詳解例題

鋼樑（steel beam）例題 2：追蹤圖書館樓面荷載（area load）如何傳至 B3 樑

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

設計圖書館樓面平面圖中有完全側向約束（lateral restraint）的支承樑 B3。特徵樓面恆載（dead load）及外加荷載（imposed load）分別為 $6$ 及 $4 \frac{kN}{m^{2}}$ ；恆載已包括本例使用的自重（self-weight）預留值。採用 S355 及講師的簡支構件模型。

原始來源：LectureNotes/Ch 3_Beam.pdf — 第 22 頁、第 23 頁、第 24 頁、第 25 頁、第 26 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

圖中特徵	對荷載傳遞的意思
樓板（slab）跨度（span）符號橫跨 B1 線	樓板（slab）荷載按 $1.25 m$ 分擔荷載（tributary load）寬度傳至平行的 B1 樑。
每條內部 B2 的圖上方及下方均有 B1	B2 每個受載點接收兩個 B1 端反力（reaction）。
內部 B3 左右兩側均有 B2	B3 在跨中（midspan）接收兩個 B2 端反力（reaction）。
B3 亦直接毗鄰樓板（slab）帶	內部 B3 本身亦承受 $1.25 m$ 分擔寬度（tributary width）的樓板（slab）荷載，以均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）表示。
已知及假設（assumption）	所提供的恆載（dead load）強度已計入全部自重（self-weight）。B3 有完全側向約束（lateral restraint）；正常使用驗算（check）中，講師假設（assumption）有脆性（brittleness）飾面。

計算前：辨認題型與選擇策略

沿傳力順序計算：樓板（slab） → B1 → B2 → B3。支承樑收到的集中荷載（point load）等於被支承樑的端反力（reaction），不是該樑的全部荷載。恆載（dead load）及外加荷載（imposed load）反力要分開保留，直至確定 B3 荷載。不要把水平開間寬 $5 m$ 當作 B3 跨度（span）。

1. 樓板（slab）傳至 B1

B1 跨度

= 3 m

；分擔荷載寬度

= 1.25 m

。

g_{B 1} = 6 \frac{kN}{m^{2}} \times 1.25 m = 7.5 \frac{kN}{m}

q_{B 1} = 4 \times 1.25 = 5 \frac{kN}{m}

每端恆載反力：

\frac{7.5 \times 3}{2} = 11.25 kN

每端外加荷載反力：

\frac{5 \times 3}{2} = 7.5 kN

除以二，是因為這是承受均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）的簡支跨度（span）。這些是特徵反力（reaction），尚未乘極限狀態（limit state）分項系數。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

2. B1 反力（reaction）傳至 B2

每條內部 B1 線都有兩跨接到 B2：

G_{point, B 2} = 2 \times 11.25 = 22.5 kN

Q_{point, B 2} = 2 \times 7.5 = 15 kN

在

5 m

B2 跨度上，三個等距集中荷載位於

1.25, 2.5, 3.75 m

。B2 每端恆載反力：

\frac{3 \times 22.5}{2} = 33.75 kN

B2 每端外加荷載反力：

\frac{3 \times 15}{2} = 22.5 kN

內部集中荷載（point load）有三個，不是四個：四條樓板（slab）帶由三條內部 B1 及兩側 B3 邊界劃分。三個荷載對稱，因此 B2 每端反力（reaction）為總荷載的一半。直接到達柱支承樑端的荷載，不會增加跨內彎矩（bending moment）。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

3. 組合 B3 跨中（midspan）集中荷載（point load）及直接樓板（slab）均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）

淺白解說（Simple explanation）：樓板荷載怎樣走到樑？（Load path）

每條樑收集屬於自己的那條樓板帶所承受的荷載。

按平面圖找分擔寬度（Tributary width）。
面荷載（Area load）× 分擔寬度 = 線荷載（Line load）。
支承另一條樑時，接收的是該樑的端反力（End reaction）。

