鋼樑（steel beam）：荷載、截面驗算（check）與側向穩定

1. 辨認受約束的是哪種移動

淺白解說（Simple explanation）：支承不會自動阻止所有移動

托住尺子，不代表同時阻止它側移或扭轉。

1. 分開辨認豎向支承、側向約束（Lateral restraint）及抗扭約束（Torsional restraint）。
2. 按各段彎矩找出受壓翼緣（Compression flange）。
3. 只計入題目實際提供的約束。

注意（Remember）：多一個側向約束，不等於多一個豎向反力。

相關概念與完整方法（Full method）

豎向支承限制豎向移動；側向約束（lateral restraint）限制受壓翼緣（compression flange）向側面移動；抗扭約束（torsional restraint）限制截面扭轉。三者是不同條件：樑即使承托在兩個支承上，仍可能在兩者之間向側面屈曲（buckling）。正彎矩（sagging）使上翼緣（flange）受壓，負彎矩（hogging）使下翼緣受壓。辨認需要約束的翼緣時，必須跟隨彎矩（bending moment）正負號判斷。

課程容許把能抵抗最大已乘分項系數受壓翼緣（compression flange）力之 $2.5\text{\%}$ 的約束，視為完全側向約束（lateral restraint）。在講義指定的模型中，混凝土樓板（slab）通常能提供這種約束。若題目明言「完全約束」（fully restrained），仍須驗算（check）截面、剪力（shear force）、局部腹板（web）及正常使用性能。若只在個別位置設約束，則還須對每一段驗算 LTB。集中荷載（point load）本身不會自動成為約束。

2. 抗剪承載力（shear resistance）與腹板（web）寬厚比（width-to-thickness ratio）

淺白解說（Simple explanation）：剪力在做甚麼？（Shear）

想像把樑切開：剪力阻止兩個切面相對滑動。

1. 先由荷載分析求設計剪力（Design shear）。
2. 按截面種類選剪切面積（Shear area）及強度。
3. 把需求（Demand）和抗力（Resistance）換成相同力單位再比較。

注意（Remember）：工字截面的大部分豎向剪力通常由腹板（Web）承擔。

相關概念與完整方法（Full method）

$D$ 是截面總深度，$d$ 是腹板（web）淨深度，$t$ 是腹板厚度（web thickness），$T$ 是翼緣厚度（flange thickness）。熱軋（hot-rolled）及焊接截面的公式不同。對詳解樑題所用的熱軋截面，若 $\frac{d}{t}\le 70\epsilon$，便毋須另外驗算（check）腹板剪切屈曲（buckling）；其中 $\epsilon =\sqrt{\frac{275}{p_y}}$。這不代表可略去集中荷載（point load）下的腹板承壓（web bearing）或腹板屈曲（web buckling）。應把設計剪力（shear force）的最大絕對值與 $V_c$ 比較。

3. 低剪力（low shear）下的抗彎承載力（moment resistance）

淺白解說（Simple explanation）：一邊壓、一邊拉（Bending）

彎曲使截面兩側做相反工作：一側被壓短，另一側被拉長。

1. 先按實際荷載及支承求彎矩（Moment）。
2. 按截面類別選適用抗彎承載力（Moment resistance）公式。
3. 檢查同一位置的共同作用剪力（Coexistent shear）會否改變公式。

注意（Remember）：要用該位置的剪力，不是隨意套用另一位置的最大剪力。

相關概念與完整方法（Full method）

按翼緣（flange）及腹板（web）限值判定截面類別（section class），取較不利的一類。在所驗算（check）的位置，若 $\left|V\right|\le 0.6V_c$，便使用下列低剪力（low shear）承載力（resistance）。$S$ 是塑性截面模數（plastic section modulus），$Z$ 是彈性截面模數（elastic section modulus）。以 ${\text{cm}}^3$ 表示的性質須乘 $\mathrm{1,000}$ 才變成 ${\text{mm}}^3$；$p\times S$ 的結果若為 $\text{N}·\text{mm}$，則除以 ${10}^6$ 得 $\text{kN}·\text{m}$。

本課程方法的 $1.2p_{y}Z$ 上限，用來限制工作荷載下的塑性（plasticity）發展。驗算（check） $M\le M_c$。此處不可把 $M$ 換成經折減的 LTB 等效彎矩（bending moment），因為截面承受的是實際彎矩。若 Class 4 的有效截面模數（section modulus）未知，便是缺少設計資料，不能因此改用毛截面的 $Z$。

4. 剪力（shear force）偏高時，驗算（check）有甚麼改變？

淺白解說（Simple explanation）：腹板同時做兩份工作

剪力很大時，腹板（Web）可留給抗彎的能力會減少。

1. 先用共同作用剪力（Coexistent shear）檢查課程觸發界限。
2. 需要時，選適用的折減抗彎（Reduced bending）公式。
3. 把彎矩需求與折減後抗力重新比較。

注意（Remember）：只有符合高剪力（High shear）條件時才折減，不是每條樑都要做。

相關概念與完整方法（Full method）

只有同一位置的共存剪力（shear force）超過 $0.6V_c$，才使用這一分支。$S_v$ 是剪切面積（shear area）繞彎曲軸的塑性截面模數（plastic section modulus），不是整個截面的 $S$。對寬 $t$、深 $h$ 的矩形剪切面積，可推得 $S_v=2\left(\frac{th}{2}\right)\left(\frac{h}{4}\right)=\frac{t{h}^2}{4}$。計算前先確定正確剪切面積。若 $V>V_c$，抗剪驗算（check）已經不合格。講義例題都屬低剪力（low shear），但這個分支讓你知道遇到不熟悉的重載變式時，哪些步驟須改變。

5. 集中力可能使腹板（web）局部壓潰

淺白解說（Simple explanation）：力集中在小地方，會怎樣？

同一個力壓在窄接觸面，局部會比攤開施力更吃力。

1. 找實際剛性承壓長度（Stiff bearing length）及距端部位置。
2. 局部壓潰（Bearing）與腹板屈曲（Web buckling）分別驗算。
3. 每條公式都要滿足其約束條件（Restraint conditions）。

注意（Remember）：缺少接觸尺寸（Contact dimensions）時，不能靠圖面比例猜測。

相關概念與完整方法（Full method）

反力（reaction）或集中荷載（point load）先經翼緣（flange）擴散，再進入腹板（web）。剛性承壓長度（stiff bearing length）$b_1$ 是承壓（bearing）範圍中不會產生明顯彎曲的部分，不會自動等於整塊支承板的寬度。原圖（source diagram）展示荷載如何經實心部分擴散。應按適用示意圖及其尺寸判讀，或使用題目明確提供的 $b_1$。

$r$ 是根部圓角（root radius）半徑，$b_e$ 是承壓（bearing）範圍較近邊緣至構件端部的距離。$p_{\mathrm{yw}}$ 是按腹板（web）實際厚度（thickness）選取的設計強度（design strength）。所有長度用 $\text{mm}$ 時，$P_{\mathrm{bw}}$ 的單位為 $\text{N}$。把它與該位置已乘分項系數的集中荷載（point load）或反力（reaction）比較。若缺少 $b_1$ 或 $b_e$，便無法得出無附帶條件的數值承壓結論。

