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鋼柱（steel column）：屈曲（buckling）、偏心（eccentricity）反力（reaction）與組合作用

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

受壓鋼柱（steel column）可能因板件局部屈曲（local buckling）、截面屈服（yielding），或整根構件屈曲（buckling）而破壞。通過一項驗算（check），不代表其餘也合格。本章沿用 LectureNotes/Ch 4_Column.pdf 及所提供的 HK2011 表格。數值設計範圍為無側移（sway）鋼柱（non-sway columns）；講義亦包括有側移理論，因此本章會解釋其辨認方法。

講義例題（Lecture examples）已放在相關概念之後；展開即可在本章閱讀完整原圖、計算步驟、考試答案（Exam answer）及自測（Self-check）。

1. 有效長度（effective length）對應特定軸線與約束模型

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

長細比（slenderness ratio）衡量構件在某一屈曲（buckling）方向上有多長、抵抗彎曲的幾何能力有多弱： $λ = \frac{L^{E}}{r}$ 。迴轉半徑（radius of gyration） $r = \sqrt{\frac{I}{A}}$ 描述截面面積（cross-sectional area）距該彎曲軸的分佈。 $r$ 越大，長細比越小。沿弱軸（minor axis）方向加設拉結，可在不更改鋼材截面的情況下提高承載力（resistance），但只對它實際限制的屈曲方向有效。

L_{Ex} = K_{x} L_{x}; λ_{x} = \frac{L_{Ex}}{r_{x}}

L_{Ey} = K_{y} L_{y}; λ_{y} = \frac{L_{Ey}}{r_{y}}

Table 8.6 的理想化約束模式	理論 $K$ 值	實際條件接近理想情況時的建議 $K$ 值
兩端均限制轉動及平移。	$0.5$	$0.70$
一端固定、另一端鉸接（pinned connection），兩端平移均受到限制。	$0.7$	$0.85$
一端固定，另一端限制轉動但容許平移。	$1.0$	$1.20$
兩端鉸接（pinned connection），平移受到限制。	$1.0$	$1.00$
一端固定、一端自由的懸臂柱。	$2.0$	$2.10$
來源第六種模式：頂端部分限制轉動，容許平移。	沒有指定	$1.5$

Ch4 第 2 頁原 Table 8.6：按圖示端部條件，分清理論值及建議值兩行。 — Ch 4 第 2 頁原 Table 8.6：理想化柱的有效長度（effective length）。虛線表示屈曲（buckling）形狀（buckled shape）。由左至右的六種端部模式及兩行系數，已在上方表格對照。圖例（diagram legend）從上至下依序表示：轉動及平移均固定；轉動自由、平移固定；轉動固定、平移自由；兩者均自由；轉動部分受限、平移自由。原文的 “Transition” 在此指平移（translation）。頁面公式為 $λ = \frac{L_{E}}{r}$ ，且 $L_{E} = K L$ 。開啟原尺寸圖片

若題目已明確提供有效長度（effective length），直接使用該值；否則像例題一樣，按模型條件選取來源的建議系數。課程詳解用 $0.70$ 時，不可改用教科書理論值 $0.5$ 。鉸符號代表容許轉動，不代表容許側向平移。 $r$ 與 $L$ 必須使用相同單位。

自己試一試。一根 $6 m$ 鉸接（pinned connection）柱在半高設有拉結，但只限制弱軸（minor axis）屈曲（buckling）。求 $L_{x}^{E}$ 及 $L_{y}^{E}$ 。

顯示答案及解釋

$L_{x}^{E} = 6 m$ ； $L_{y}^{E} = 3 m$ 。強軸（major axis）屈曲（buckling）仍可延伸至全高。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 5 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

2. 先選屈曲曲線（buckling curve），再查抗壓強度

淺白解說（Simple explanation）：查表要拿齊幾把鑰匙（Table lookup）

表格像地址：只知道街名，仍未找到正確位置。

按截面種類、厚度及軸向選屈曲曲線（Buckling curve）。
再選材料強度（Material strength）欄。
找包圍長細比的兩行，需要時內插（Interpolate）。

注意（Remember）：不要跳到另一鋼級，也不要超出已提供數據作外推（Extrapolation）。

相關概念與完整方法（Full method）

先確定截面不是纖細截面（slender section）。均勻受壓時，講義驗算（check）翼緣（flange） $\frac{b}{T} \leq 13 ε$ 及腹板（web） $\frac{d}{t} \leq 40 ε$ ，即半緊密截面的限值。通過後可使用毛截面承載力（resistance） $P_{c} = A_{g} p_{c}$ ，但這不代表截面屬 Class 1。彎曲與軸力（axial force）並存時，必須先採用適用的類別限值，才可聲稱能使用塑性（plasticity）抗彎承載力（moment resistance）。

截面；最大厚度（thickness）	繞 $x - x$ 軸的曲線	繞 $y - y$ 軸的曲線
熱軋（hot-rolled） I 形； $\leq 40 mm$	$a$	$b$
熱軋（hot-rolled） I 形； $> 40 mm$	$b$	$c$
熱軋（hot-rolled） H 形（UC）； $\leq 40 mm$	$b$	$c$
熱軋（hot-rolled） H 形； $> 40 mm$	$c$	$d$
焊接 I 或 H 形； $\leq 40 mm$	$b$	$c$
焊接 I 或 H 形； $> 40 mm$	$b$	$d$

以上各行來自 Data File 第 7 頁 Table 8.7；Ch 4 第 4 頁的完整來源還包括空心截面、棒材、角鋼（angle section）、槽鋼（channel section）、蓋板及焊接箱形截面。全表附註同樣重要：厚度（thickness） $40$ – $50 mm$ 容許指定的平均處理；製造方式及蓋板幾何亦可能改變曲線。不能只憑鋼材等級選曲線。

Ch4 第 4 頁完整 Table 8.7：截面類型、最大厚度、屈曲軸欄及特別附註。 — Ch 4 第 4 頁完整 Table 8.7：截面類型、最大厚度（thickness）、屈曲（buckling）軸及特別附註。以下每對曲線依序為 $x - x$ ／ $y - y$ ；厚度門檻以原表為準。
熱加工空心截面（hot-finished structural hollow sections）且鋼材等級高於 S460，或熱加工無縫空心截面： $a_{0}$ ／ $a_{0}$ 。熱加工空心截面且等級低於 S460： $a$ ／ $a$ 。原圖（source diagram）這兩行分別寫「高於」及「低於」，未明寫恰好 S460 的歸屬，不能補猜等號。冷彎、縱縫或螺旋縫焊接空心截面： $c$ ／ $c$ 。
熱軋（hot-rolled） I 形：厚度 $\leq 40 mm$ 用 $a$ ／ $b$ ； $> 40 mm$ 用 $b$ ／ $c$ 。熱軋 H 形：同樣兩個厚度區間依序用 $b$ ／ $c$ 及 $c$ ／ $d$ 。焊接 I／H 形：依序用 $b$ ／ $c$ 及 $b$ ／ $d$ ，另看附註 2。
焊有翼緣（flange）蓋板的熱軋截面，按 Figure 8.4 的 $\frac{U}{B}$ 比例選行。當 $0.25 < \frac{U}{B} < 0.80$ ：I 形在上述兩個厚度區間依序用 $a$ ／ $b$ 及 $b$ ／ $c$ ；H 形依序用 $b$ ／ $c$ 及 $c$ ／ $d$ 。當 $\frac{U}{B} \geq 0.80$ ：I／H 形依序用 $b$ ／ $a$ 及 $c$ ／ $b$ 。當 $\frac{U}{B} \leq 0.25$ ：I／H 形依序用 $b$ ／ $c$ 及 $b$ ／ $d$ 。
焊接箱形截面：上述兩個厚度區間依序用 $b$ ／ $b$ 及 $c$ ／ $c$ ，另看附註 3。圓、方或扁棒：依序用 $b$ ／ $b$ 及 $c$ ／ $c$ 。熱軋角鋼（angle section）、槽鋼（channel section）、T 形鋼；以綴條、綴板或背靠背連接的兩個熱軋截面；以及熱軋組合截面：任何軸均用 $c$ 。
附註 1：厚 $40 mm$ 至 $50 mm$ 時，對同一相關 $p_{y}$ ，可把不超過 $40 mm$ 及超過 $40 mm$ 的 $p_{c}$ 值取平均。附註 2：焊接 I／H 形翼緣若以機械熱切割、其後沒有磨邊或機加工，繞 $y - y$ 軸時，翼緣厚度（flange thickness）不超過 $40 mm$ 可用曲線 $b$ ，超過則用 $c$ 。附註 3：「焊接箱形」包括由板件或熱軋截面組成、且所有縱向焊縫（weld）靠近角部的箱形；不包括帶縱向加勁肋（stiffener）的箱形。附註 4：來源容許經荷載／材料分項系數差異處理、並以 Tables 8.8(a₀), (a) to (h) 校準的其他認可規範曲線，另須看 Table 8.8 腳註；這並不提供可直接混用的數值。開啟原尺寸圖片

辨認截面類型及製造方式、最大厚度（thickness）和屈曲（buckling）軸，再選曲線。
按鋼材等級及厚度（thickness）確認 $p_{y}$ ，在 Table 8.8 對應曲線中選取該強度欄。
計算該軸的 $λ$ ，找出上下夾着它的兩行，再內插（interpolation） $p_{c}$ ；不要外推至所提供表格以外。
計算 $P_{cx} = A_{g} p_{cx}$ 及 $P_{cy} = A_{g} p_{cy}$ ，彎曲屈曲（flexural buckling）受壓驗算（check）採用較小者。

若

A

用

{cm}^{2}

，

p_{c}

用

\frac{N}{{mm}^{2}}

：

P_{c} (kN) = \frac{A \times 100 \times p_{c}}{1,000} = \frac{A p_{c}}{10}

即使 $r_{y}$ 較小，仍須檢查兩軸：不同有效長度（effective length）及曲線可能改變控制方向。Data File 第 8 頁只在其印出的行範圍內提供 S355 曲線；講義及 2023 附加資料另有表格。選用一份已提供、適用的表並引用來源，不可按趨勢猜造數值。

鋼柱（steel column）例題 1：兩端鉸接（pinned connection）柱的軸向受壓

單獨開啟本例（Open example page）

為長 $6 m$ 、兩端鉸接（pinned connection）的鋼柱（steel column）選擇 S355 UC。柱承受設計軸向壓力（compressive force） $2,500 kN$ ；驗算（check）所選截面的抗壓承載力（compression resistance）。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 21 頁、第 22 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	來源及意思
設計荷載（design load）	已知 $F_{c} = 2,500 kN$ ，已乘分項系數，毋須再拆分恆載（dead load）／外加荷載（imposed load）。
約束	兩端鉸接（pinned connection），端部平移受阻；Table 8.6 給出兩軸均為 $K = 1$ 。
所選表格列	Data File 第 11 頁 $305 \times 305 \times 118$ UC：翼緣（flange） $T = 18.7 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 8.22$ 、 $\frac{d}{t} = 20.6$ 、 $r_{x} = 13.6 cm$ 、 $r_{y} = 7.77 cm$ 、 $A = 150 {cm}^{2}$ 。
強度及屈曲曲線（buckling curve）	S355， $T = 18.7$ ，得 $p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。熱軋（hot-rolled） H 型鋼， $T \leq 40$ ，所以 $x$ 軸用曲線 b， $y$ 軸用曲線 c。