注意（Remember）：端反力形成集中荷載（Point load），不能直接當作均佈荷載（UDL）。

相關概念與完整方法（Full method）

跨中恆載集中力：

2 \times 33.75 = 67.5 kN

跨中外加荷載集中力：

2 \times 22.5 = 45 kN

直接均佈恆載：

6 \times 1.25 = 7.5 \frac{kN}{m}

直接均佈外加荷載：

4 \times 1.25 = 5 \frac{kN}{m}

極限集中力：

P = 1.4 \times 67.5 + 1.6 \times 45 = 94.5 + 72 = 166.5 kN

極限均佈荷載：

w = 1.4 \times 7.5 + 1.6 \times 5 = 10.5 + 8 = 18.5 \frac{kN}{m}

跨中（midspan）集中力的二倍，代表 B3 每側各一條 B2；並非把 B3 的 $6 m$ 跨度（span）或 $1.25 m$ 分擔樓板（slab）帶加倍。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

4. B3 的反力（reaction）、剪力（shear force）及彎矩（bending moment）

淺白解說（Simple explanation）：反力為何要平衡？（Equilibrium）

想像一塊蹺蹺板：不能跌下，也不能一直轉動。

向上反力（Reactions）總和要平衡向下荷載。
以支承點取矩（Moments），該支承反力便沒有力臂。
力臂（Lever arm）是取矩點至力作用線的垂直距離。

注意（Remember）：側向約束（Lateral restraint）不一定提供豎向支承。

相關概念與完整方法（Full method）

特徵恆載反力：

\frac{67.5 + 7.5 \times 6}{2} = 56.25 kN

特徵外加荷載反力：

\frac{45 + 5 \times 6}{2} = 37.5 kN

極限反力：

1.4 \times 56.25 + 1.6 \times 37.5 = 138.75 kN

直接核對：

\frac{166.5 + 18.5 \times 6}{2} = 138.75 kN

跨中左側剪力：

138.75 - 18.5 \times 3 = 83.25 kN

跨中右側：

83.25 - 166.5 = - 83.25 kN

M_{\max} = \frac{166.5 \times 6}{4} + \frac{18.5 \times 6^{2}}{8}

= 249.75 + 83.25 = 333 kN \cdot m

最大剪力在支承處：

| V |_{\max} = 138.75 kN

。

動畫解說（Animation lab）反力與彎矩平衡（Equilibrium）2 個概念 · 1 個原式

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本示意為 6 m 簡支樑及 60 kN 集中荷載，並非原題的荷載圖。
$R_{B} \times L = P \times a$ 。荷載越靠近 B， $R_{B}$ 越大。
$R_{A} = P - R_{B}$ 。兩個向上反力的總和必須等於 P。
荷載在跨中時， $R_{A} = R_{B} = 30 kN$ ；端彎矩、均布荷載及懸臂段均須加入各自的平衡項。

5. 選用 $457 \times 152 \times 52$ UB

試用

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

S_{required} = \frac{333 \times 10^{6}}{355} = 938,028.17 {mm}^{3} = 938.028 {cm}^{3}

所選

S_{x} = 1,096 {cm}^{3} > 938.028

。

Data File 第 9 頁 $457 \times 152 \times 52$ 列給出 $D = 449.8$ 、 $t = 7.6$ 、 $T = 10.9$ 、 $r = 10.2$ 、 $d = 407.6 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 6.99$ 及 $\frac{d}{t} = 53.6$ 。第 10 頁相同代號列給出 $I_{x} = 21,370 {cm}^{4}$ 、 $Z_{x} = 950 {cm}^{3}$ 、 $S_{x} = 1,096 {cm}^{3}$ 。 $T = 10.9 \leq 16$ 確認 $p_{y} = 355$ 。截面性質（section properties）不用內插（interpolation），直接讀取對應列。

動畫解說（Animation lab）按正確條件查表（Table lookup）3 個概念 · 13 個原式

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先確認要查材料強度、截面性質、屈曲強度，還是彎矩係數。
截面規格、鋼級、厚度組別、曲線及軸向是不同查表條件，須逐一核對。
$cm^{2}$ 、 $cm^{3}$ 及 $cm^{4}$ 的換算次方不同；相鄰欄位的數值不可互換。
只在同一適用欄內的上下兩列之間插值；所有實際表值均以原頁為準。

6. 分類試算截面

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

\frac{b}{T} = 6.99 < 9 ε = 7.92127

翼緣為 Class 1。

\frac{d}{t} = 53.6 < 80 ε = 70.4113

彎曲腹板為 Class 1，整體亦為 Class 1。

\frac{d}{t} = 53.6 < 70 ε = 61.6099

不用另行驗算腹板剪切屈曲。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）2 個概念 · 1 個原式

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翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