6. 腹板（web）可能像短壓桿一樣屈曲（buckling）

淺白解說（Simple explanation）：題目少了一個數，怎麼辦？

計算機不能替圖紙補出從未給過的尺寸。

1. 分開已知值（Given）、查表值（Lookup）及計算值（Calculated）。
2. 先完成資料足夠的驗算。
3. 在有條件結果（Conditional result）旁列明欠缺輸入。

注意（Remember）：示範假設（Illustrative assumption）不可悄悄變成原題已知值。

相關概念與完整方法（Full method）

先確定受載翼緣（flange）是否同時受到兩種約束：限制其相對腹板（web）轉動，以及限制其相對另一翼緣側移（sway）。以下 $P_x$ 適用於兩項條件均成立時。$a_e$ 是荷載或反力（reaction）作用線距較近構件端部的距離；它與從承壓（bearing）邊緣量起的 $b_e$ 不同。

兩個乘數均無單位。$L_{E,\text{web}}$ 是把腹板（web）視為受壓構件（compression member）時的有效長度（effective length），不是樑的無側向約束（lateral restraint）長度。講義沒有為每一種未約束腹板幾何提供通用數值，因此使用折減式前，須先確定約束模型及有效長度。承載力（resistance）應與承壓（bearing）驗算（check）中的同一集中力比較。抗剪承載力（shear resistance）合格，並不代表這項驗算也合格。

7. 選擇並驗算（check）完全約束鋼樑（steel beam）

淺白解說（Simple explanation）：樓板荷載怎樣走到樑？（Load path）

每條樑收集屬於自己的那條樓板帶所承受的荷載。

1. 按平面圖找分擔寬度（Tributary width）。
2. 面荷載（Area load）× 分擔寬度 = 線荷載（Line load）。
3. 支承另一條樑時，接收的是該樑的端反力（End reaction）。

注意（Remember）：端反力形成集中荷載（Point load），不能直接當作均佈荷載（UDL）。

相關概念與完整方法（Full method）

淺白解說（Simple explanation）：樑下垂多少？（Deflection）

強度問會否破壞；撓度問移動了多遠。

1. 用題目指定的正常使用荷載（Serviceability load case）。
2. 選符合支承及荷載位置的撓度公式。
3. 荷載、長度、E 和 I 的單位要互相配合。

注意（Remember）：最大撓度（Maximum deflection）不一定在跨中（Midspan）。

相關概念與完整方法（Full method）

1. 畫出荷載傳遞路徑。樓板（slab）面荷載（area load） $q$（$\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$）乘以分擔荷載（tributary load）寬度 $b$（$\text{m}$），得到 $w=qb$（$\frac{\text{kN}}{\text{m}}$）。把所承托樑的反力（reaction）轉為集中荷載（point load）。
2. 分開保留特徵恆載（dead load）與特徵外加荷載（imposed load）。除非已包含，否則按 $\frac{\text{質量}\times \text{重力加速度}}{\mathrm{1,000}}$ 加入一次樑（secondary beam）自重（self-weight）。
3. 使用指定的極限荷載（ultimate load）分項系數，從平衡方程（equilibrium equation）求反力（reaction）、剪力（shear force）及彎矩（bending moment）。在荷載跳變位置或 $V=0$ 處找最大值。
4. 先估算 $S_{\mathrm{required}}=\frac{M}{p_y}$；厚度（thickness）區間只可在第一次試選時暫作假設（assumption）。選定截面表（section tables）中的實際型號後，按該截面的翼緣厚度（flange thickness）重新核對 $p_y$。
5. 判定翼緣（flange）及腹板（web）類別，驗算（check）剪力（shear force）、共存剪力下的抗彎承載力（moment resistance），以及題目要求的局部承壓（local bearing）／屈曲（buckling）。
6. 使用指定的正常使用荷載（service load）組合及限值驗算（check）撓度（deflection）。若任何一項不合格，便更改截面，並重做所有受此改變影響的驗算。

這些講義例題的撓度（deflection）荷載是未乘分項系數的外加荷載（imposed load），$E=\mathrm{205,000}\frac{\text{N}}{{\text{mm}}^2}$，脆性（brittleness）飾面的限值為 $\frac{L}{360}$。講義例題（Examples）1 及 2 的飾面條件，在講師解答（solution）中明確屬於假設（assumption）；其他情況則須使用各自指定的限值。

全程使用 $\text{N}$、$\text{mm}$ 及 ${\text{mm}}^4$：$1\frac{\text{kN}}{\text{m}}=1\frac{\text{N}}{\text{mm}}$，$1{\text{cm}}^4={10}^4{\text{mm}}^4$。偏心（eccentricity）集中荷載（point load）、懸臂樑（cantilever beam）及連續樑（continuous beam）不能原封不動地使用這兩條公式。偏離跨中（midspan）的荷載推導見例題（Example）3。

鋼樑（steel beam）例題 1：完全側向約束（lateral restraint）樑，由荷載算至撓度（deflection）

單獨開啟本例（Open example page）

為跨度（span） $7\text{m}$、完全側向約束（lateral restraint）的簡支樑（simply supported beam）選擇 S355 型鋼。驗算（check）剪力（shear force）、彎矩（bending moment）、支承處腹板承壓（web bearing）、支承處腹板屈曲（web buckling）及撓度（deflection）。跨中（midspan）集中荷載（point load）為恆載（dead load） $20\text{kN}$、外加荷載（imposed load） $60\text{kN}$；全跨均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）為恆載 $7\frac{\text{kN}}{\text{m}}$、外加荷載 $35\frac{\text{kN}}{\text{m}}$。

原始來源：LectureNotes/Ch 3_Beam.pdf — 第 18 頁、第 19 頁、第 20 頁、第 21 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

物理量	已知、查表（table lookup）或假設（assumption）
跨度（span）及荷載	上方荷載圖給出 $L=3.5+3.5=7\text{m}$、一個跨中（midspan）集中荷載（point load），以及兩項全跨均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）分量。
承壓（Bearing）	題目給出 $b_1=160\text{mm}$、$a_e=80\text{mm}$、$b_e=0$。受載翼緣（flange）對題目指定的兩種局部位移均有約束。
側向約束（Lateral restraint）	已知受壓翼緣（compression flange）有完全側向約束（lateral restraint），因此不需驗算（check）構件的側向扭轉屈曲（LTB）。
撓度（deflection）	講師假設（assumption）有脆性（brittleness）飾面，只用未乘分項系數的外加荷載（imposed load）；限值 $\frac{L}{360}$。$E=\mathrm{205,000}\frac{\text{N}}{{\text{mm}}^2}$。
截面性質（section properties）	查 Data File 第 9–10 頁的 $533\times 210\times 82$ UB 列。來源解答（solution）第 19 頁亦列出數值。

計算前：辨認題型與選擇策略

先學會區分荷載與內力：荷載施加在樑上；剪力（shear force） $V$ 及彎矩（bending moment） $M$ 是樑為承受荷載而產生的內力。由於對稱，兩端反力（reaction）相等。剪力在跨中（midspan）集中荷載（point load）處變號，因此該處彎矩最大。完全側向約束（lateral restraint）使本題不用驗算（check） LTB，但仍須驗算腹板（web）局部效應。先按塑性截面模數（plastic section modulus）選試算型鋼，再逐一核實其餘要求。