計算前：辨認題型與選擇策略

題目沒有指定彎矩（bending moment），核心數值任務是構件軸壓屈曲（buckling）。先確認局部板件不屬纖細，才可用毛截面面積（gross area）；再分別計算兩軸長細比（slenderness ratio）及選對曲線。只知道面積並不足夠：細長而較弱的柱可能遠未達 $A_{g} p_{y}$ 就屈曲。

1. 選截面並確認強度

講師試選 $305 \times 305 \times 118$ UC。標稱質量 $118 \frac{kg}{m}$ 是型鋼代號的一部分；強度計算用表中毛截面面積（gross area） $150 {cm}^{2}$ 。翼緣（flange）厚 $18.7 mm$ ，位於 S355 的 $16 < T \leq 40 mm$ 厚度（thickness）範圍。

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

A_{g} = 150 {cm}^{2} \times 100 = 15,000 {mm}^{2}

毛截面壓潰承載力（squash resistance）：

A_{g} p_{y} = \frac{15,000 \times 345}{1,000} = 5,175 kN

$5,175 kN$ 超過荷載，但這不是構件抗壓承載力（compression resistance）；仍要驗算（check）局部板件長細比（slenderness ratio）及整體屈曲（overall buckling）。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）2 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

2. 確認截面非纖細

淺白解說（Simple explanation）：薄板會先起皺（Local buckling）

整根鋼構件尚未發揮預期承載力，薄板部分可能已先起皺。

分別按定義算翼緣（Flange）及腹板（Web）的寬厚比。
把各比值與適用截面類別（Section class）界限比較。
較不利板件決定整個截面的類別。

注意（Remember）：彎曲（Bending）與均勻受壓（Uniform compression）的界限不同。

相關概念與完整方法（Full method）

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

均勻受壓翼緣的半緊密限值：

13 ε = 11.6065

\frac{b}{T} = 8.22 < 11.6065

均勻受壓腹板的半緊密限值：

40 ε = 35.7122

\frac{d}{t} = 20.6 < 35.7122

兩者均通過，截面非纖細，適用毛截面抗壓承載力方法。

這證明截面為 Class 3 或更佳，未必代表翼緣（flange）達到塑性（plasticity）類別。純軸壓例題不用塑性抗彎承載力（moment resistance）；按指定方法，核對非纖細界限已足夠。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

3. 分別求兩軸長細比（slenderness ratio）

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

L_{Ex} = L_{Ey} = 1 \times 6,000 = 6,000 mm

r_{x} = 13.6 cm = 136 mm; r_{y} = 7.77 cm = 77.7 mm

λ_{x} = \frac{6,000}{136} = 44.117647

λ_{y} = \frac{6,000}{77.7} = 77.220077

弱軸（minor axis）迴轉半徑（radius of gyration）較小，所以長細比（slenderness ratio）大得多；但仍要查兩條曲線，不能單憑長細比較大便當作已證明哪個承載力（resistance）控制。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

4. 讀表並內插（interpolation）兩個抗壓強度

淺白解說（Simple explanation）：查表要拿齊幾把鑰匙（Table lookup）

表格像地址：只知道街名，仍未找到正確位置。

按截面種類、厚度及軸向選屈曲曲線（Buckling curve）。
再選材料強度（Material strength）欄。
找包圍長細比的兩行，需要時內插（Interpolate）。

注意（Remember）：不要跳到另一鋼級，也不要超出已提供數據作外推（Extrapolation）。

相關概念與完整方法（Full method）

Table 8.7，熱軋（hot-rolled） H 型截面，最大厚度（thickness） $18.7 \leq 40 mm$ ： $x - x$ 用 8.8(b)， $y - y$ 用 8.8(c)。兩者均查 Data File 第 8 頁的 $p_{y} = 345$ 欄。

強軸，曲線 b：

44

列為

302

，

46

列為

298 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{44.117647 - 44}{46 - 44} = 0.058824

p_{c} = 302 + 0.058824 \times (298 - 302) = 301.764706 \frac{N}{{mm}^{2}}

弱軸，曲線 c：

76

列為

196

，

78

列為

191 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{77.220077 - 76}{78 - 76} = 0.610039

p_{c} = 196 + 0.610039 \times (191 - 196) = 192.949807 \frac{N}{{mm}^{2}}

來源把兩者捨入為 $302$ 及 $193 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。相同面積下，弱軸（minor axis） $p_{c}$ 較小，故控制承載力（resistance）。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）2 個概念 · 3 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

5. 求承載力（resistance）並作結論

P_{cx} = \frac{15,000 \times 301.764706}{1,000} = 4526.471 kN

P_{cy} = \frac{15,000 \times 192.949807}{1,000} = 2894.247 kN

P_{c} = \min (P_{cx}, P_{cy}) = 2894.247 kN

F_{c} = 2,500 < P_{c}

，在指定軸壓情況下足夠。利用率：

\frac{2,500}{2894.247} = 0.8638

若用講師捨入後的 $193$ ，得到 $\frac{150 \times 193}{10} = 2,895 kN$ ，與原答案一致。控制破壞模式（failure mode）是弱軸（minor axis）整體屈曲（overall buckling），不是整個毛截面屈服（yielding）。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

精簡考試答案（exam answer）

選 S355 $305 \times 305 \times 118$ UC； $T = 18.7$ ，得 $p_{y} = 345$ 。 $\frac{b}{T} = 8.22 < 13 ε$ ， $\frac{d}{t} = 20.6 < 40 ε$ ，非纖細。 $L_{x}^{E} = L_{y}^{E} = 6 m$ ， $λ_{x} = 44.1176$ ， $λ_{y} = 77.2201$ 。曲線 b／c 分別得 $p_{cx} = 301.765$ 、 $p_{cy} = 192.950 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。 $P_{c} = 2,894.247 kN > 2,500 kN$ ，足夠。來源捨入結果為 $2,895 kN$ 。

應避免的錯誤

不能只因鋼材是 S355，就用 $355 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
不能只因兩端均有支承，就把有效長度（effective length）減半。
UC 的兩軸不能一律用相同柱曲線。
不要把下方反力（reaction）箭嘴當作第二個外加荷載（imposed load）。

處理陌生變式的程序

辨認軸力（axial force）、任何彎矩（bending moment）、實際長度（actual length）及兩軸約束。
選截面／讀表，按實際厚度（thickness）確認強度。
核對適用的翼緣（flange）及腹板（web）局部長細比（slenderness ratio）限值。
分別求 $λ_{x}$ 、 $λ_{y}$ ，選各軸曲線，再內插（interpolation） $p_{c}$ 。
計算兩軸抗壓承載力（compression resistance），指出控制軸。
若有彎矩（bending moment），須用各自對應的承載力（resistance）及彎矩定義，完成截面、彎曲屈曲（flexural buckling）及軸力（axial force）／LTB 相互作用（interaction）驗算（check）。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：同一支柱改承受 $3,000 kN$ 設計軸向壓力（compressive force），長度及約束不變。能通過嗎？

顯示答案及解釋

不能。非纖細分類及屈曲（buckling）承載力（resistance）不變。利用率（utilisation ratio） $= \frac{3,000}{2,894.247} \approx 1.0365 > 1$ 。毛截面壓潰承載力 $5,175 kN$ 不能推翻構件屈曲不通過的結果。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

鋼柱（steel column）例題 2：弱軸（minor axis）拉繫支承容許採用較輕截面

單獨開啟本例（Open example page）

重新設計承受 $2,500 kN$ 軸壓的 $6 m$ 兩端鉸接（pinned connection）柱，這次柱中高度有有效拉繫支承，阻止弱軸（minor axis）屈曲（buckling）。選擇並驗算（check） S355 UC。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 23 頁、第 24 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	數值來源
軸力（axial force）	已知設計壓力（compressive force） $2,500 kN$ 。
拉繫支承方向	題目指定弱方向，因此只縮短繞 $y$ 軸的屈曲（buckling）長度。
試算截面	Data File 第 11 頁， $254 \times 254 \times 73$ UC： $T = 14.2 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 8.96$ 、 $\frac{d}{t} = 23.3$ 、 $r_{x} = 11.1 cm$ 、 $r_{y} = 6.48 cm$ 、 $A = 93.1 {cm}^{2}$ 。
表格	$T \leq 16$ ，所以 $p_{y} = 355$ ；熱軋（hot-rolled） H 型截面厚度（thickness） $\leq 40$ ，用曲線 b／c。

計算前：辨認題型與選擇策略

與例題 1 比較，約束可與面積同樣重要。弱軸（minor axis）拉繫支承把無側向支承長度由 $6$ 減至 $3 m$ ，因此可採較小鋼柱（steel column）。但換截面後，兩個迴轉半徑（radius of gyration）、面積及取決於厚度（thickness）的強度均須重新查表（table lookup）；不能沿用例題 1 的截面性質（section properties）。

1. 分別設定有效長度（effective length）

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

強軸沒有有效中間拉繫支承：

L_{Ex} = 6,000 mm

弱軸在柱中有拉繫支承：

L_{Ey} = 3,000 mm

兩段各長

3 m

，每段均承受完整

2,500 kN

軸力。

水平位置約束阻止屈曲（buckling）位移，不會承托一半豎向荷載，也不會產生 $\frac{2,500}{2} kN$ 的新軸壓情況。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

2. 試選 $254 \times 254 \times 73$ UC

T = 14.2 mm \leq 16 \to p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

A_{g} = 93.1 {cm}^{2} = 9,310 {mm}^{2}

r_{x} = 11.1 cm = 111 mm; r_{y} = 6.48 cm = 64.8 mm

全部數值來自 Data File 第 11 頁同一個準確型鋼列；此較輕試算截面是講義所選方案。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）3 個概念 · 1 個原式

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鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

3. 驗算（check）局部長細比（slenderness ratio）

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

13 ε = 11.4418; \frac{b}{T} = 8.96 < 11.4418

40 ε = 35.2056; \frac{d}{t} = 23.3 < 35.2056

均勻受壓的翼緣及腹板均非纖細。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）1 個概念 · 1 個原式

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翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

4. 有拉繫及無拉繫方向的長細比（slenderness ratio）

λ_{x} = \frac{6,000}{111} = 54.054054

λ_{y} = \frac{3,000}{64.8} = 46.296296

現在 $λ_{x}$ 大於 $λ_{y}$ ，但仍未能單憑這點證明 $x$ 軸控制，因其曲線 b 比弱軸（minor axis）曲線 c 較有利。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 1 個原式

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鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

5. 分別內插（interpolation）兩條曲線

淺白解說（Simple explanation）：兩行表值之間怎樣算？（Interpolation）

輸入走了幾成，答案也沿兩個表值之間走幾成。

先選對表格、屈曲曲線（Buckling curve）及強度欄。
算出所求輸入在上下兩行之間的位置比例。
用同一比例分配兩個答案的差值。

注意（Remember）：自編小例：100 與 80 的中間值是 90；不能跳過選欄步驟。

相關概念與完整方法（Full method）

$x$ 軸用 Table 8.8(b) 的 $p_{y} = 355$ 欄； $y$ 軸用 Table 8.8(c) 的 $p_{y} = 355$ 欄。

強軸：

54

列為

288

，

56

列為

283 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{54.054054 - 54}{56 - 54} = 0.027027

p_{c} = 288 + 0.027027 \times (283 - 288) = 287.864865 \frac{N}{{mm}^{2}}

弱軸：

46

列為

286

，

48

列為

280 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{46.296296 - 46}{48 - 46} = 0.148148

p_{c} = 286 + 0.148148 \times (280 - 286) = 285.111111 \frac{N}{{mm}^{2}}

雖然弱軸（minor axis）長細比（slenderness ratio）較小，它的強度仍稍低。來源的 $288$ 及 $285 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 是捨入值。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）3 個概念 · 3 個原式

