平衡向下荷載。
以支承點取矩（Moments），該支承反力便沒有力臂。
力臂（Lever arm）是取矩點至力作用線的垂直距離。

注意（Remember）：側向約束（Lateral restraint）不一定提供豎向支承。

相關概念與完整方法（Full method）

R_{D} \times 6 = 140 \times 2 + 140 \times 4 = 840

故

R_{D} = 140 kN

。

R_{A} = 280 - 140 = 140 kN

AB 段

V = + 140

，BC 段

V = 0

，CD 段

V = - 140

。
AB 段

M = 140 x

；BC 段

M = 280

；CD 段

M = 140 (6 - x)

，其中

x

以

m

計。

M_{\max} = 280 kN \cdot m

；兩端彎矩為零。

由計算繪製的剪力及彎矩圖，標示支承及荷載位置的縱座標；正值向上。所有數值均在計算過程重列。 — 計算所得的教學圖，並非原始來源圖片。Calculated diagrams＝計算內力圖；positive ordinates upward＝正縱座標向上；Shear force＝剪力；Bending moment＝彎矩。位置以 $m$ 、 $V$ 以 $kN$ 、 $M$ 以 $kN \cdot m$ 表示；A、B、C、D 與題圖同位，數值在上文分段方程另列。開啟原尺寸圖片。

動畫解說（Animation lab）建立剪力及彎矩圖（SFD / BMD）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意為 6 m 簡支樑承受 60 kN 集中荷載；先平衡反力，再切開截面。
在集中荷載之前， $V = R_{A}$ 、 $M = R_{A} x$ ，彎矩沿長度線性增加。
剪力向下跳 P；右側 $V = R_{A} - P$ ， $M = R_{A} x - P (x - a)$ 。
本例彎矩連續，並在 B 點回到零；若施加集中力偶，彎矩圖則會出現跳躍。

(b) 只在兩端設側向約束（lateral restraint）

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，準確選取 $457 \times 191 \times 67$ UB 列。第 9 頁列尺寸，第 10 頁列截面性質（section properties）。 $D$ 是總深度； $d$ 是兩角根圓角之間的腹板（web）淨深度，不是型鋼標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 453.4$ 、腹板（web） $t = 8.5$ 、翼緣（flange） $T = 12.7$ 、角根半徑 $r = 10.2$ 、淨深 $d = 407.6$ ，單位全為 $mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 7.48$ ； $\frac{d}{t} = 48$ 。
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 29380 {cm}^{4} = 2.938 \times 10^{8} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 1296 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 1471 {cm}^{3}$ 。
LTB 所需性質	$r_{y} = 4.12 cm = 41.2 mm$ ； $u = 0.872$ ；扭轉指數 $x = 37.9$ 。

S355，翼緣

T = 12.7 mm

，所以

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣：

\frac{b}{T} = 7.48 < 9 ε = 7.921268

受彎腹板：

\frac{d}{t} = 48 < 80 ε = 70.411267

兩者均屬 Class 1，所以

β_{W} = 1

，可用塑性彎矩承載力。

\frac{d}{t} = 48 < 70 ε = 61.609858

按課程限值，不須計算剪切屈曲。

A_{v} = t D = 8.5 \times 453.4 = 3853.9 {mm}^{2}

V_{c} = \frac{p_{y} A_{v}}{\sqrt{3}} = \frac{355 \times 3853.9}{\sqrt{3} \times 1,000} = 789.892822 kN

V_{\max} = 140.000000 kN < V_{c}

剪力通過。

0.6 V_{c} = 473.935693 kN > V_{\max}

連最大剪力也屬低剪力，故全樑均可用低剪力抗彎公式。

M_{c} = \min (p_{y} S_{x}, 1.2 p_{y} Z_{x})

= \min (\frac{355 \times 1471}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 1296}{1,000})

= \min (522.205, 552.096) = 522.205 kN \cdot m

| M |_{\max} = 280.000000 kN \cdot m

彎曲通過。

全跨四分點

x = 1.5

、

3

、

4.5 m

，得

M_{2} = 210

、

M_{3} = 280

、

M_{4} = 210 kN \cdot m

。

m_{LT} = 0.2 + \frac{0.15 \times 210 + 0.5 \times 280 + 0.15 \times 210}{280}

= 0.2 + \frac{203}{280} = 0.925

等效需求：

0.925 \times 280 = 259 kN \cdot m

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{6000}{41.2} = 145.631068

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{145.631068}{37.9})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.870908