1. 各荷載分量分別乘分項系數

淺白解說（Simple explanation）：樓板荷載怎樣走到樑？（Load path）

每條樑收集屬於自己的那條樓板帶所承受的荷載。

1. 按平面圖找分擔寬度（Tributary width）。
2. 面荷載（Area load）× 分擔寬度 = 線荷載（Line load）。
3. 支承另一條樑時，接收的是該樑的端反力（End reaction）。

注意（Remember）：端反力形成集中荷載（Point load），不能直接當作均佈荷載（UDL）。

相關概念與完整方法（Full method）

$$P=1.4G_{\mathrm{point}}+1.6Q_{\mathrm{point}}=1.4\times 20+1.6\times 60=28+96=124\text{kN}$$$$w=1.4g+1.6q=1.4\times 7+1.6\times 35=9.8+56=65.8\frac{\text{kN}}{\text{m}}$$

題目給出的均佈恆載（dead load）就是指定設計輸入值，不要再另加假定自重（self-weight）。未乘分項系數的外加荷載（imposed load） $60\text{kN}$ 及 $35\frac{\text{kN}}{\text{m}}$ 要保留供獨立的撓度（deflection）計算使用。

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

1. G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
2. 本示意使用課程重力組合 $1.4G+1.6Q$；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
3. 示意取 $G=5\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
4. 不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

2. 反力（reaction）、剪力（shear force）及最大彎矩（maximum bending moment）

極限總荷載：$$124+65.8\times 7=584.6\text{kN}$$$$R_A=R_B=\frac{584.6}{2}=292.3\text{kN}$$跨中緊靠左側：$$V=292.3-65.8\times 3.5=62\text{kN}$$跨中緊靠右側：$$V=62-124=-62\text{kN}$$右支承緊靠左側：$$V=-62-65.8\times 3.5=-292.3\text{kN}$$$$M_{\mathrm{mid}}=R_A\times 3.5-\frac{w\times {3.5}^2}{2}$$$$=292.3\times 3.5-\frac{65.8\times 12.25}{2}$$$$=\mathrm{1,023.05}-403.025=620.025\text{kN}·\text{m}$$

等價地，$\frac{PL}{4}+\frac{w{L}^2}{8}=\frac{124\times 7}{4}+\frac{65.8\times 49}{8}=217+403.025=620.025\text{kN}·\text{m}$。來源取整後標為 $620$。均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）使剪力（shear force）呈直線變化、彎矩（bending moment）呈拋物線；集中荷載（point load）令剪力跳變 $124\text{kN}$，但彎矩不會跳變。

動畫解說（Animation lab）反力與彎矩平衡（Equilibrium）2 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

1. 本示意為 6 m 簡支樑及 60 kN 集中荷載，並非原題的荷載圖。
2. $R_B\times L=P\times a$。荷載越靠近 B，$R_B$ 越大。
3. $R_A=P-R_B$。兩個向上反力的總和必須等於 P。
4. 荷載在跨中時，$R_A=R_B=30\text{kN}$；端彎矩、均布荷載及懸臂段均須加入各自的平衡項。

3. 選試算型鋼，讀取正確表格欄位

先假設翼緣厚 $T\le 16\text{mm}$，試用 $p_y=355\frac{\text{N}}{{\text{mm}}^2}$。$$S_{x,\mathrm{required}}=\frac{M}{p_y}=\frac{620.025\times {10}^6}{355}$$$$=\mathrm{1,746,549}{\text{mm}}^3=\mathrm{1,746.549}{\text{cm}}^3$$試選 $533\times 210\times 82$ UB：$S_x=\mathrm{2,059}{\text{cm}}^3>\mathrm{1,746.549}$。

表格欄位	所選列數值
總深 $D$；腹板（web）厚 $t$；翼緣（flange）厚 $T$；根部圓角（root radius）半徑 $r$；腹板淨高（clear web depth） $d$（$\text{mm}$）	$528.3;9.6;13.2;12.7;476.5$
翼緣（flange） $\frac{b}{T}$；腹板（web） $\frac{d}{t}$	$7.91;49.6$
強軸（major axis）二次矩 $I_x$；彈性截面模數（elastic section modulus） $Z_x$；塑性截面模數（plastic section modulus） $S_x$	$\mathrm{47,540}{\text{cm}}^4;\mathrm{1,800}{\text{cm}}^3;\mathrm{2,059}{\text{cm}}^3$

$533$ 及 $210$ 是標稱截面代號（section designation），並非準確的總深 $D$ 及翼緣寬度（flange width）。表中 $T=13.2\text{mm}$ 確認最初 $p_y=355$ 的假設（assumption）成立。豎向荷載使樑繞 $x–x$ 彎曲，所以選強軸（major axis）欄位。這是講師採用的合適試算截面，未有證明它是最輕的最佳選擇。

動畫解說（Animation lab）按正確條件查表（Table lookup）1 個概念 · 4 個原式

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1. 先確認要查材料強度、截面性質、屈曲強度，還是彎矩係數。
2. 截面規格、鋼級、厚度組別、曲線及軸向是不同查表條件，須逐一核對。
3. ${\text{cm}}^2$、${\text{cm}}^3$ 及 ${\text{cm}}^4$ 的換算次方不同；相鄰欄位的數值不可互換。
4. 只在同一適用欄內的上下兩列之間插值；所有實際表值均以原頁為準。

4. 判定截面類別（section class）及腹板（web）剪切驗算（check）分支

淺白解說（Simple explanation）：薄板會先起皺（Local buckling）

整根鋼構件尚未發揮預期承載力，薄板部分可能已先起皺。

1. 分別按定義算翼緣（Flange）及腹板（Web）的寬厚比。
2. 把各比值與適用截面類別（Section class）界限比較。
3. 較不利板件決定整個截面的類別。

注意（Remember）：彎曲（Bending）與均勻受壓（Uniform compression）的界限不同。

相關概念與完整方法（Full method）

$$\epsilon =\sqrt{\frac{275}{p_y}}=\sqrt{\frac{275}{355}}=0.880141$$Class 1 翼緣限值：$$9\epsilon =7.92127;\frac{b}{T}=7.91\le 7.92127$$純彎曲 Class 1 腹板限值：$$80\epsilon =70.4113;\frac{d}{t}=49.6\le 70.4113$$兩部分均為 Class 1，因此是塑性截面。腹板剪切屈曲界限：$$70\epsilon =61.6099;\frac{d}{t}=49.6<61.6099$$

翼緣（flange）分類接近限值，要用表中比值並保留足夠精度。腹板（web）的 $80\epsilon$ 彎曲分類限值與 $70\epsilon$ 剪切屈曲（buckling）界限是不同驗算（check）。本題不用另外計算腹板剪切屈曲，但仍須在下文核對集中反力（reaction）引起的腹板局部屈曲（local buckling）。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）2 個概念 · 1 個原式