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鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

6. 驗算（check）控制承載力（resistance）

P_{cx} = \frac{9,310 \times 287.864865}{1,000} = 2680.022 kN

P_{cy} = \frac{9,310 \times 285.111111}{1,000} = 2654.384 kN

P_{c} = 2654.384 kN > 2,500 kN

足夠。利用率：

\frac{2,500}{2654.384} = 0.9418

原解答（solution）把 $p_{c}$ 捨入至 $285$ ，得 $\frac{93.1 \times 285}{10} = 2,653.35 kN$ ，印為 $2,653 kN$ 。準確內插（interpolation）得 $2,654.384 kN$ 。沒有拉繫的例題採用 $118 \frac{kg}{m}$ ；加入拉繫後， $73 \frac{kg}{m}$ 試算截面已足夠。此結論假設（assumption）拉繫件能提供指定有效約束；拉繫件本身設計不在本題範圍。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 2 個原式

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鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

精簡考試答案（exam answer）

採用 S355 $254 \times 254 \times 73$ UC， $p_{y} = 355$ ；按 $13 ε$ 、 $40 ε$ 限值屬非纖細。 $L_{x}^{E} = 6 m$ 、 $L_{y}^{E} = 3 m$ ； $λ_{x} = 54.0541$ 、 $λ_{y} = 46.2963$ 。曲線 b／c 得 $p_{cx} = 287.865$ 、 $p_{cy} = 285.111 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。 $P_{c} = 2,654.384 kN > 2,500$ ，足夠。來源捨入承載力（resistance）為 $2,653 kN$ 。

應避免的錯誤

拉繫支承只改變其有效約束方向的屈曲（buckling）長度。
兩段 $3 m$ 柱均用完整軸力（axial force）。
比較實際 $p_{c}$ 值，不能只比較長細比（slenderness ratio）。
選了較輕截面後，須重新分類。

處理陌生變式的程序

辨認軸力（axial force）、任何彎矩（bending moment）、實際長度（actual length）及兩軸約束。
選截面／讀表，按實際厚度（thickness）確認強度。
核對適用的翼緣（flange）及腹板（web）局部長細比（slenderness ratio）限值。
分別求 $λ_{x}$ 、 $λ_{y}$ ，選各軸曲線，再內插（interpolation） $p_{c}$ 。
計算兩軸抗壓承載力（compression resistance），指出控制軸。
若有彎矩（bending moment），須用各自對應的承載力（resistance）及彎矩定義，完成截面、彎曲屈曲（flexural buckling）及軸力（axial force）／LTB 相互作用（interaction）驗算（check）。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：移除弱軸（minor axis）拉繫支承，但保留 $254 \times 254 \times 73$ UC。求弱軸長細比（slenderness ratio），並按所附表估算承載力（resistance）。

顯示答案及解釋

$λ_{y} = \frac{6,000}{64.8} = 92.59259$ 。曲線 c， $p_{y} = 355$ ： $92$ 列為 $158$ ， $94$ 列為 $153$ ，所以 $p_{c} = 158 + (\frac{0.59259}{2}) (153 - 158) = 156.5185 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。 $P_{cy} = \frac{9,310 \times 156.5185}{1,000} = 1,457.187 kN$ ，遠低於 $2,500$ 。無拉繫版本不通過。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）2 個概念 · 4 個原式

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鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）3 個概念 · 17 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

3. 截面承載力（resistance）：軸力（axial force）會佔用部分抗彎能力

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

\frac{F_{c}}{A_{g} p_{y}} + \frac{| M_{x} |}{M_{cx}} + \frac{| M_{y} |}{M_{cy}} \leq 1

Class 1／2：

M_{cx} = \min (p_{y} S_{x}, 1.2 p_{y} Z_{x})

M_{cy} = \min (p_{y} S_{y}, 1.2 p_{y} Z_{y})

$F_{c}$ 是臨界截面的設計壓力（compressive force）； $M_{x}$ 及 $M_{y}$ 是該處設計彎矩（bending moment），須包含指定放大效應。 $A_{g}$ 是毛截面面積（gross area）。每個比值均無量綱（dimension），所以力的單位須一致，彎矩的單位亦須一致。保守線性相互作用（interaction）使用大小；繞互相垂直軸線的彎矩不會抵消。若把不同位置的最大值放在一起，應標明這是保守包絡驗算（check）。沒有適當局部屈曲（local buckling）處理時，講義這條公式不適用於 Class 4。

UC 截面常由弱軸（minor axis）的 $1.2 p_{y} Z_{y}$ 上限控制；只計算 $p_{y} S_{y}$ 會高估容許彎矩（bending moment）。這裏的軸力（axial force）分母是 $A_{g} p_{y}$ ，不是已折減的構件承載力（resistance） $A_{g} p_{c}$ 。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

4. 構件屈曲（buckling）：分清來源中帶上橫線的符號

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

來源用上橫線區分一階彎矩（bending moment）及某些承載力（resistance）定義。細小橫線容易在文字擷取時遺失，因此必須看原圖（source diagram）。這裏的 $M_{y, first}$ 明確指來源帶橫線的 ${\bar{M}}_{y}$ ； $M_{x, amp}$ 及 $M_{y, amp}$ 已包含所需放大。即使截面為 Class 1，這些構件方程的彈性（elasticity）彎矩分母仍用 $p_{y} Z$ 。

彈性分母：

M_{ex} = p_{y} Z_{x}

；

M_{ey} = p_{y} Z_{y}

。
無側移彎曲屈曲相互作用（課程 Eq.8.80）：

\frac{F_{c}}{P_{c}} + \frac{m_{x} | M_{x, amp} |}{M_{ex}} + \frac{m_{y} | M_{y, amp} |}{M_{ey}} \leq 1

軸力／LTB 組合作用（Eq.8.81）：

\frac{F_{c}}{P_{cy}} + \frac{m_{LT} | M_{LT} |}{M_{b}} + \frac{m_{y} | M_{y, first} |}{M_{ey}} \leq 1

在無側移（sway）詳解方法中， $P_{c}$ 是按指定或計算所得有效長度（effective length）求出的兩軸承載力（resistance）較小者； $P_{cy}$ 則專指弱軸（minor axis）屈曲（buckling）承載力。 $M^{LT}$ 是控制側向扭轉承載力的已放大強軸（major axis）彎矩（bending moment），試卷經常另外提供。已標明「放大後」的 $M^{LT}$ 不可再放大。來源 Eq.8.81 最後一項使用一階弱軸彎矩，彎曲屈曲（flexural buckling）方程則使用已放大值。這就是例題（Example）5 看似不同的 $30$ 及 $34.5 kN \cdot m$ 的原因。

Ch4 第 15 頁：原 Eqs.8.79–8.81 及符號定義；須仔細辨認上橫線。 — Ch 4 第 15 頁：原 Eqs.8.79–8.81 及定義。以下按原圖（source diagram）保留上橫線；這是來源符號，不是把上方教學重新命名的 $M_{ex}$ 、 $M_{ey}$ 混入原式。
Eqn 8.79： $\frac{F_{c}}{P_{c}} + \frac{m_{x} {\bar{M}}_{x}}{M_{cx}} + \frac{m_{y} {\bar{M}}_{y}}{M_{cy}} \leq 1$ Eqn 8.80： $\frac{F_{c}}{{\bar{P}}_{c}} + \frac{m_{x} M_{x}}{M_{cx}} + \frac{m_{y} M_{y}}{M_{cy}} \leq 1$ Eqn 8.81： $\frac{F_{c}}{P_{cy}} + \frac{m_{LT} M_{LT}}{M_{b}} + \frac{m_{y} {\bar{M}}_{y}}{M_{cy}} \leq 1$ 原圖定義： $F_{c}$ 是臨界位置的設計壓力（compressive force）； $P_{cx}$ 、 $P_{cy}$ 是有側移（sway）模式下繞兩軸的受壓承載力（resistance）， $P_{c}$ 取兩者較小值； ${\bar{P}}_{c}$ 則是無側移模式下兩軸受壓承載力的較小值，由二階分析或以構件實長作有效長度（effective length）求得。 $M_{b}$ 是條文 8.3.5.2 的屈曲（buckling）抗彎承載力（moment resistance）。 $M_{x}$ 、 $M_{y}$ 是已按 $P - Δ - δ$ 效應放大的強軸（major axis）、弱軸（minor axis）最大設計彎矩（bending moment）； ${\bar{M}}_{x}$ 、 ${\bar{M}}_{y}$ 是對應一階線性分析彎矩。 $M_{LT}$ 是控制 $M_{b}$ 的已放大強軸彎矩。此原圖的 $M_{cx} = p_{y} Z_{x}$ 、 $M_{cy} = p_{y} Z_{y}$ 指彈性（elasticity）彎矩承載力。 $m_{x}$ 、 $m_{y}$ 取自 Table 8.9， $m_{LT}$ 取自 Table 8.4。開啟原尺寸圖片

只作有側移（sway）辨認：Eq.8.79 使用有側移模式的受壓承載力（resistance）及一階端彎矩（bending moment）；Eq.8.80 使用另一個無側移模式受壓承載力及已放大彎矩；Eq.8.81 加上軸力（axial force）／LTB 相互作用（interaction）。來源說明，不同側向荷載及初始曲率（curvature）效應可能分別控制。第 17 頁明確把有側移柱的數值設計排除於本課程外，所以詳解頁採用無側移分支，不自行建立來源沒有支持的有側移分析。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）1 個概念 · 6 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

5. 無側移（sway）、有側移及高度敏感框架

來源的分析方法	無側移（Non-sway）	有側移（Sway）	高度敏感（Ultra-sensitive）
課程一般方法	$λ_{cr} \geq 10$	$5 \leq λ_{cr} < 10$	$λ_{cr} < 5$
講義引用的高階分析分類	$λ_{cr} \geq 15$	$5 \leq λ_{cr} < 15$	$λ_{cr} < 5$

$λ_{cr}$ 是彈性（elasticity）臨界荷載系數（elastic critical load factor），即施加荷載要放大多少倍才出現彈性失穩模式；它不是構件長細比（slenderness ratio） $λ = \frac{L^{E}}{r}$ 。無側移（sway）分類容許使用指定的整體 $P - Δ$ 簡化，但局部構件 $P - δ$ 放大仍可能需要。高度敏感框架須按講義採用 $P - Δ - δ$ 二階或高階分析。支撐是限制側移的實體系統；分類則檢查所建立的結構模型對側移有多敏感。

動畫解說（Animation lab）約束、側移與初始缺陷（Frame behaviour）2 個概念 · 7 個原式

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框架除了傳遞重力，也需要明確的水平力傳遞路徑。
鉸接本身不提供剛架抗彎能力；限制側移須有實際結構系統。
斜撐藉軸力傳遞水平作用；此示意不直接判定框架的數值分類。
使用指定初始缺陷／假想水平力模型及臨界荷載判準，避免重複計入替代模型。