7. 驗算（check）抗剪承載力（shear resistance）

A_{v} = t D = 7.6 \times 449.8 = 3,418.48 {mm}^{2}

V_{c} = \frac{355 \times 3,418.48}{\sqrt{3} \times 1,000} = 700.649 kN

138.75 < 700.649

，抗剪通過。

動畫解說（Animation lab）觀察腹板剪力（Shear resistance）1 個概念 · 1 個原式

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內部剪力使切口兩側保持垂直平衡。
課程常見工字截面主要由腹板提供剪切面積，但須採指定定義。
較薄腹板可能需要先按另一剪切屈曲程序驗算，不能直接沿用簡式。
在課程適用條件下使用 $V_{c} = \frac{p _{y} A _{v}}{3}$ ；應先把 N 換成 kN，再與設計剪力比較。

8. 驗算（check）抗彎承載力（moment resistance）

淺白解說（Simple explanation）：一邊壓、一邊拉（Bending）

彎曲使截面兩側做相反工作：一側被壓短，另一側被拉長。

先按實際荷載及支承求彎矩（Moment）。
按截面類別選適用抗彎承載力（Moment resistance）公式。
檢查同一位置的共同作用剪力（Coexistent shear）會否改變公式。

注意（Remember）：要用該位置的剪力，不是隨意套用另一位置的最大剪力。

相關概念與完整方法（Full method）

跨中同一截面的剪力

= 83.25 kN

。

0.6 V_{c} = 420.390 kN > 83.25

屬低剪力。

p_{y} S_{x} = \frac{355 \times 1,096}{1,000} = 389.08 kN \cdot m

1.2 p_{y} Z_{x} = \frac{1.2 \times 355 \times 950}{1,000} = 404.7 kN \cdot m

M_{c} = 389.08 kN \cdot m > 333 kN \cdot m

通過。

來源要求的 B3 設計示範了剪力（shear force）、彎矩（bending moment）及撓度（deflection）。本題沒有指定承壓（bearing）幾何，不能完成局部腹板（web）數值設計。不要把例題 1 的 $160 mm$ 承壓寬度帶入本題。

動畫解說（Animation lab）截面中的壓力與拉力（Bending）1 個概念 · 1 個原式

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正彎矩使上翼緣受壓、下翼緣受拉；負彎矩時則相反。
彈性彎曲應力隨離中性軸的距離變化： $σ = \frac{M y}{I}$ 。
截面類別決定可用彈性、塑性還是有效截面性質。
採用正在驗算截面的剪力；其他位置的最大剪力不一定同時出現。

9. 驗算（check） B3 正常使用狀態

淺白解說（Simple explanation）：樑下垂多少？（Deflection）

強度問會否破壞；撓度問移動了多遠。

用題目指定的正常使用荷載（Serviceability load case）。
選符合支承及荷載位置的撓度公式。
荷載、長度、E 和 I 的單位要互相配合。

注意（Remember）：最大撓度（Maximum deflection）不一定在跨中（Midspan）。

相關概念與完整方法（Full method）

使用外加荷載

P = 45,000 N

、

w = 5 \frac{N}{mm}

，以及

L = 6,000 mm

。

I = 21,370 \times 10^{4} = 213,700,000 {mm}^{4}

δ_{P} = \frac{45,000 \times {6,000}^{3}}{48 \times 205,000 \times 213,700,000} = 4.62239 mm

δ_{w} = \frac{5 \times 5 \times {6,000}^{4}}{384 \times 205,000 \times 213,700,000} = 1.92600 mm

δ = 4.62239 + 1.92600 = 6.54839 mm

\frac{L}{360} = \frac{6,000}{360} = 16.66667 mm

6.54839 < 16.66667

，在假設有脆性飾面的情況下通過。

動畫解說（Animation lab）觀察剛度與撓度（Deflection）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