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1. 翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
2. 較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
3. 第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
4. 依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

5. 抵抗最大剪力（shear force）

$$A_v=tD=9.6\times 528.3=\mathrm{5,071.68}{\text{mm}}^2$$$$V_c=\frac{p_y{A}_v}{\sqrt{3}}$$$$=\frac{355\times \mathrm{5,071.68}}{\sqrt{3}}=\mathrm{1,039,488}\text{N}=\mathrm{1,039.488}\text{kN}$$$$V_{\max }=292.3\text{kN}<\mathrm{1,039.488}\text{kN}$$通過。

動畫解說（Animation lab）觀察腹板剪力（Shear resistance）1 個概念 · 1 個原式

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1. 內部剪力使切口兩側保持垂直平衡。
2. 課程常見工字截面主要由腹板提供剪切面積，但須採指定定義。
3. 較薄腹板可能需要先按另一剪切屈曲程序驗算，不能直接沿用簡式。
4. 在課程適用條件下使用 $V_c=\frac{p_y{A}_v}{\sqrt{3}}$；應先把 N 換成 kN，再與設計剪力比較。

6. 核對同一截面的剪力（shear force），再驗算（check）彎矩（bending moment）

最大彎矩截面上，$\left|V\right|=62\text{kN}$。$$0.6V_c=0.6\times \mathrm{1,039.488}=623.693\text{kN}$$$62<623.693$，適用低剪力彎曲公式。$$p_y{S}_x=\frac{355\times \mathrm{2,059}\times {10}^3}{{10}^6}=730.945\text{kN}·\text{m}$$$$1.2p_y{Z}_x=\frac{1.2\times 355\times \mathrm{1,800}\times {10}^3}{{10}^6}=766.8\text{kN}·\text{m}$$$$M_c=\min (730.945,766.8)=730.945\text{kN}·\text{m}$$$620.025<730.945$，抗彎通過。

本題連最大剪力（shear force）亦低於 $0.6V_c$，因此所有截面均屬低剪力（low shear）。兩個抗彎承載力（moment resistance）式要取較小者；第二式是上限，不能挑較大值。

動畫解說（Animation lab）截面中的壓力與拉力（Bending）2 個概念 · 1 個原式

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1. 正彎矩使上翼緣受壓、下翼緣受拉；負彎矩時則相反。
2. 彈性彎曲應力隨離中性軸的距離變化：$\sigma =\frac{My}{I}$。
3. 截面類別決定可用彈性、塑性還是有效截面性質。
4. 採用正在驗算截面的剪力；其他位置的最大剪力不一定同時出現。

7. 支承處腹板承壓（web bearing）

淺白解說（Simple explanation）：力集中在小地方，會怎樣？

同一個力壓在窄接觸面，局部會比攤開施力更吃力。

1. 找實際剛性承壓長度（Stiff bearing length）及距端部位置。
2. 局部壓潰（Bearing）與腹板屈曲（Web buckling）分別驗算。
3. 每條公式都要滿足其約束條件（Restraint conditions）。

注意（Remember）：缺少接觸尺寸（Contact dimensions）時，不能靠圖面比例猜測。

相關概念與完整方法（Full method）

$$k=T+r=13.2+12.7=25.9\text{mm}$$$$n=\min (2+\frac{0.6b_e}{k},5)=\min (2+0,5)=2$$$$b_1+nk=160+2\times 25.9=211.8\text{mm}$$$$P_{\mathrm{bw}}=\left(b_1+nk\right)t{p}_{\mathrm{yw}}$$$$=211.8\times 9.6\times 355=\mathrm{721,814.4}\text{N}=721.8144\text{kN}$$$721.8144>292.3$，支承承壓通過。

腹板（web）厚 $9.6\text{mm}$，同樣得 $p_{\mathrm{yw}}=355$。這是端部承壓（bearing），所以 $b_e=0$ 時 $n=2$；若誤用內部承壓值 $5$，會不當增加承載力（resistance）。

動畫解說（Animation lab）集中力如何傳入腹板（Web bearing）1 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

1. 集中反力先經承壓／接觸範圍傳入。
2. 翼緣及根部幾何使荷載在進入腹板前擴散。
3. 相同力下，較闊的有效承壓範圍可降低局部應力。
4. 端距、剛性承壓長度及約束條件必須來自原題；滑桿只供示意。

8. 支承處腹板屈曲（web buckling）

$$0.7d=0.7\times 476.5=333.55\text{mm}$$$a_e=80\text{mm}<333.55\text{mm}$，須用端部折減分支。端部系數：$$\frac{80+333.55}{1.4\times 476.5}=\frac{413.55}{667.1}=0.619922$$腹板系數：$$\frac{25\times 0.880141\times 9.6}{\sqrt{211.8\times 476.5}}$$$$=\frac{211.2338}{\sqrt{\mathrm{100,922.7}}}\approx 0.664919$$$$P_x=\left[\frac{413.55}{667.1}\right]\times \left[\frac{211.2338}{\sqrt{\mathrm{100,922.7}}}\right]\times 721.8144$$$$=297.531\text{kN}>292.3\text{kN}$$通過，但餘量很小。

題目明確提供兩項局部翼緣（flange）約束，因此不用 $P_{\mathrm{xr}}$ 折減。反力（reaction）用去此承載力（resistance）的 $98.24\%$，所以支承處腹板屈曲（web buckling）是最接近限值的強度驗算（check）。不要混淆給定的 $a_e$ 與 $b_e$。

動畫解說（Animation lab）腹板如短柱般屈曲（Web buckling）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

1. 集中力使兩翼緣之間的局部腹板受壓。
2. 薄腹板可能先向側面屈曲，早於局部壓潰。
3. 原教材分開考慮轉動約束及相對側向位移約束。
4. 腹板承壓及腹板屈曲是獨立驗算；須選假設條件已符合的原公式。

9. 按指定正常使用荷載（service load）情況驗算（check）撓度（deflection）

淺白解說（Simple explanation）：樑下垂多少？（Deflection）

強度問會否破壞；撓度問移動了多遠。

1. 用題目指定的正常使用荷載（Serviceability load case）。
2. 選符合支承及荷載位置的撓度公式。
3. 荷載、長度、E 和 I 的單位要互相配合。

注意（Remember）：最大撓度（Maximum deflection）不一定在跨中（Midspan）。

相關概念與完整方法（Full method）

$$P_{\mathrm{service}}=60\text{kN}=\mathrm{60,000}\text{N};w_{\mathrm{service}}=35\frac{\text{kN}}{\text{m}}=35\frac{\text{N}}{\text{mm}}$$$$L=\mathrm{7,000}\text{mm};I_x=\mathrm{47,540}\times {10}^4=\mathrm{475,400,000}{\text{mm}}^4$$$${\delta }_P=\frac{P{L}^3}{48EI}$$$$=\frac{\mathrm{60,000}\times {\mathrm{7,000}}^3}{48\times \mathrm{205,000}\times \mathrm{475,400,000}}=4.39938\text{mm}$$$${\delta }_w=\frac{5w{L}^4}{384EI}$$$$=\frac{5\times 35\times {\mathrm{7,000}}^4}{384\times \mathrm{205,000}\times \mathrm{475,400,000}}=11.22757\text{mm}$$$${\delta }_{\mathrm{total}}=4.39938+11.22757=15.62695\text{mm}$$限值：$$\frac{L}{360}=\frac{\mathrm{7,000}}{360}=19.44444\text{mm}$$$15.62695<19.44444$，在假設有脆性飾面的情況下通過。