6. 壓力（compressive force）為何使彎矩（bending moment）增加？

淺白解說（Simple explanation）：移動後，多了一個力臂（二階效應）

受壓構件一旦側移，同一壓力便會產生額外彎矩。

P–Δ 是整體框架／樓層側移（Global sway）。
P–δ 是相對構件端點連線的局部彎曲（Member bow）。
只放大方法指定的一階彎矩（First-order moments）。

注意（Remember）：題目已給放大彎矩（Amplified moment）時，不可再乘一次。

相關概念與完整方法（Full method）

壓力（compressive force）經過有側向位移的位置時，會產生附加彎矩（bending moment）。大寫 $Δ$ 通常表示框架或樓層側移（sway），小寫 $δ$ 表示構件曲率（curvature）。二階分析可直接計入這些效應；若練習改為提供放大系數，便把相應一階彎矩乘一次該系數。

講義 Eq.6.1：

λ_{cr} = (\frac{F_{N}}{F_{V}}) (\frac{h}{δ_{N}})

本講義通常取

F_{N} = 0.005 F_{V}

。
整體放大系數：

\frac{1}{1 - \frac{F_{V} δ_{N}}{F_{N} h}}

構件放大系數：

\frac{1}{1 - \frac{F_{c} L_{E}^{2}}{π^{2} E I}}

$F_{v}$ 是本層及以上樓層已乘分項系數的豎向荷載； $F^{N}$ 是名義水平荷載； $h$ 是層高； $δ^{N}$ 是由 $F^{N}$ 引起的相對樓層位移。講義一般討論採用相關整體／構件放大系數中的較大者；無側移（sway）構件設計則指定局部構件系數。力及長度單位必須一致，使兩個分母中的比值均無量綱（dimension）。分母為零或負值，不代表得到可使用的負放大系數，而是近似法已達到或超越失穩條件。

自己試一試。自擬算術示範： $h = 4,000 mm$ 、 $\frac{F^{N}}{F_{v}} = 0.005$ 、 $δ^{N} = 2 mm$ 。求 $λ_{cr}$ 及整體放大系數。

顯示答案及解釋

$λ_{cr} = \frac{0.005 \times 4,000}{2} = 10$ ，剛好位於一般方法的無側移（sway）分界。上述整體放大系數為 $\frac{10}{10 - 1} = 1.1111$ ；另行計算的構件效應仍可能控制。

動畫解說（Animation lab）分清 P–Δ 與 P–δ（二階效應）1 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

虛線表示框架原位置；軸向壓力向下作用。
整體側移 Δ 令軸力產生附加彎矩 PΔ。
局部彎曲 δ 是相對於變形後兩端連線的偏移，並產生 Pδ。
遵從原題分析方法；不可再放大已放大的彎矩，亦不可混淆臨界荷載係數與構件細長比。

動畫解說（Animation lab）分清 P–Δ 與 P–δ（二階效應）1 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

虛線表示框架原位置；軸向壓力向下作用。
整體側移 Δ 令軸力產生附加彎矩 PΔ。
局部彎曲 δ 是相對於變形後兩端連線的偏移，並產生 Pδ。
遵從原題分析方法；不可再放大已放大的彎矩，亦不可混淆臨界荷載係數與構件細長比。

7. 彎曲屈曲（flexural buckling）彎矩系數（moment factor）與 LTB 系數不同

淺白解說（Simple explanation）：相似的彎矩係數，為何不能互換？

像兩份食譜：材料相同，也可能有不同分量。

先分清彎曲屈曲（Flexural buckling）或側扭屈曲（LTB）。
看實際彎矩圖（Moment diagram），包括正負號有否改變。
採用該驗算專用表格、正負號規則及最小係數界限。

注意（Remember）：表 8.9 的彎曲屈曲係數，不是表 8.4 的 LTB 係數。

相關概念與完整方法（Full method）

只有端彎矩（bending moment）的分段，使用帶正負號的內部端彎矩比 $β$ 查 Table 8.9。 $β$ 為正，表示 BMD 位於同一側；為負，表示彎矩變號。按講義柱端外加箭嘴約定， $β = - \frac{M_{bottom}}{M_{top}}$ 。必須核對實際箭嘴及 BMD，不能把這個負號不加判斷地套在內部彎矩圖（bending moment diagram, BMD）縱座標上。

Table 8.9，只有端彎矩：
當

0 \leq β \leq 1

：

m = 0.6 + 0.4 β

。
當

- 1 \leq β \leq 0

：

m = 0.6 + 0.2 β

。
例如

β = - 0.3 \to m = 0.54

；

β = + 0.7 \to m = 0.88

。
但 Table 8.4a 的 LTB 在

β = - 0.3

時，得到

m_{LT} = 0.48

。

兩張表在變號彎曲時尤其不同，一般四分點公式也不同。Table 8.9 採用：

m = 0.2 + \frac{0.1 M_{2} + 0.6 M_{3} + 0.1 M_{4}}{M_{\max}}

但須滿足

m \geq \frac{0.8 M_{24}}{M_{\max}}

$M_{2}$ 、 $M_{4}$ 是四分點彎矩（bending moment）， $M_{3}$ 是中點彎矩； $M_{24}$ 是中央半段的最大彎矩（maximum bending moment）大小。若三個縱座標在同一側，全部取正；若跨越零軸，則把能得到較大 $m$ 的一側定為正。 $M_{\max}$ 與 $M_{24}$ 永遠取正值。此正負號規則不同於 Table 8.4b，後者使用所有彎矩的絕對值。講義特殊彎曲屈曲（flexural buckling）工況：一個跨中（midspan）集中荷載（point load）取 $0.90$ ；均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）取 $0.95$ ；三個等大、等距集中荷載取 $0.95$ ；圖示兩個等大集中荷載取 $0.80$ 。使用前須配對圖示。

Ch4 第 18 頁 Table 8.9：特殊工況及一般工況的正負號規則。 — Ch 4 第 18 頁 Table 8.9：特殊工況及一般工況的正負號規則。圖中 X＝側向約束（lateral restraint）； $L$ ／ $L_{LT}$ 標示分段長度；上方兩個端彎矩（bending moment）為 $M$ 與 $β M$ ，左圖 $β$ 正、右圖 $β$ 負。端彎矩表的 $β \to m$ 逐行為：
$1.0 \to 1.00$ ， $0.9 \to 0.96$ ， $0.8 \to 0.92$ ， $0.7 \to 0.88$ ， $0.6 \to 0.84$ ， $0.5 \to 0.80$ ， $0.4 \to 0.76$ ， $0.3 \to 0.72$ ， $0.2 \to 0.68$ ， $0.1 \to 0.64$ ， $0.0 \to 0.60$ ， $- 0.1 \to 0.58$ ， $- 0.2 \to 0.56$ ， $- 0.3 \to 0.54$ ， $- 0.4 \to 0.52$ ， $- 0.5 \to 0.50$ ， $- 0.6 \to 0.48$ ， $- 0.7 \to 0.46$ ， $- 0.8 \to 0.44$ ， $- 0.9 \to 0.42$ ， $- 1.0 \to 0.40$ 。
左下特殊圖由上至下：跨中（midspan）一個集中荷載（point load） $m = 0.90$ ；均佈荷載（uniformly distributed load, UDL） $m = 0.95$ ；三個等大等距集中荷載 $m = 0.95$ ；兩個等大集中荷載位於三等分點 $m = 0.80$ 。右下圖 $M_{1}$ 、 $M_{5}$ 為端點， $M_{2}$ 、 $M_{4}$ 為四分點， $M_{3}$ 為中點。原式： $m = 0.2 + \frac{0.1 M_{2} + 0.6 M_{3} + 0.1 M_{4}}{M_{\max}}$ 但 $m \geq \frac{0.8 M_{24}}{M_{\max}}$ 。三個取樣點同側時取正；異側時，把得到較大 $m$ 的一側定為正。 $M_{\max}$ 、 $M_{24}$ 均取正，分別是整段及中央半段最大彎矩（maximum bending moment）。開啟原尺寸圖片

鋼柱（steel column）例題 5：軸力（axial force）加雙軸端彎矩（bending moment）

單獨開啟本例（Open example page）

驗算（check）支撐無側移框架（non-sway frame）中的 S355 $254 \times 254 \times 89$ UC 柱。柱長 $4.5 m$ ，一端固定、一端鉸接（pinned connection），設計壓力（compressive force） $1,650 kN$ 。已乘荷載分項系數（partial load factor）的一階端彎矩（bending moment）： $M_{x}$ 頂／底為 $+ 80$ ／ $+ 24 kN \cdot m$ ， $M_{y}$ 頂／底為 $+ 30$ ／ $- 21 kN \cdot m$ 。繞 $x$ 、 $y$ 軸放大系數分別為 $1.08$ 、 $1.15$ 。給定已放大的 $M^{LT} = 86.4 kN \cdot m$ ，分佈與 $M_{x}$ 相同。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 36 頁、第 37 頁、第 38 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

Ch 4 第 36 頁是荷載列表，沒有結構示意圖。clockwise＝順時針，取正；anti-clockwise＝逆時針（anticlockwise），取負。top／bottom＝頂端／底端；factored＝已乘荷載分項系數（partial load factor）；amplification factor＝彎矩（bending moment）放大系數。

4.5 m

長度及固定／鉸接（pinned connection）文字確立模型。原表把放大效應寫成

P - Δ - δ

；其已放大彎矩原式為

M_{LT} = 80 \times 1.08 = 86.4 kN \cdot m

，分佈與

M_{x}

相同。正文亦使用

M^{LT}

記法指同一給定彎矩，不能把它當成另一個未放大輸入。原荷載表及正負號約定保留，沒有推斷新尺寸；各端矩及截面性質（section properties）在下方按步驟排版。開啟原尺寸圖片

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	含義／數值來源
端彎矩（bending moment）	給定外加箭嘴正負號：繞 $x$ 為 $+ 80$ ／ $+ 24$ ；繞 $y$ 為 $+ 30$ ／ $- 21$ 。須換成 Table 8.9 內力彎矩圖（bending moment diagram, BMD）的端矩比。
彎矩（bending moment）放大	給定 $1.08$ 及 $1.15$ ； $M^{LT} = 86.4$ 已包括放大。
型鋼表列	Data File 第 11 頁， $254 \times 254 \times 89$ UC： $T = 17.3$ 、 $t = 10.3$ 、 $d = 200.3 mm$ ； $\frac{b}{T} = 7.41$ 、 $\frac{d}{t} = 19.4$ ； $r_{x} = 11.2 cm$ 、 $r_{y} = 6.55 cm$ ； $A = 113 {cm}^{2}$ ； $Z_{x} = 1,096$ 、 $Z_{y} = 379$ 、 $S_{x} = 1,224$ 、 $S_{y} = 575 {cm}^{3}$ ； $u = 0.850$ 、 $x = 14.5$ 。
約束／曲線選擇	Table 8.6 建議固定／鉸接（pinned connection） $K = 0.85$ ；熱軋（hot-rolled） H 型截面厚度（thickness） $\leq 40 mm$ ，繞 $x$ 用曲線 b，繞 $y$ 用曲線 c。