選用指定 SLS 荷載、跨度及支承條件；此示意採全跨均布荷載。
樑受荷後彎曲；圖中變形放大，以便觀察。
簡支樑全跨均布荷載： $δ = \frac{5 w L ^{4}}{384 E I}$ 。保持 w、E、I 不變，L 加倍便使 δ 增至 16 倍。
讀數示意採 $w = 10 \frac{N}{mm}$ 、 $E = 205000 \frac{N}{mm ^{2}}$ 、 $I = 200000000 mm^{4}$ ；容許值須按原表的飾面及支承類別選取。

精簡考試答案（exam answer）

B1 特徵反力（reaction） $G$ ／ $Q$ 分別為 $11.25$ ／ $7.5 kN$ 。B2 有三個 $22.5$ ／ $15 kN$ 集中荷載（point load），端反力 $33.75$ ／ $22.5 kN$ 。B3 跨中（midspan） $G$ ／ $Q$ 分別為 $67.5$ ／ $45 kN$ ，另加 $7.5$ ／ $5 \frac{kN}{m}$ 。極限 $P = 166.5 kN$ 、 $w = 18.5 \frac{kN}{m}$ 、 $V_{\max} = 138.75 kN$ 、 $M_{\max} = 333 kN \cdot m$ 。選 S355 $457 \times 152 \times 52$ UB，Class 1： $V_{c} = 700.649 kN$ 、 $M_{c} = 389.08 kN \cdot m$ 、 $δ = 6.548 mm < 16.667 mm$ 。已示範的驗算（check）均通過。

應避免的錯誤

樓面面荷載（area load）須乘分擔荷載（tributary load）寬度，才能變成樑的均佈線荷載（line load）。
不要把被支承樑的全部荷載傳到每一端。
B3 直接支承的樓板（slab）帶要計入一次。
題目已包括的自重（self-weight），不要重複加入。

處理陌生變式的程序

辨認豎向支承、跨度（span）、側向約束（lateral restraint）及各荷載位置。
分開恆載（dead load）及外加荷載（imposed load），建立所需極限狀態（limit state）及正常使用荷載（service load）工況。
從平衡方程（equilibrium equation）求反力（reaction）及最大剪力（shear force）／彎矩（bending moment），並標明單位。
選取截面表（section tables）型號行，確認隨厚度（thickness）而變的強度，並對翼緣（flange）及腹板（web）分類。
驗算（check）剪力（shear force）及彎矩（bending moment）；若只在個別位置設側向約束（lateral restraint），另作分段 LTB 驗算。
完成題目要求的腹板（web）及撓度（deflection）驗算（check），說明控制結果及欠缺資料。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：只有特徵樓面外加面荷載（area load）由 $4$ 增至 $5 \frac{kN}{m^{2}}$ 。求 B3 新的極限 $P$ 、 $w$ 及外加荷載（imposed load）撓度（deflection）；恆載（dead load）保持原值。

顯示答案及解釋

全部外加荷載（imposed load）效應乘 $\frac{5}{4}$ 。B3 外加集中力 $= 56.25 kN$ ，外加均佈荷載（uniformly distributed load, UDL） $= 6.25 \frac{kN}{m}$ 。 $P = 1.4 \times 67.5 + 1.6 \times 56.25 = 184.5 kN$ $w = 1.4 \times 7.5 + 1.6 \times 6.25 = 20.5 \frac{kN}{m}$ $M = \frac{184.5 \times 6}{4} + \frac{20.5 \times 36}{8} = 369 kN \cdot m < 389.08$ 外加荷載撓度（deflection）： $6.54839 \times 1.25 = 8.18549 mm < 16.66667$ 最大剪力（shear force）： $\frac{184.5 + 20.5 \times 6}{2} = 153.75 kN < 700.649$ 這些驗算（check）仍通過。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）5 個概念 · 7 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

鋼樑（steel beam）例題 2：追蹤圖書館樓面荷載（area load）如何傳至 B3 樑

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

1. 樓板（slab）傳至 B1

2. B1 反力（reaction）傳至 B2

3. 組合 B3 跨中（midspan）集中荷載（point load）及直接樓板（slab）均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）

4. B3 的反力（reaction）、剪力（shear force）及彎矩（bending moment）

5. 選用 457×152×52457×152×52 UB

6. 分類試算截面

7. 驗算（check）抗剪承載力（shear resistance）

8. 驗算（check）抗彎承載力（moment resistance）

9. 驗算（check） B3 正常使用狀態

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試

5. 選用 $457 \times 152 \times 52$ UB