由於對稱，兩項荷載引起的最大撓度（deflection）均在跨中（midspan），所以可把這兩個最大值相加。所選 $533\times 210\times 82$ UB 在指定模型下通過全部要求的驗算（check）。

動畫解說（Animation lab）觀察剛度與撓度（Deflection）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

1. 選用指定 SLS 荷載、跨度及支承條件；此示意採全跨均布荷載。
2. 樑受荷後彎曲；圖中變形放大，以便觀察。
3. 簡支樑全跨均布荷載：$\delta =\frac{5w{L}^4}{384EI}$。保持 w、E、I 不變，L 加倍便使 δ 增至 16 倍。
4. 讀數示意採 $w=10\frac{\text{N}}{\text{mm}}$、$E=205000\frac{\text{N}}{{\text{mm}}^2}$、$I=200000000{\text{mm}}^4$；容許值須按原表的飾面及支承類別選取。

精簡考試答案（exam answer）

採用 S355 $533\times 210\times 82$ UB，Class 1。極限 $P=124\text{kN}$、$w=65.8\frac{\text{kN}}{\text{m}}$、$R=V_{\max }=292.3\text{kN}$、$M_{\max }=620.025\text{kN}·\text{m}$。$V_c=\mathrm{1,039.49}\text{kN}$；$M_c=\min (730.945,766.8)=730.945\text{kN}·\text{m}$。$P_{\mathrm{bw}}=721.814\text{kN}$；$P_x=297.531\text{kN}>292.3$。外加荷載（imposed load）撓度（deflection） $\delta =15.627\text{mm}<\frac{L}{360}=19.444\text{mm}$。足夠；支承腹板屈曲（web buckling）最接近強度限值。

應避免的錯誤

• 指定撓度（deflection）驗算（check）中，不要再把外加荷載（imposed load）乘分項系數。
• 用表格中的實際尺寸，不要把 $533\text{mm}$ 當作 $D$。
• 與兩個抗彎承載力（moment resistance）式中較小者比較。
• 不要把腹板（web）剪切長細比（slenderness ratio）驗算（check）與集中荷載（point load）引起的腹板屈曲（web buckling）混為一談。

處理陌生變式的程序

1. 辨認豎向支承、跨度（span）、側向約束（lateral restraint）及各荷載位置。
2. 分開恆載（dead load）及外加荷載（imposed load），建立所需極限狀態（limit state）及正常使用荷載（service load）工況。
3. 從平衡方程（equilibrium equation）求反力（reaction）及最大剪力（shear force）／彎矩（bending moment），並標明單位。
4. 選取截面表（section tables）型號行，確認隨厚度（thickness）而變的強度，並對翼緣（flange）及腹板（web）分類。
5. 驗算（check）剪力（shear force）及彎矩（bending moment）；若只在個別位置設側向約束（lateral restraint），另作分段 LTB 驗算。
6. 完成題目要求的腹板（web）及撓度（deflection）驗算（check），說明控制結果及欠缺資料。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：截面及極限荷載（ultimate load）不變，但把剛性承壓（stiff bearing）寬度減至 $140\text{mm}$，承壓（bearing）區置於構件端部（$a_e=70\text{mm}$、$b_e=0$）。支承處腹板（web）仍足夠嗎？

提示（hint）

這個改變會同時影響承壓（bearing）承載力（resistance）及端部折減系數。

顯示答案及解釋

重算 $n=2$、$b_1+nk=191.8\text{mm}$。$$P_{\mathrm{bw}}=\frac{191.8\times 9.6\times 355}{\mathrm{1,000}}=653.6544\text{kN}$$$$P_x=\left[\frac{70+333.55}{667.1}\right]\times \left[\frac{25\times \sqrt{\frac{275}{355}}\times 9.6}{\sqrt{191.8\times 476.5}}\right]\times 653.6544\approx 276.3\text{kN}$$低於 $292.3\text{kN}$。承壓（bearing）通過，但腹板屈曲（web buckling）不通過，不能直接沿用原截面的結論。

動畫解說（Animation lab）集中力如何傳入腹板（Web bearing）2 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

1. 集中反力先經承壓／接觸範圍傳入。
2. 翼緣及根部幾何使荷載在進入腹板前擴散。
3. 相同力下，較闊的有效承壓範圍可降低局部應力。
4. 端距、剛性承壓長度及約束條件必須來自原題；滑桿只供示意。

鋼樑（steel beam）例題 2：追蹤圖書館樓面荷載（area load）如何傳至 B3 樑

單獨開啟本例（Open example page）

設計圖書館樓面平面圖中有完全側向約束（lateral restraint）的支承樑 B3。特徵樓面恆載（dead load）及外加荷載（imposed load）分別為 $6$ 及 $4\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$；恆載已包括本例使用的自重（self-weight）預留值。採用 S355 及講師的簡支構件模型。

原始來源：LectureNotes/Ch 3_Beam.pdf — 第 22 頁、第 23 頁、第 24 頁、第 25 頁、第 26 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

圖中特徵	對荷載傳遞的意思
樓板（slab）跨度（span）符號橫跨 B1 線	樓板（slab）荷載按 $1.25\text{m}$ 分擔荷載（tributary load）寬度傳至平行的 B1 樑。
每條內部 B2 的圖上方及下方均有 B1	B2 每個受載點接收兩個 B1 端反力（reaction）。
內部 B3 左右兩側均有 B2	B3 在跨中（midspan）接收兩個 B2 端反力（reaction）。
B3 亦直接毗鄰樓板（slab）帶	內部 B3 本身亦承受 $1.25\text{m}$ 分擔寬度（tributary width）的樓板（slab）荷載，以均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）表示。
已知及假設（assumption）	所提供的恆載（dead load）強度已計入全部自重（self-weight）。B3 有完全側向約束（lateral restraint）；正常使用驗算（check）中，講師假設（assumption）有脆性（brittleness）飾面。

計算前：辨認題型與選擇策略

沿傳力順序計算：樓板（slab） → B1 → B2 → B3。支承樑收到的集中荷載（point load）等於被支承樑的端反力（reaction），不是該樑的全部荷載。恆載（dead load）及外加荷載（imposed load）反力要分開保留，直至確定 B3 荷載。不要把水平開間寬 $5\text{m}$ 當作 B3 跨度（span）。

1. 樓板（slab）傳至 B1

B1 跨度 $=3\text{m}$；分擔荷載寬度 $=1.25\text{m}$。$$g_{B1}=6\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}\times 1.25\text{m}=7.5\frac{\text{kN}}{\text{m}}$$$$q_{B1}=4\times 1.25=5\frac{\text{kN}}{\text{m}}$$每端恆載反力：$$\frac{7.5\times 3}{2}=11.25\text{kN}$$每端外加荷載反力：$$\frac{5\times 3}{2}=7.5\text{kN}$$