計算前：辨認題型與選擇策略

這是連續框架的端彎矩（bending moment）設計，須用完整 $u - v$ LTB 程序，並分別查彎曲屈曲（flexural buckling）及 LTB 的彎矩系數（moment factor）表。共驗算（check）三項：局部截面相互作用（interaction）、構件彎曲屈曲相互作用，以及軸力（axial force）／LTB 相互作用。截面彎矩分母是受上限限制的塑性（plasticity）承載力（resistance）；構件分母則是彈性（elasticity） $p_{y} Z$ 。來源 LTB 式的弱軸（minor axis）項用一階 $M_{y}$ ，彎曲屈曲式則用已放大 $M_{y}$ 。

1. 強度、組合應力（stress）分類及彎矩（bending moment）

T = 17.3 mm

位於

16 < T \leq 40

，所以

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

Class 1 翼緣限值

9 ε = 8.03525

；

\frac{b}{T} = 7.41 < 8.03525

。腹板壓力比：

r_{1} = \frac{F_{c}}{d t p_{y}}

= \frac{1,650,000}{200.3 \times 10.3 \times 345} \approx 2.318

按所提供分類規則，

r_{1}

限於

1

。Class 1 腹板限值：

\frac{80 ε}{1 + r_{1}} = \frac{80 \times 0.892805}{2} = 35.7122

\frac{d}{t} = 19.4 < 35.7122

，腹板為 Class 1，整體亦為 Class 1。

M_{x, amp} = 1.08 \times 80 = 86.4 kN \cdot m

M_{y, amp} = 1.15 \times 30 = 34.5 kN \cdot m; M_{y, first} = 30 kN \cdot m

給定

M_{LT} = 86.4 kN \cdot m

，不要再次放大。

未限制的 $r_{1}$ 超過 $1$ ，因為軸力（axial force）除的是腹板（web）面積 $d t$ ，不是總截面面積（cross-sectional area）。課程分類參數有上限；這不表示毛截面軸壓已超過承載力（resistance）。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

2. 截面相互作用（interaction）

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

A_{g} p_{y} = \frac{113 \times 100 \times 345}{1,000} = 3,898.5 kN

強軸：

p_{y} S_{x} = \frac{345 \times 1,224}{1,000} = 422.28 kN \cdot m

上限：

1.2 p_{y} Z_{x} = \frac{1.2 \times 345 \times 1,096}{1,000} = 453.744 kN \cdot m

M_{cx} = 422.28 kN \cdot m

弱軸：

p_{y} S_{y} = \frac{345 \times 575}{1,000} = 198.375 kN \cdot m

上限：

1.2 p_{y} Z_{y} = \frac{1.2 \times 345 \times 379}{1,000} = 156.906 kN \cdot m

M_{cy} = 156.906 kN \cdot m

利用率：

\frac{1,650}{3,898.5} + \frac{86.4}{422.28} + \frac{34.5}{156.906}

= 0.847720 < 1

截面通過。

給定荷載表中，兩軸最大彎矩（maximum bending moment）大小均在柱頂，所以在該處與指定軸壓同時存在。 $M_{cy}$ 由弱軸（minor axis）上限分支控制。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

3. 有效長度（effective length）及兩軸抗壓屈曲（buckling）承載力（resistance）

L_{Ex} = L_{Ey} = 0.85 \times 4,500 = 3,825 mm

r_{x} = 112 mm; r_{y} = 65.5 mm

λ_{x} = \frac{3,825}{112} = 34.151786

λ_{y} = \frac{3,825}{65.5} = 58.396947

$x$ 軸選曲線 b， $y$ 軸選曲線 c，均用 $p_{y} = 345$ 。來源只列控制的 $y$ 軸結果；下方 $x$ 軸查表（table lookup）補齊略去的比較。

曲線 b，

x

軸：

30

列為

325

，

35

列為

318 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{34.151786 - 30}{35 - 30} = 0.830357

p_{c} = 325 + 0.830357 \times (318 - 325) = 319.187500 \frac{N}{{mm}^{2}}

曲線 c，

y

軸：

58

列為

247

，

60

列為

241 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{58.396947 - 58}{60 - 58} = 0.198473

p_{c} = 247 + 0.198473 \times (241 - 247) = 245.809160 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{113 \times 319.187500}{10} = 3606.818750 kN

P_{cy} = \frac{113 \times 245.809160}{10} = 2777.643511 kN

P_{c} = P_{cy} = 2777.643511 kN

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）3 個概念 · 3 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

4. 分別查兩軸彎曲屈曲（flexural buckling）系數及 LTB 系數

淺白解說（Simple explanation）：相似的彎矩係數，為何不能互換？

像兩份食譜：材料相同，也可能有不同分量。

先分清彎曲屈曲（Flexural buckling）或側扭屈曲（LTB）。
看實際彎矩圖（Moment diagram），包括正負號有否改變。
採用該驗算專用表格、正負號規則及最小係數界限。

注意（Remember）：表 8.9 的彎曲屈曲係數，不是表 8.4 的 LTB 係數。

相關概念與完整方法（Full method）

題目正負號描述外加端彎矩（bending moment）的順／逆時針（anticlockwise）方向。換成內力端彎矩圖（bending moment diagram, BMD）時，底端符號須相對荷載表反轉。因此 $x$ 軸兩個同為正的外加端矩會產生反向彎矩圖； $y$ 軸外加端矩一正一負，則產生同側彎矩圖。

β_{x} = \frac{- 24}{80} = - 0.3

Table 8.9：

m_{x} = 0.54

。

β_{y} = \frac{- (- 21)}{30} = + 0.7

Table 8.9：

m_{y} = 0.88

。

M_{LT}

與

x

軸彎矩圖形相同，

β = - 0.3

。Table 8.4a：

m_{LT} = 0.48

。

不要把 $0.48$ 當作 $m_{x}$ ；它來自另一張 LTB 表。同一軸的均勻放大把兩端同乘一個系數，所以端彎矩（bending moment）比不變。

動畫解說（Animation lab）讀取同一段的彎矩形狀（Moment factor）3 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

彎矩縱座標須屬於同一個有效無側向支承段。
同側彎曲與反曲率彎矩圖有不同的端彎矩比正負號。
標記是此段的 ¼、½、¾ 位置，不一定是整樑的四分點。
側扭屈曲與柱彎曲屈曲係數不同，須保留各自的界限及係數組。

5. 用彈性（elasticity）分母驗算（check）構件彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）

M_{ex} = p_{y} Z_{x} = \frac{345 \times 1,096}{1,000} = 378.12 kN \cdot m

M_{ey} = p_{y} Z_{y} = \frac{345 \times 379}{1,000} = 130.755 kN \cdot m

U_{flex} = \frac{1,650}{2777.643511} + \frac{0.54 \times 86.4}{378.12} + \frac{0.88 \times 34.5}{130.755}

= 0.594029 + 0.123389 + 0.232190

= 0.949608 < 1

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

6. 軸力（axial force）／LTB 相互作用（interaction）

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

λ = 58.396947

；截面扭轉指數

x = 14.5

。

v = {[1 + 0.05 {(\frac{58.396947}{14.5})}^{2}]}^{- 0.25} = 0.862028

β_{w} = 1; λ_{LT} = 0.850 \times 0.862028 \times 58.396947 = 42.788808

Table 8.3a，

p_{y} = 345

欄：

40

列為

317

，

45

列為

302 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{42.788808 - 40}{45 - 40} = 0.557762

p_{b} = 317 + 0.557762 \times (302 - 317) = 308.633576 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{308.633576 \times 1,224}{1,000} = 377.767497 kN \cdot m

U_{LT} = \frac{1,650}{2777.643511} + \frac{0.48 \times 86.4}{377.767497} + \frac{0.88 \times 30}{130.755}

= 0.594029 + 0.109782 + 0.201904

= 0.905715 < 1

通過。

最後一項刻意用 $30 kN \cdot m$ ：來源 Eq.8.81 用帶橫線的一階 $M_{y}$ 。 $86.4 kN \cdot m$ 的 $M^{LT}$ 已放大。三項相互作用（interaction）全數通過；構件彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用最接近 $1$ 。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

精簡考試答案（exam answer）

S355 $254 \times 254 \times 89$ UC： $p_{y} = 345$ ，Class 1。截面利用率（utilisation ratio） $0.84772$ 。 $L^{E} = 3,825 mm$ ； $λ_{x} = 34.1518$ 、 $λ_{y} = 58.3969$ ；曲線 b／c 得 $p_{cx} = 319.1875$ 、 $p_{cy} = 245.8092 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。 $P_{c} = P_{cy} = 2,777.6435 kN$ 。 $m_{x} = 0.54$ 、 $m_{y} = 0.88$ ；彈性（elasticity）承載力（resistance） $378.12$ ／ $130.755 kN \cdot m$ ；彎曲屈曲（flexural buckling）利用率 $0.94961$ 。 $v = 0.862028$ 、 $λ^{LT} = 42.7888$ 、 $p_{b} = 308.6336$ 、 $M_{b} = 377.7675 kN \cdot m$ 、 $m^{LT} = 0.48$ ；軸力（axial force）／LTB 利用率 $0.90571$ 。全部通過。

應避免的錯誤

$17.3 mm$ 翼緣（flange）用 $345$ ，不是 $355$ 。
弱軸（minor axis）須套用 $1.2 p_{y} Z$ 上限。
構件相互作用（interaction）式不能用受上限限制的塑性（plasticity）承載力（resistance）作分母。
區分外加端彎矩（bending moment）正負號與內力彎矩圖（bending moment diagram, BMD）正負號。
來源 Eq.8.81 該項保留一階 $M_{y}$ 。

處理陌生變式的程序

辨認軸力（axial force）、任何彎矩（bending moment）、實際長度（actual length）及兩軸約束。
選截面／讀表，按實際厚度（thickness）確認強度。
核對適用的翼緣（flange）及腹板（web）局部長細比（slenderness ratio）限值。
分別求 $λ_{x}$ 、 $λ_{y}$ ，選各軸曲線，再內插（interpolation） $p_{c}$ 。
計算兩軸抗壓承載力（compression resistance），指出控制軸。
若有彎矩（bending moment），須用各自對應的承載力（resistance）及彎矩定義，完成截面、彎曲屈曲（flexural buckling）及軸力（axial force）／LTB 相互作用（interaction）驗算（check）。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：只把給定已乘分項系數表中的強軸（major axis）端彎矩（bending moment）改為 $+ 88$ ／ $+ 26.4 kN \cdot m$ 。原練習稱這些為「外加」（imposed）端矩，但同時明確指定：把修改視為所給總一階 $x$ 軸彎矩增加 $10 %$ ，軸力（axial force）及 $y$ 軸彎矩不變。按此數值定義，驗算（check）如何改變？

顯示答案及解釋

$x$ 軸端矩比仍為 $- 0.3$ ，所以 $m_{x} = 0.54$ 、 $m^{LT} = 0.48$ 不變。 $M_{x, amp} = M^{LT} = 1.08 \times 88 = 95.04 kN \cdot m$ 。截面利用率（utilisation ratio）增加 $\frac{8.64}{422.28} \approx 0.02046$ 至 $0.86818$ 。彎曲屈曲（flexural buckling）利用率增加 $\frac{0.54 \times 8.64}{378.12} \approx 0.01234$ 至 $0.96195$ 。LTB 利用率增加 $\frac{0.48 \times 8.64}{377.7675} \approx 0.01098$ 至 $0.91669$ 。全部仍通過，承載力（resistance）性質不變。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）3 個概念 · 3 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