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.872 \times 0.870908 \times 145.631068 \times 1 = 110.596877

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 355$ 欄：

110

行為

120

，

115

行為

111 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{110.596877 - 110}{115 - 110} = 0.119375

p_{b} = 120 + 0.119375 \times (111 - 120) = 118.925621 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{118.925621 \times 1471}{1,000} = 174.939589 kN \cdot m

等效均勻彎矩需求：

m_{LT} M_{\max} = 259.000000 kN \cdot m

利用率：

\frac{259.000000}{174.939589} = 1.480511

不通過。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）7 個概念 · 20 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

(c) 兩個荷載處均設側向約束（lateral restraint）

淺白解說（Simple explanation）：這一步到底用哪個長度？

側向拉繫可縮短屈曲範圍，但不一定改變樑的豎向跨度。

分開支承跨度（Support span）與側向約束間距（Unbraced length）。
按實際端部約束及荷載，套課程有效長度（Effective length）規則。
豎向支承沒有改變，就保留原有豎向荷載分析。

注意（Remember）：約束某一方向，不代表同時約束另一方向。

相關概念與完整方法（Full method）

豎向支座仍是 A／D，彎矩圖（bending moment diagram, BMD）不變。新 LTB 分段 AB、BC、CD 各有 $L_{E} = 2000 mm$ 。AB／CD 彎矩圖為三角形，由 $0$ 增至 $280$ 或由 $280$ 降至 $0$ ，故 $m_{LT} = 0.6$ 。BC 彎矩（bending moment）恆為 $280$ ，故 $m_{LT} = 1$ 。各段抗力相同，所以 BC 控制。

AB／CD 需求：

0.6 \times 280 = 168 kN \cdot m

BC 需求：

1 \times 280 = 280 kN \cdot m

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{2000}{41.2} = 48.543689

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{48.543689}{37.9})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.980484

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.872 \times 0.980484 \times 48.543689 \times 1 = 41.503979

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 355$ 欄：

40

行為

325

，

45

行為

309 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{41.503979 - 40}{45 - 40} = 0.300796

p_{b} = 325 + 0.300796 \times (309 - 325) = 320.187267 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{320.187267 \times 1471}{1,000} = 470.995470 kN \cdot m

等效均勻彎矩需求：

m_{LT} M_{\max} = 280.000000 kN \cdot m

利用率：

\frac{280.000000}{470.995470} = 0.594486

通過。

控制的 BC 需求通過；AB／CD 需求更小而抗力相同，故全部三段 LTB 驗算（check）通過。未改變的剪力（shear force）及截面抗彎驗算仍有效。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）4 個概念 · 8 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

精簡答案與自擬評分指引

$R_{A} = R_{D} = 140 kN$ ； $M_{\max} = 280 kN \cdot m$ 。只有端部約束： $m_{LT} = 0.925$ ，等效需求 $259 kN \cdot m$ ；截面強度通過，但 LTB 不通過。加 B／C 約束後，每段 $L_{E} = 2 m$ ；AB／CD 需求 $168$ ，BC 需求 $280 kN \cdot m$ ；與上文共同的 $M_{b}$ 比較，全部通過。

自編配分：(a) 反力（reaction） $2$ 、標註正確的剪力圖（shear force diagram, SFD）／彎矩圖（bending moment diagram, BMD） $2$ ；(b) 截面性質（section properties）／分類 $4$ 、剪力（shear force）／彎曲 $4$ 、彎矩（bending moment）係數 $3$ 、準確 LTB 查表（table lookup）／驗算（check） $5$ ；(c) 豎向分析不變／段長 $2$ 、全部彎矩圖形狀 $3$ 、共同抗力 $3$ 、結論 $2$ 。

動畫解說（Animation lab）讀取同一段的彎矩形狀（Moment factor）5 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

彎矩縱座標須屬於同一個有效無側向支承段。
同側彎曲與反曲率彎矩圖有不同的端彎矩比正負號。
標記是此段的 ¼、½、¾ 位置，不一定是整樑的四分點。
側扭屈曲與柱彎曲屈曲係數不同，須保留各自的界限及係數組。