除以二，是因為這是承受均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）的簡支跨度（span）。這些是特徵反力（reaction），尚未乘極限狀態（limit state）分項系數。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

1. 樓面承受 $\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
2. 面荷載乘分擔寬度（tributary width）：$w=q\times b$。本示意 $q=5\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$。
3. 主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
4. 反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

2. B1 反力（reaction）傳至 B2

每條內部 B1 線都有兩跨接到 B2：$$G_{\mathrm{point},B2}=2\times 11.25=22.5\text{kN}$$$$Q_{\mathrm{point},B2}=2\times 7.5=15\text{kN}$$在 $5\text{m}$ B2 跨度上，三個等距集中荷載位於 $1.25,2.5,3.75\text{m}$。B2 每端恆載反力：$$\frac{3\times 22.5}{2}=33.75\text{kN}$$B2 每端外加荷載反力：$$\frac{3\times 15}{2}=22.5\text{kN}$$

內部集中荷載（point load）有三個，不是四個：四條樓板（slab）帶由三條內部 B1 及兩側 B3 邊界劃分。三個荷載對稱，因此 B2 每端反力（reaction）為總荷載的一半。直接到達柱支承樑端的荷載，不會增加跨內彎矩（bending moment）。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

1. 樓面承受 $\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
2. 面荷載乘分擔寬度（tributary width）：$w=q\times b$。本示意 $q=5\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$。
3. 主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
4. 反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

3. 組合 B3 跨中（midspan）集中荷載（point load）及直接樓板（slab）均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）

淺白解說（Simple explanation）：樓板荷載怎樣走到樑？（Load path）

每條樑收集屬於自己的那條樓板帶所承受的荷載。

1. 按平面圖找分擔寬度（Tributary width）。
2. 面荷載（Area load）× 分擔寬度 = 線荷載（Line load）。
3. 支承另一條樑時，接收的是該樑的端反力（End reaction）。

注意（Remember）：端反力形成集中荷載（Point load），不能直接當作均佈荷載（UDL）。

相關概念與完整方法（Full method）

跨中恆載集中力：$$2\times 33.75=67.5\text{kN}$$跨中外加荷載集中力：$$2\times 22.5=45\text{kN}$$直接均佈恆載：$$6\times 1.25=7.5\frac{\text{kN}}{\text{m}}$$直接均佈外加荷載：$$4\times 1.25=5\frac{\text{kN}}{\text{m}}$$極限集中力：$$P=1.4\times 67.5+1.6\times 45=94.5+72=166.5\text{kN}$$極限均佈荷載：$$w=1.4\times 7.5+1.6\times 5=10.5+8=18.5\frac{\text{kN}}{\text{m}}$$

跨中（midspan）集中力的二倍，代表 B3 每側各一條 B2；並非把 B3 的 $6\text{m}$ 跨度（span）或 $1.25\text{m}$ 分擔樓板（slab）帶加倍。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

1. 樓面承受 $\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
2. 面荷載乘分擔寬度（tributary width）：$w=q\times b$。本示意 $q=5\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$。
3. 主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
4. 反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

4. B3 的反力（reaction）、剪力（shear force）及彎矩（bending moment）

淺白解說（Simple explanation）：反力為何要平衡？（Equilibrium）

想像一塊蹺蹺板：不能跌下，也不能一直轉動。

1. 向上反力（Reactions）總和要平衡向下荷載。
2. 以支承點取矩（Moments），該支承反力便沒有力臂。
3. 力臂（Lever arm）是取矩點至力作用線的垂直距離。

注意（Remember）：側向約束（Lateral restraint）不一定提供豎向支承。

相關概念與完整方法（Full method）

特徵恆載反力：$$\frac{67.5+7.5\times 6}{2}=56.25\text{kN}$$特徵外加荷載反力：$$\frac{45+5\times 6}{2}=37.5\text{kN}$$極限反力：$$1.4\times 56.25+1.6\times 37.5=138.75\text{kN}$$直接核對：$$\frac{166.5+18.5\times 6}{2}=138.75\text{kN}$$跨中左側剪力：$$138.75-18.5\times 3=83.25\text{kN}$$跨中右側：$$83.25-166.5=-83.25\text{kN}$$$$M_{\max }=\frac{166.5\times 6}{4}+\frac{18.5\times 6^2}{8}$$$$=249.75+83.25=333\text{kN}·\text{m}$$最大剪力在支承處：$|V{|}_{\max }=138.75\text{kN}$。

動畫解說（Animation lab）反力與彎矩平衡（Equilibrium）2 個概念 · 1 個原式

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1. 本示意為 6 m 簡支樑及 60 kN 集中荷載，並非原題的荷載圖。
2. $R_B\times L=P\times a$。荷載越靠近 B，$R_B$ 越大。
3. $R_A=P-R_B$。兩個向上反力的總和必須等於 P。
4. 荷載在跨中時，$R_A=R_B=30\text{kN}$；端彎矩、均布荷載及懸臂段均須加入各自的平衡項。

5. 選用 $457\times 152\times 52$ UB

試用 $p_y=355\frac{\text{N}}{{\text{mm}}^2}$。$$S_{\mathrm{required}}=\frac{333\times {10}^6}{355}=\mathrm{938,028.17}{\text{mm}}^3=938.028{\text{cm}}^3$$所選 $S_x=\mathrm{1,096}{\text{cm}}^3>938.028$。

Data File 第 9 頁 $457\times 152\times 52$ 列給出 $D=449.8$、$t=7.6$、$T=10.9$、$r=10.2$、$d=407.6\text{mm}$、$\frac{b}{T}=6.99$ 及 $\frac{d}{t}=53.6$。第 10 頁相同代號列給出 $I_x=\mathrm{21,370}{\text{cm}}^4$、$Z_x=950{\text{cm}}^3$、$S_x=\mathrm{1,096}{\text{cm}}^3$。$T=10.9\le 16$ 確認 $p_y=355$。截面性質（section properties）不用內插（interpolation），直接讀取對應列。

動畫解說（Animation lab）按正確條件查表（Table lookup）3 個概念 · 13 個原式

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1. 先確認要查材料強度、截面性質、屈曲強度，還是彎矩係數。
2. 截面規格、鋼級、厚度組別、曲線及軸向是不同查表條件，須逐一核對。
3. ${\text{cm}}^2$、${\text{cm}}^3$ 及 ${\text{cm}}^4$ 的換算次方不同；相鄰欄位的數值不可互換。
4. 只在同一適用欄內的上下兩列之間插值；所有實際表值均以原頁為準。

6. 分類試算截面

$$\epsilon =\sqrt{\frac{275}{355}}=0.880141$$$$\frac{b}{T}=6.99<9\epsilon =7.92127$$翼緣為 Class 1。$$\frac{d}{t}=53.6<80\epsilon =70.4113$$彎曲腹板為 Class 1，整體亦為 Class 1。$$\frac{d}{t}=53.6<70\epsilon =61.6099$$不用另行驗算腹板剪切屈曲。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）2 個概念 · 1 個原式

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1. 翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
2. 較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
3. 第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
4. 依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