動畫解說（Animation lab）讀取同一段的彎矩形狀（Moment factor）1 個概念 · 31 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

彎矩縱座標須屬於同一個有效無側向支承段。
同側彎曲與反曲率彎矩圖有不同的端彎矩比正負號。
標記是此段的 ¼、½、¾ 位置，不一定是整樑的四分點。
側扭屈曲與柱彎曲屈曲係數不同，須保留各自的界限及係數組。

8. 簡單結構設計：偏心（eccentricity）反力（reaction）仍會使柱受彎

簡支樑（simply supported beam）與柱的接頭不傳遞剛架端彎矩（bending moment），但豎向反力（reaction）仍可能偏離柱中心作用。標稱偏心距（eccentricity）由柱形心（centroid）量至反力作用線。樑承托於柱面時，反力位置採用「距柱面 $100 mm$ 」與「剛性承壓（stiff bearing）範圍中心」兩者中較遠者，再加上形心至柱面的距離；圖示強軸（major axis）情況為 $\frac{D}{2}$ 。

M = R e

接頭上下均有柱時，按

\frac{I}{L}

比例分配淨彎矩：

M_{lower} = M \frac{\frac{I_{lower}}{L_{lower}}}{(\frac{I_{lower}}{L_{lower}}) + (\frac{I_{upper}}{L_{upper}})}

上下柱截面相同時，可約去 $I$ 。 $3 m$ 下柱按 $\frac{I}{L}$ 計算的剛度，是 $6 m$ 上柱的兩倍，所以彎矩（bending moment）份額為 $\frac{2}{3}$ 及 $\frac{1}{3}$ 。相反側相等反力（reaction）的標稱彎矩可繞該軸抵消，但軸向壓力（compressive force）仍相加。上柱承受屋面荷載（area load），下柱承受屋面加中間樓層荷載。不可用分配彎矩的剛度比例，分配累積軸力（axial force）。

簡單結構設計的特別規則：

m_{x} = m_{y} = m_{LT} = 1

查抗彎強度時：

λ_{LT} = \frac{0.5 L}{r_{y}}

其中

L

是實際層長。軸向屈曲則按適用端部約束計算：

λ = \frac{L_{E}}{r}

來源容許這種簡化柱程序把所有樑完全加載，毋須採用模式荷載（pattern loading）。來源亦指出，樑荷載超過其承載力（resistance） $90 %$ 時，不應假設（assumption）該樑能提供柱端轉動約束。這些是適用條件（applicability），不是所有樑接頭的通用特性。特別規則 $\frac{0.5 L}{r_{y}}$ 使用實際 $L$ ，不是折減後的柱有效長度（effective length）。

鋼柱（steel column）例題 3：兩層樓柱的荷載及偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）

單獨開啟本例（Open example page）

驗算（check）兩層簡單結構（simple construction）中的 S355 $203 \times 203 \times 60$ UC。下層高 $3 m$ ，上層高 $6 m$ 。用所提供的反力（reaction）表及指定構造假設（assumption），包括鉸接（pinned connection）柱腳（column base）及 $1.15$ 彎矩（bending moment）放大系數。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 25 頁、第 26 頁、第 27 頁、第 28 頁、第 29 頁、第 30 頁、第 31 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

Ch 4 第 25 頁：左方立面標第

1, 2, 3

層。下段層高標為

L_{1} = 3,000 mm

，上段層高標為

L_{2} = 6,000 mm

。右方為各層柱截面及三個樑反力（reaction）；相向的次樑（secondary beam）反力

R_{1 j}

／

R_{3 j}

對稱接入，單側主樑（primary beam）反力

R_{2 j}

作用於柱翼緣（flange），產生標稱強軸（major axis）彎矩（bending moment）；

j

表示所在層號。開啟原尺寸圖片

Ch 4 第 26 頁原反力（reaction）表，列出每項給定特徵荷載（characteristic load）及講師假設（assumption）自重（self-weight）。Load Factors＝荷載分項系數（partial load factor）；Dead Loads＝恆載（dead load）；Imposed Loads＝外加荷載（imposed load）；Unfactored＝未乘分項系數；Factored＝已乘分項系數；Self wt. (assumed)＝假設自重；Total axial load＝累計軸力（axial force）。原圖（source diagram）的荷載分項系數為

γ_{f}

：恆載

1.4

，外加荷載

1.6

。下表逐列重算；請區分原圖的取整表值與本頁保留精度的結果。原圖第 3 層恆載用

34 kN

代替

33.6 kN

，故原圖恆載小計為

28 + 28 + 34 + 28 = 118 kN

，累計恆載為

118 + 154 = 272 kN

；本頁重算值分別為

117.6

及

271.6 kN

。原圖外加荷載小計／累計為

192

、

640

及

832 kN

，與正文相符。原圖下方的

203 \times 203 \times 60

UC 截面性質（section properties）在正文「截面資料」逐項列出；原圖分類步驟為

T = 14.2 < 16 mm

，故

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

（Table 3.2）。正文以查表（table lookup）區間的

\leq 16 mm

表述同一厚度（thickness）選擇；不把小於符號改當成另一個截面厚度。開啟原尺寸圖片

讀圖並整理已知資料（given data）

給定模型	計算含義
柱連續、樑採簡單結構連接	用標稱偏心距（eccentricity）及 $\frac{I}{L}$ 分配彎矩（bending moment）；全部彎矩系數（moment factor）為 $1$ 。
柱腳（column base）有效鉸接（pinned connection）	下柱段的底端沒有轉動固定。第 2 層較強的構件提供來源所假設（assumption）的上端約束。
屋頂次樑（secondary beam）是小型拉繫件	對上柱段弱軸（minor axis）屈曲（buckling），只提供位置約束，不提供轉動約束。
主樑（primary beam）用腹板（web）連接角碼及承托角碼連接	來源採用距柱面外 $100 mm$ 的反力（reaction）作用線。
自重（self-weight）	來源假設（assumption）每層特徵恆載（dead load）自重（self-weight） $20 kN$ ；每層只計一次。
截面資料	Data 第 11 頁： $D = 209.6$ 、 $t = 9.4$ 、 $T = 14.2$ 、 $d = 160.8 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 7.25$ 、 $\frac{d}{t} = 17.1$ 、 $r_{x} = 8.96 cm$ 、 $r_{y} = 5.20 cm$ 、 $A = 76.4 {cm}^{2}$ 、 $S_{x} = 656$ 、 $S_{y} = 305$ 、 $Z_{x} = 584$ 、 $Z_{y} = 201 {cm}^{3}$ 。

計算前：辨認題型與選擇策略

本題有兩項分開計算的工作。軸力（axial force）沿柱向下累加；偏心（eccentricity）反力（reaction）則產生接頭淨彎矩（bending moment），再按 $\frac{I}{L}$ 比例分給上下柱段。大小相等、方向相對的次樑（secondary beam）反力，其偏心彎矩互相抵消，但豎向荷載仍相加。不要把這兩個過程混在一起。本解答（solution）保留算術精度，亦簡短對照來源捨入值。

1. 重算反力（reaction）表每一項及各層總值

層號／反力（reaction）	已知 $G$ （ $kN$ ）	$1.4 G$	已知 $Q$ （ $kN$ ）	$1.6 Q$	極限總值
第 3 層： $R_{13}$	$20$	$28$	$20$	$32$	$60$
第 3 層： $R_{33}$	$20$	$28$	$20$	$32$	$60$
第 3 層： $R_{23}$	$24$	$33.6$	$80$	$128$	$161.6$
第 3 層：假設（assumption）自重（self-weight）	$20$	$28$	$0$	$0$	$28$
第 3 層總值	$84$	$117.6$	$120$	$192$	$309.6$
第 2 層： $R_{12}$	$30$	$42$	$100$	$160$	$202$
第 2 層： $R_{32}$	$30$	$42$	$100$	$160$	$202$
第 2 層： $R_{22}$	$30$	$42$	$200$	$320$	$362$
第 2 層：假設（assumption）自重（self-weight）	$20$	$28$	$0$	$0$	$28$
第 2 層新增總值	$110$	$154$	$400$	$640$	$794$

上柱段

2 - 3

：

F_{c} = 309.6 kN

。下柱段

1 - 2

：

F_{c} = 309.6 + 794 = 1,103.6 kN

。以累計分量核對：

G = 84 + 110 = 194 kN; Q = 120 + 400 = 520 kN

1.4 \times 194 + 1.6 \times 520 = 271.6 + 832 = 1,103.6 kN

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）3 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
本示意使用課程重力組合 $1.4 G + 1.6 Q$ ；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
示意取 $G = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ ；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

2. 強度及截面分類（section classification）

T = 14.2 \leq 16 mm \to p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣：

\frac{b}{T} = 7.25 < 9 ε = 7.92127

，Class 1。下層腹板：

r_{1} = \frac{1,103,600}{160.8 \times 9.4 \times 355} \approx 2.057

採上限

r_{1} = 1

。Class 1 腹板限值：

\frac{80 ε}{1 + r_{1}} = 40 ε = 35.2056

\frac{d}{t} = 17.1 < 35.2056

，腹板為 Class 1。上層軸壓較小，採此相同保守腹板限值亦通過。

下層截面軸壓較大，用它核對此截面最不利的軸壓／彎曲腹板（web）限值已足夠；兩層均使用同一截面幾何。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

3. 計算截面及彈性（elasticity）構件承載力（resistance）

A_{g} = 76.4 \times 100 = 7,640 {mm}^{2}

A_{g} p_{y} = \frac{7,640 \times 355}{1,000} = 2,712.2 kN

M_{cx} = \min (\frac{355 \times 656}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 584}{1,000})

= \min (232.88, 248.784) = 232.88 kN \cdot m

M_{cy} = \min (\frac{355 \times 305}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 201}{1,000})

= \min (108.275, 85.626) = 85.626 kN \cdot m

構件驗算的彈性分母：

M_{ex} = \frac{355 \times 584}{1,000} = 207.32 kN \cdot m

M_{ey} = \frac{355 \times 201}{1,000} = 71.355 kN \cdot m

線性截面相互作用（interaction）式用 $232.88$ 及 $85.626$ ；構件相互作用式用 $207.32$ 及 $71.355$ 。來源把相近的 $M_{c}$ 記號用於不同定義，應保留清楚標示的承載力（resistance）清單。

動畫解說（Animation lab）截面中的壓力與拉力（Bending）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

正彎矩使上翼緣受壓、下翼緣受拉；負彎矩時則相反。
彈性彎曲應力隨離中性軸的距離變化： $σ = \frac{M y}{I}$ 。
截面類別決定可用彈性、塑性還是有效截面性質。
採用正在驗算截面的剪力；其他位置的最大剪力不一定同時出現。

5. 下層截面相互作用（interaction）

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

M_{x, amp} = 1.15 \times 49.4250667 = 56.838827 kN \cdot m

M_{LT} = M_{x, amp}; M_{y} = 0

U_{section} = \frac{1,103.6}{2,712.2} + \frac{56.838827}{232.88} + 0

= 0.650971 < 1

下層截面通過。

若用來源捨入的荷載及彎矩（bending moment）， $\frac{1,104}{2,712.2} + \frac{1.15 \times 49.5}{232.88} \approx 0.6515$ 。兩種精度均與來源約 $0.65$ 的結果一致。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）3 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