7. 驗算（check）抗剪承載力（shear resistance）

$$A_v=tD=7.6\times 449.8=\mathrm{3,418.48}{\text{mm}}^2$$$$V_c=\frac{355\times \mathrm{3,418.48}}{\sqrt{3}\times \mathrm{1,000}}=700.649\text{kN}$$$138.75<700.649$，抗剪通過。

動畫解說（Animation lab）觀察腹板剪力（Shear resistance）1 個概念 · 1 個原式

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1. 內部剪力使切口兩側保持垂直平衡。
2. 課程常見工字截面主要由腹板提供剪切面積，但須採指定定義。
3. 較薄腹板可能需要先按另一剪切屈曲程序驗算，不能直接沿用簡式。
4. 在課程適用條件下使用 $V_c=\frac{p_y{A}_v}{\sqrt{3}}$；應先把 N 換成 kN，再與設計剪力比較。

8. 驗算（check）抗彎承載力（moment resistance）

淺白解說（Simple explanation）：一邊壓、一邊拉（Bending）

彎曲使截面兩側做相反工作：一側被壓短，另一側被拉長。

1. 先按實際荷載及支承求彎矩（Moment）。
2. 按截面類別選適用抗彎承載力（Moment resistance）公式。
3. 檢查同一位置的共同作用剪力（Coexistent shear）會否改變公式。

注意（Remember）：要用該位置的剪力，不是隨意套用另一位置的最大剪力。

相關概念與完整方法（Full method）

跨中同一截面的剪力 $=83.25\text{kN}$。$$0.6V_c=420.390\text{kN}>83.25$$屬低剪力。$$p_y{S}_x=\frac{355\times \mathrm{1,096}}{\mathrm{1,000}}=389.08\text{kN}·\text{m}$$$$1.2p_y{Z}_x=\frac{1.2\times 355\times 950}{\mathrm{1,000}}=404.7\text{kN}·\text{m}$$$$M_c=389.08\text{kN}·\text{m}>333\text{kN}·\text{m}$$通過。

來源要求的 B3 設計示範了剪力（shear force）、彎矩（bending moment）及撓度（deflection）。本題沒有指定承壓（bearing）幾何，不能完成局部腹板（web）數值設計。不要把例題 1 的 $160\text{mm}$ 承壓寬度帶入本題。

動畫解說（Animation lab）截面中的壓力與拉力（Bending）1 個概念 · 1 個原式

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1. 正彎矩使上翼緣受壓、下翼緣受拉；負彎矩時則相反。
2. 彈性彎曲應力隨離中性軸的距離變化：$\sigma =\frac{My}{I}$。
3. 截面類別決定可用彈性、塑性還是有效截面性質。
4. 採用正在驗算截面的剪力；其他位置的最大剪力不一定同時出現。

9. 驗算（check） B3 正常使用狀態

淺白解說（Simple explanation）：樑下垂多少？（Deflection）

強度問會否破壞；撓度問移動了多遠。

1. 用題目指定的正常使用荷載（Serviceability load case）。
2. 選符合支承及荷載位置的撓度公式。
3. 荷載、長度、E 和 I 的單位要互相配合。

注意（Remember）：最大撓度（Maximum deflection）不一定在跨中（Midspan）。

相關概念與完整方法（Full method）

使用外加荷載 $P=\mathrm{45,000}\text{N}$、$w=5\frac{\text{N}}{\text{mm}}$，以及 $L=\mathrm{6,000}\text{mm}$。$$I=\mathrm{21,370}\times {10}^4=\mathrm{213,700,000}{\text{mm}}^4$$$${\delta }_P=\frac{\mathrm{45,000}\times {\mathrm{6,000}}^3}{48\times \mathrm{205,000}\times \mathrm{213,700,000}}=4.62239\text{mm}$$$${\delta }_w=\frac{5\times 5\times {\mathrm{6,000}}^4}{384\times \mathrm{205,000}\times \mathrm{213,700,000}}=1.92600\text{mm}$$$$\delta =4.62239+1.92600=6.54839\text{mm}$$$$\frac{L}{360}=\frac{\mathrm{6,000}}{360}=16.66667\text{mm}$$$6.54839<16.66667$，在假設有脆性飾面的情況下通過。

動畫解說（Animation lab）觀察剛度與撓度（Deflection）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

1. 選用指定 SLS 荷載、跨度及支承條件；此示意採全跨均布荷載。
2. 樑受荷後彎曲；圖中變形放大，以便觀察。
3. 簡支樑全跨均布荷載：$\delta =\frac{5w{L}^4}{384EI}$。保持 w、E、I 不變，L 加倍便使 δ 增至 16 倍。
4. 讀數示意採 $w=10\frac{\text{N}}{\text{mm}}$、$E=205000\frac{\text{N}}{{\text{mm}}^2}$、$I=200000000{\text{mm}}^4$；容許值須按原表的飾面及支承類別選取。

精簡考試答案（exam answer）

B1 特徵反力（reaction） $G$／$Q$ 分別為 $11.25$／$7.5\text{kN}$。B2 有三個 $22.5$／$15\text{kN}$ 集中荷載（point load），端反力 $33.75$／$22.5\text{kN}$。B3 跨中（midspan） $G$／$Q$ 分別為 $67.5$／$45\text{kN}$，另加 $7.5$／$5\frac{\text{kN}}{\text{m}}$。極限 $P=166.5\text{kN}$、$w=18.5\frac{\text{kN}}{\text{m}}$、$V_{\max }=138.75\text{kN}$、$M_{\max }=333\text{kN}·\text{m}$。選 S355 $457\times 152\times 52$ UB，Class 1：$V_c=700.649\text{kN}$、$M_c=389.08\text{kN}·\text{m}$、$\delta =6.548\text{mm}<16.667\text{mm}$。已示範的驗算（check）均通過。

應避免的錯誤

• 樓面面荷載（area load）須乘分擔荷載（tributary load）寬度，才能變成樑的均佈線荷載（line load）。
• 不要把被支承樑的全部荷載傳到每一端。
• B3 直接支承的樓板（slab）帶要計入一次。
• 題目已包括的自重（self-weight），不要重複加入。

處理陌生變式的程序

1. 辨認豎向支承、跨度（span）、側向約束（lateral restraint）及各荷載位置。
2. 分開恆載（dead load）及外加荷載（imposed load），建立所需極限狀態（limit state）及正常使用荷載（service load）工況。
3. 從平衡方程（equilibrium equation）求反力（reaction）及最大剪力（shear force）／彎矩（bending moment），並標明單位。
4. 選取截面表（section tables）型號行，確認隨厚度（thickness）而變的強度，並對翼緣（flange）及腹板（web）分類。
5. 驗算（check）剪力（shear force）及彎矩（bending moment）；若只在個別位置設側向約束（lateral restraint），另作分段 LTB 驗算。
6. 完成題目要求的腹板（web）及撓度（deflection）驗算（check），說明控制結果及欠缺資料。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：只有特徵樓面外加面荷載（area load）由 $4$ 增至 $5\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$。求 B3 新的極限 $P$、$w$ 及外加荷載（imposed load）撓度（deflection）；恆載（dead load）保持原值。

顯示答案及解釋

全部外加荷載（imposed load）效應乘 $\frac{5}{4}$。B3 外加集中力 $=56.25\text{kN}$，外加均佈荷載（uniformly distributed load, UDL） $=6.25\frac{\text{kN}}{\text{m}}$。$$P=1.4\times 67.5+1.6\times 56.25=184.5\text{kN}$$$$w=1.4\times 7.5+1.6\times 6.25=20.5\frac{\text{kN}}{\text{m}}$$$$M=\frac{184.5\times 6}{4}+\frac{20.5\times 36}{8}=369\text{kN}·\text{m}<389.08$$外加荷載撓度（deflection）：$$6.54839\times 1.25=8.18549\text{mm}<16.66667$$最大剪力（shear force）：$$\frac{184.5+20.5\times 6}{2}=153.75\text{kN}<700.649$$這些驗算（check）仍通過。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）5 個概念 · 7 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

1. 樓面承受 $\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
2. 面荷載乘分擔寬度（tributary width）：$w=q\times b$。本示意 $q=5\frac{\text{kN}}{{\text{m}}^2}$。
3. 主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
4. 反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

8. 正常荷載與促使失穩的荷載

來源把促使失穩的荷載（destabilizing load）定義為：主要荷載施加於上翼緣（flange），而且荷載與翼緣都可相對剪心（shear centre）自由移動及轉動。樑扭轉時，這種移動會增加傾覆作用。只見到圖上有一個向下箭嘴畫在上方，並不足以判定符合這個條件。若題目給定「正常荷載」（normal load）假設（assumption），便依此處理；否則須檢查施載方式及約束。

9. 根據約束選擇 LTB 有效長度（effective length）

淺白解說（Simple explanation）：這一步到底用哪個長度？

側向拉繫可縮短屈曲範圍，但不一定改變樑的豎向跨度。

1. 分開支承跨度（Support span）與側向約束間距（Unbraced length）。
2. 按實際端部約束及荷載，套課程有效長度（Effective length）規則。
3. 豎向支承沒有改變，就保留原有豎向荷載分析。

注意（Remember）：約束某一方向，不代表同時約束另一方向。

相關概念與完整方法（Full method）

對第 9 頁所述促使失穩的荷載情況，相關長度乘以 $1.2$；中間分段採用 $1.2L^{\mathrm{LT}}$。若題目明確指定有效長度（effective length）等於實際分段長度，應依題意處理。懸臂樑（cantilever beam）須使用 Table 8.1，配對支承條件、自由端約束及正常／促使失穩荷載欄，不可借用簡支樑（simply supported beam）規則。

查表（table lookup）方法：先選支承組 (a–d)，再選自由端條件行 (1–4)，最後選荷載條件欄。以下只是查表示範，並非新增守則規定：組 (c)、自由端第 1 行、正常荷載，得 $1.0L$；同一幾何在促使失穩荷載下則為 $2.5L$。導修（Tutorial）3 Q5 明確指定的懸伸段有效長度（effective length）假設（assumption），對該題優先適用。

10. 由無約束長度（unrestrained length）求抗彎承載力（moment resistance）

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

1. 在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
2. 用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
3. 把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

$r_y$ 是弱軸（minor axis）迴轉半徑（radius of gyration），必須與 $L_E$ 使用相同長度單位。$u$ 是截面屈曲參數（buckling parameter），$x$ 是扭轉指標，兩者均從所選型號的截面性質（section properties）行讀取。這裏的 $x$ 並非平衡分析中表示沿樑位置的座標。Class 1 及 2 使用 ${\beta }_w=1$；若 Class 3／4 的處理尚未確定，不可直接假設（assumption）同樣數值。來源容許熱軋（hot-rolled）截面初步驗算（check）保守地採用 $u=0.9$ 及 $v=1$；接近限值的例題則需要準確數值。

應在該鋼材等級內選取設計強度（design strength）欄：例如 S355、$T=20\text{mm}$ 時，使用 $p_y=345$，而非 $355$ 欄。找出夾着計算所得 ${\lambda }_{\mathrm{LT}}$ 的兩行，再作直線內插（interpolation）。不可直接用 $\lambda$ 查該表。長細比（slenderness ratio）越大，$p_b$ 通常越低。

11. 使用各無約束分段的彎矩（bending moment）形狀

淺白解說（Simple explanation）：為何彎矩圖形狀也重要？

最高值相同，但若很長一段都接近最高值，通常更吃力。

1. 只看正在驗算的無側向約束段（Unrestrained segment）。
2. 選課程適用圖示或四分點規則（Quarter-point rule）。
3. 依指定驗算，把相應係數用在彎矩需求上。

注意（Remember）：鋼柱彎曲屈曲（Flexural buckling）係數不能和 LTB 係數互換。

相關概念與完整方法（Full method）

只有一小段達到最大彎矩（maximum bending moment），對 LTB 的影響小於整段都承受同一最大彎矩。等效均勻彎矩（equivalent uniform moment）系數（equivalent uniform moment factor）$m_{\mathrm{LT}}$ 就反映這個差別。只有實際荷載／彎矩（bending moment）形狀與圖示吻合，才可使用 Table 8.4a。若彎矩圖（bending moment diagram, BMD）是在兩個端彎矩之間的直線，使用較小與較大內部端彎矩的帶正負號比值 $\beta$：$m_{\mathrm{LT}}=\max (0.44,0.6+0.4\beta )$。須核對來源圖的正負號約定；外加端部箭嘴方向，不能與內部 BMD 的正負號直接互換。

表格指定各彎矩（bending moment）縱座標取正值，因此即使 BMD 變號，仍須使用其大小。四分點以目前分段為準，不是整根樑。各點彎矩由平衡計算，並保留均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）造成的曲線形狀。來源規定，沒有中間約束的懸臂樑（cantilever beam）採用 $m_{\mathrm{LT}}=1.00$。若整段彎矩均為零，便沒有抗彎需求；不可進行除以零的計算。

12. 把各項驗算（check）組合起來

1. 按實際豎向支承，完成整根樑的反力（reaction）、剪力圖（SFD）及彎矩圖（BMD）。
2. 標出每個側向約束（lateral restraint）位置，劃分無側向約束的各分段。
3. 逐段確定 $L_E$、$\lambda$、$v$、${\lambda }^{\mathrm{LT}}$ 及 $p_b$，再計算 $M_b$。
4. 求該分段最大彎矩（maximum bending moment）及對應的 $m^{\mathrm{LT}}$，驗算（check） $m^{\mathrm{LT}}{M}_{\max }\le M_b$。
5. 另外驗算（check）實際 $M_{\max }\le M_c$ 及 $V\le V_c$；如有需要，也須作高剪力（high shear）相互作用（interaction）驗算。
6. 完成所需承壓（bearing）、腹板屈曲（web buckling）及撓度（deflection）驗算（check）。指出控制設計的分段，以及任何欠缺的輸入資料。

不要假設（assumption）最大彎矩（maximum bending moment）所在分段一定控制設計：較長、約束較弱的分段，承載力（resistance）可能小得多。應把所有分段的荷載需求、承載力及利用率（utilisation ratio）列成表格。