6. 下層構件屈曲（buckling）

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

來源假設（assumption）第 2 層對兩軸均提供轉動及位置約束，柱腳（column base）則鉸接（pinned connection）。Table 8.6 建議固定／鉸接系數為 $0.85$ 。應明確採用此假設模型，不能因圖上有柱腳板線，就推斷柱腳固定。

L_{Ex} = L_{Ey} = 0.85 \times 3,000 = 2,550 mm

λ_{x} = \frac{2,550}{89.6} = 28.459821

λ_{y} = \frac{2,550}{52} = 49.038462

熱軋 H 型截面，厚度

\leq 40 mm

、

p_{y} = 355

：

x

軸用曲線 b，

y

軸用曲線 c。曲線 b：

25

列為

342

，

30

列為

335 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{28.459821 - 25}{30 - 25} = 0.691964

p_{c} = 342 + 0.691964 \times (335 - 342) = 337.156250 \frac{N}{{mm}^{2}}

曲線 c：

48

列為

280

，

50

列為

275 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{49.038462 - 48}{50 - 48} = 0.519231

p_{c} = 280 + 0.519231 \times (275 - 280) = 277.403846 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{7,640 \times 337.156250}{1,000} = 2575.873750 kN

P_{cy} = \frac{7,640 \times 277.403846}{1,000} = 2119.365385 kN

P_{c} = P_{cy} = 2119.365385 kN

簡單結構把所有 $m$ 系數設為 $1$ 。抗彎屈曲（buckling）用實際層長 $3,000 mm$ ，不是 $2,550 mm$ ：

λ_{LT} = \frac{0.5 L}{r_{y}} = \frac{0.5 \times 3,000}{52} = 28.846154

Table 8.3a，

p_{y} = 355

：

25

及

30

列均為

355

，故

p_{b} = 355

。

M_{b} = \frac{355 \times 656}{1,000} = 232.88 kN \cdot m

彎曲屈曲相互作用：

\frac{1,103.6}{2119.365385} + \frac{1 \times 56.838827}{207.32} + 0

= 0.794882 < 1

軸力／LTB 相互作用：

\frac{1,103.6}{2119.365385} + \frac{1 \times 56.838827}{232.88} + 0

= 0.764791 < 1

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

7. 上層控制彎矩（bending moment）及截面相互作用（interaction）

屋頂反力：

R_{23} = 1.4 \times 24 + 1.6 \times 80 = 161.6 kN

屋頂標稱彎矩：

M_{3} = 161.6 \times 0.2048 = 33.09568 kN \cdot m

上柱段下端承接的分配彎矩為

24.712533 kN \cdot m

。控制的一階彎矩大小：

\max (33.09568, 24.712533) = 33.09568 kN \cdot m

M_{x, amp} = M_{LT} = 1.15 \times 33.09568 = 38.060032 kN \cdot m

F_{c} = 309.6 kN; M_{y} = 0

U_{section} = \frac{309.6}{2,712.2} + \frac{38.060032}{232.88}

= 0.277583 < 1

上層截面通過。

上層彎矩（bending moment）由屋頂反力（reaction）控制，不能自動把第 2 層分配上來的彎矩當作控制值。來源用 $162 \times 0.205 \approx 33.2$ ，放大後 $38.18 \approx 38.2$ 。它印出的 $0.27$ 來自各利用率（utilisation ratio）項提早捨入；完整算術保留至兩位小數約為 $0.28$ 。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）3 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

8. 上層兩軸屈曲（buckling）

按來源模型，屋頂主樑（primary beam）提供強軸（major axis）轉動約束；小型屋頂次樑（secondary beam）拉繫件在弱方向只限制位置。第 2 層已有約束，講義因此對 $x$ 軸用 $0.70 L$ ，對 $y$ 軸用 $0.85 L$ 。

L_{Ex} = 0.70 \times 6,000 = 4,200 mm; L_{Ey} = 0.85 \times 6,000 = 5,100 mm

λ_{x} = \frac{4,200}{89.6} = 46.875

λ_{y} = \frac{5,100}{52} = 98.076923

曲線 b，

355

欄：

46

列為

306

，

48

列為

302 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{46.875000 - 46}{48 - 46} = 0.437500

p_{c} = 306 + 0.437500 \times (302 - 306) = 304.250000 \frac{N}{{mm}^{2}}

曲線 c，

355

欄：

98

列為

145

，

100

列為

140 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{98.076923 - 98}{100 - 98} = 0.038462

p_{c} = 145 + 0.038462 \times (140 - 145) = 144.807692 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = 7.64 \times 304.250000 = 2324.470000 kN

P_{cy} = 7.64 \times 144.807692 = 1106.330769 kN

弱軸控制。簡單結構：

λ_{LT} = \frac{0.5 \times 6,000}{52} = 57.692308

Table 8.3a，

355

欄：

55

列為

274

，

60

列為

257 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{57.692308 - 55}{60 - 55} = 0.538462

p_{b} = 274 + 0.538462 \times (257 - 274) = 264.846154 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{264.846154 \times 656}{1,000} = 173.739077 kN \cdot m

彎曲屈曲相互作用：

\frac{309.6}{1106.330769} + \frac{38.060032}{207.32}

= 0.463425 < 1

軸力／LTB 相互作用：

\frac{309.6}{1106.330769} + \frac{38.060032}{173.739077}

= 0.498908 < 1

兩層均通過已示範的三項相互作用（interaction）驗算（check）。下層彎曲屈曲（flexural buckling）利用率（utilisation ratio）約 $0.795$ ，是最大值。來源捨入結果約為下層 $0.65$ ／ $0.79$ ／ $0.76$ ，上層 $0.28$ ／ $0.46$ ／ $0.50$ 。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）6 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

精簡考試答案（exam answer）

保留算術精度：上／下層壓力（compressive force） $309.6$ ／ $1,103.6 kN$ 。 $p_{y} = 355$ ，Class 1； $A_{g} p_{y} = 2,712.2 kN$ ；截面承載力（resistance） $232.88$ ／ $85.626 kN \cdot m$ ；彈性（elasticity）值 $207.32$ ／ $71.355$ 。 $e = 204.8 mm$ ；第 2 層彎矩（bending moment） $74.1376 kN \cdot m$ ，分配 $49.4251$ ／ $24.7125$ 。放大後下層彎矩 $56.8388$ ；上層控制值 $38.0600$ 。下層 $P_{c} = 2,119.365 kN$ 、 $M_{b} = 232.88$ ；利用率（utilisation ratio） $0.6510$ ／ $0.7949$ ／ $0.7648$ 。上層 $P_{c} = 1,106.331 kN$ 、 $M_{b} = 173.7391$ ；利用率 $0.2776$ ／ $0.4634$ ／ $0.4989$ 。在指定簡單結構及約束假設（assumption）下，兩層均足夠。

應避免的錯誤

下層軸力（axial force）須累計上面兩層的荷載。
抵消的是相反彎矩（bending moment），不是產生它們的壓力（compressive force）反力（reaction）。
按 $\frac{I}{L}$ 分配彎矩（bending moment），不能平均分，也不能按軸力（axial force）比例分。
$\frac{0.5 L}{r_{y}}$ 用實際層長。
不要把小型屋頂拉繫件當作轉動約束。

處理陌生變式的程序

追蹤每個柱段上方的荷載，恆載（dead load）與外加荷載（imposed load）分開保留。
讀取實際層高、截面性質（section properties）及兩軸端部約束。
簡單結構先求標稱偏心（eccentricity）彎矩（bending moment），再按 $\frac{I}{L}$ 分配。
分類截面，計算對應的截面及構件承載力（resistance）。
只採用題目指定的荷載折減及彎矩（bending moment）放大規則。
每層柱段都要驗算（check），報告控制驗算及來源假設（assumption）。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：只把上層高度由 $6 m$ 改為 $3 m$ ，柱截面及第 2 層彎矩（bending moment） $74.1376 kN \cdot m$ 不變。此接頭彎矩如何分配？

顯示答案及解釋

上下層 $\frac{I}{L}$ 現在相同，各分得 $\frac{74.1376}{2} = 37.0688 kN \cdot m$ 。下層放大後分配彎矩（bending moment）變為 $42.62912 kN \cdot m$ 。這種重新分配不改變累計軸力（axial force）；上層屈曲（buckling）長度及 $\frac{0.5 L}{r_{y}}$ 亦會改變，必須重算，不能沿用原上層承載力（resistance）。

動畫解說（Animation lab）偏心反力與剛度分配（Moment sharing）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

即使樑端採名義鉸接，反力仍可能偏離鋼柱中心。
$M = R e$ 。相反側反力可抵消部分帶正負號彎矩，但兩者仍增加軸向壓力。
課程簡化模型按上下柱的 $\frac{I}{L}$ 比例分配節點彎矩。
相關剛度相同才各分一半；沒有上柱的屋頂節點是另一種情況。

鋼柱（steel column）例題 4：分擔荷載（tributary load）面積及累計柱荷載

單獨開啟本例（Open example page）

只按軸力（axial force）設計 S355 內柱 A。屋頂恆載（dead load）／外加荷載（imposed load）強度為 $5$ ／ $1.5 \frac{kN}{m^{2}}$ ；樓面為 $7$ ／ $3 \frac{kN}{m^{2}}$ 。上層高 $4 m$ ，下層高 $4.5 m$ 。基礎固定；樓面樑阻止柱平移，但不限制柱轉動。全部給定恆載已包括樑柱自重（self-weight）。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 32 頁、第 33 頁、第 34 頁、第 35 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	讀取位置
分擔荷載（tributary load）範圍尺寸	平面圖標 $3.8 + 3.8 = 7.6 m$ 及 $3 + 3 = 6 m$ ；用平面面積，不是層高。
豎向尺寸	立面圖：上層 $4 m$ ，下層 $4.5 m$ 。
屋頂／樓面荷載（area load）	由題目文字讀取；兩層採相同平面佈置。
只計軸力（axial force）的範圍	題目明確要求只計軸力（axial force），本練習不另引入偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）。
外加荷載（imposed load）折減	講義第 33 頁採用其引用的 2011 荷載守則樓層數折減表；屋頂計作一層。

計算前：辨認題型與選擇策略

各層面荷載（area load）乘以傳至該柱的面積。上柱段只承受屋頂，下柱段承受屋頂加一樓。只有來源容許的樓層數規則適用時，才折減累計外加荷載（imposed load）。乘分項系數後，逐層獨立設計，因各層荷載、長度及端部條件不同。

1. 由平面斜線區推導分擔荷載（tributary load）面積

淺白解說（Simple explanation）：樓板荷載怎樣走到樑？（Load path）

每條樑收集屬於自己的那條樓板帶所承受的荷載。

按平面圖找分擔寬度（Tributary width）。
面荷載（Area load）× 分擔寬度 = 線荷載（Line load）。
支承另一條樑時，接收的是該樑的端反力（End reaction）。

注意（Remember）：端反力形成集中荷載（Point load），不能直接當作均佈荷載（UDL）。

相關概念與完整方法（Full method）

分擔寬度：

\frac{7.6}{2} + \frac{7.6}{2} = 3.8 + 3.8 = 7.6 m

分擔進深：

\frac{6}{2} + \frac{6}{2} = 3 + 3 = 6 m

A_{trib} = 7.6 \times 6 = 45.6 m^{2}

每個相鄰簡支開間的一半荷載傳至 A 柱。斜線區是荷載分配面積，不是柱的鋼截面面積（cross-sectional area）。屋頂及樓面均用 $45.6 m^{2}$ 。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

2. 讀取來源的樓層數折減

承托樓層數	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	超過 $8$ 層
外加荷載（imposed load）折減	$0 %$	$5 %$	$10 %$	$15 %$	$20 %$	$25 %$	$30 %$	$35 %$	最多 $40 %$

上柱段承托一層屋頂，折減 $0 %$ ；下柱段承托屋頂加一樓，共兩層，折減 $5 %$ 。因此樓面以下保留累計外加荷載（imposed load）的 $95 %$ 。這是本講義例題採用、並註明來自 2011《建築物恆載（dead load）及外加荷載作業守則》（Dead and Imposed Loads Code）的規則；不可自動延伸至不容許折減的用途或題目。恆載不折減。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）3 個概念

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

3. 計算各層特徵及極限荷載（ultimate load）

屋頂：

G = 5 \times 45.6 = 228 kN; Q = 1.5 \times 45.6 = 68.4 kN

一樓新增：

G = 7 \times 45.6 = 319.2 kN; Q = 3 \times 45.6 = 136.8 kN

下層累計：

G = 228 + 319.2 = 547.2 kN

Q = 68.4 + 136.8 = 205.2 kN

上層設計力：

F = 1.4 \times 228 + 1.6 \times 68.4 = 319.2 + 109.44 = 428.64 kN

下層折減外加荷載：

Q = 0.95 \times 205.2 = 194.94 kN

下層設計力：

F = 1.4 \times 547.2 + 1.6 \times 194.94

= 766.08 + 311.904 = 1,077.984 kN

全部自重（self-weight）已包括。下層應由整體累計荷載計算，不要把已乘分項系數／已折減的上層力，再加一個另行折減的樓層力。

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
本示意使用課程重力組合 $1.4 G + 1.6 Q$ ；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
示意取 $G = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ ；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

4. 選擇並驗算（check）上柱段

試選 $152 \times 152 \times 30$ UC。Data File 第 11 頁給出 $T = 9.4 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 8.13$ 、 $\frac{d}{t} = 19.0$ 、 $A = 38.3 {cm}^{2}$ 、 $r_{x} = 6.76 cm$ 、 $r_{y} = 3.83 cm$ 。原講義亦用相同面積 $38.3$ 。 $T \leq 16$ ，故 $p_{y} = 355$ 。兩端位置受約束但可轉動，因此 $K = 1$ ，兩軸均為 $L^{E} = 4,000 mm$ 。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

\frac{b}{T} = 8.13 < 13 ε = 11.4418; \frac{d}{t} = 19.0 < 40 ε = 35.2056

非纖細。

λ_{x} = \frac{4,000}{67.6} = 59.171598

λ_{y} = \frac{4,000}{38.3} = 104.438642

熱軋 H 型鋼厚度

\leq 40 mm

，

x

軸曲線 b、

y

軸曲線 c；

p_{y} = 355

。曲線 b：

58

列為

278

，

60

列為

272 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{59.171598 - 58}{60 - 58} = 0.585799

p_{c} = 278 + 0.585799 \times (272 - 278) = 274.485207 \frac{N}{{mm}^{2}}

曲線 c：

104

列為

133

，

106

列為

129 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{104.438642 - 104}{106 - 104} = 0.219321

p_{c} = 133 + 0.219321 \times (129 - 133) = 132.122715 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{3,830 \times 274.485207}{1,000} = 1051.278343 kN

P_{cy} = \frac{3,830 \times 132.122715}{1,000} = 506.030000 kN

P_{c} = 506.030000 kN > 428.64 kN

足夠。利用率：

\frac{428.64}{506.030000} = 0.847064

來源用捨入的 $p_{c} = 132$ ，所以 $\frac{38.3 \times 132}{10} = 505.56 kN$ ，印為 $505.6$ 。準確內插（interpolation）得 $506.030 kN$ ，兩者均通過。原來略去的強軸（major axis）比較已在上方補出。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）5 個概念 · 13 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

5. 選擇並驗算（check）下柱段

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

試選 $203 \times 203 \times 46$ UC。Data File 第 11 頁給出 $T = 11.0 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 9.25$ 、 $\frac{d}{t} = 22.3$ 、 $A = 58.7 {cm}^{2}$ 、 $r_{x} = 8.82 cm$ 、 $r_{y} = 5.13 cm$ 。翼緣厚度（flange thickness）同樣給出 $p_{y} = 355$ 。柱腳（column base）固定；樓面端位置受約束但可轉動，因此用建議系數 $K = 0.85$ 。

L_{Ex} = L_{Ey} = 0.85 \times 4,500 = 3,825 mm

\frac{b}{T} = 9.25 < 13 ε = 11.4418; \frac{d}{t} = 22.3 < 40 ε = 35.2056

非纖細。

λ_{x} = \frac{3,825}{88.2} = 43.367347

λ_{y} = \frac{3,825}{51.3} = 74.561404

曲線 b，

p_{y} = 355

：

42

列為

314

，

44

列為

310 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{43.367347 - 42}{44 - 42} = 0.683673

p_{c} = 314 + 0.683673 \times (310 - 314) = 311.265306 \frac{N}{{mm}^{2}}

曲線 c，

p_{y} = 355

：

74

列為

205

，

76

列為

200 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{74.561404 - 74}{76 - 74} = 0.280702

p_{c} = 205 + 0.280702 \times (200 - 205) = 203.596491 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{5,870 \times 311.265306}{1,000} = 1827.127347 kN

P_{cy} = \frac{5,870 \times 203.596491}{1,000} = 1195.111404 kN

P_{c} = 1195.111404 kN > 1,077.984 kN

足夠。利用率：

\frac{1,077.984}{1195.111404} = 0.901995

來源把 $p_{c}$ 捨入至 $204$ ，得 $\frac{58.7 \times 204}{10} = 1,197.48 kN$ （印為 $1,197$ ）。準確內插（interpolation）得 $1,195.111 kN$ 。兩個所選柱截面均通過題目要求的純軸壓設計，下柱段弱軸（minor axis）利用率（utilisation ratio）較高。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）5 個概念 · 10 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

精簡考試答案（exam answer）

$A_{trib} = 45.6 m^{2}$ 。屋頂 $G$ ／ $Q$ 為 $228$ ／ $68.4 kN$ ；下層累計為 $547.2$ ／ $205.2 kN$ 。上層極限力 $428.64 kN$ ；下層外加荷載（imposed load）折減 $5 %$ 後為 $1,077.984 kN$ 。上層 $152 \times 152 \times 30$ UC：非纖細、 $L^{E} = 4 m$ 、 $P_{c} = 506.030 kN$ 。下層 $203 \times 203 \times 46$ UC：非纖細、 $L^{E} = 3.825 m$ 、 $P_{c} = 1,195.111 kN$ 。兩者均為 S355、 $p_{y} = 355$ ，由弱軸（minor axis）曲線 c 控制，均足夠。

應避免的錯誤

計算分擔荷載（tributary load）平面面積時，不要用立面層高 $4$ 或 $4.5 m$ 。
下柱段須包括屋頂荷載。
只折減外加荷載（imposed load），並按題意把屋頂計入樓層數。
不要重複加入自重（self-weight）。
固定／鉸接（pinned connection）建議系數 $0.85$ 用於下柱段，不是上柱段。

處理陌生變式的程序

追蹤每個柱段上方的荷載，恆載（dead load）與外加荷載（imposed load）分開保留。
讀取實際層高、截面性質（section properties）及兩軸端部約束。
簡單結構先求標稱偏心（eccentricity）彎矩（bending moment），再按 $\frac{I}{L}$ 分配。
分類截面，計算對應的截面及構件承載力（resistance）。
只採用題目指定的荷載折減及彎矩（bending moment）放大規則。
每層柱段都要驗算（check），報告控制驗算及來源假設（assumption）。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：題目明確禁止外加荷載（imposed load）折減。所選下柱段仍通過嗎？

顯示答案及解釋

下層作用力變為 $1.4 \times 547.2 + 1.6 \times 205.2 = 766.08 + 328.32 = 1,094.4 kN$ 。與 $1,195.111 kN$ 比較，利用率（utilisation ratio） $\approx 0.9157 < 1$ ，仍通過。上柱段不變，因原本就沒有折減。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）2 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

動畫解說（Animation lab）偏心反力與剛度分配（Moment sharing）1 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

即使樑端採名義鉸接，反力仍可能偏離鋼柱中心。
$M = R e$ 。相反側反力可抵消部分帶正負號彎矩，但兩者仍增加軸向壓力。
課程簡化模型按上下柱的 $\frac{I}{L}$ 比例分配節點彎矩。
相關剛度相同才各分一半；沒有上柱的屋頂節點是另一種情況。

9. 可重複使用的考試步驟

辨認簡單或連續結構、有無側移（sway）、所驗算（check）柱段、兩軸有效長度（effective length）、截面及鋼材等級。
整理各樓層已乘分項系數的軸力（axial force）；推導偏心（eccentricity）彎矩（bending moment），或讀取題目所給端彎矩。
讀取準確截面性質（section properties）及隨厚度（thickness）而變的 $p_{y}$ ，按適用應力（stress）分佈對板件分類。
計算受上限限制的截面抗彎承載力（moment resistance），並驗算（check）軸力（axial force）與雙軸彎矩（bending moment）的截面相互作用（interaction）。
計算 $λ_{x}$ 及 $λ_{y}$ ，選對曲線，內插（interpolation） $p_{c}$ ，並求出兩軸承載力（resistance）。
連續結構分別從各自表格求 $m_{x}$ 、 $m_{y}$ 及 $m^{LT}$ ；簡單結構把三者均設為 $1$ 。
彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）須使用正確的已放大／一階彎矩（bending moment），以及彈性（elasticity）分母 $p_{y} Z$ 。
按適用的簡單／連續結構規則求 $λ^{LT}$ ；查 $p_{b}$ 、計算 $M_{b}$ ，並驗算（check） Eq.8.81。
列出所有利用率（utilisation ratio），說明每項必要驗算（check）是否均滿足 $\leq 1$ 。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

練習本章：導修、作業及歷屆試卷解答（Worked Examples）→

鋼柱（steel column）：屈曲（buckling）、偏心（eccentricity）反力（reaction）與組合作用

1. 有效長度（effective length）對應特定軸線與約束模型

2. 先選屈曲曲線（buckling curve），再查抗壓強度

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

1. 選截面並確認強度

2. 確認截面非纖細

3. 分別求兩軸長細比（slenderness ratio）

4. 讀表並內插（interpolation）兩個抗壓強度

5. 求承載力（resistance）並作結論

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

1. 分別設定有效長度（effective length）

2. 試選 254×254×73254×254×73 UC

3. 驗算（check）局部長細比（slenderness ratio）

4. 有拉繫及無拉繫方向的長細比（slenderness ratio）

5. 分別內插（interpolation）兩條曲線

6. 驗算（check）控制承載力（resistance）

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試

3. 截面承載力（resistance）：軸力（axial force）會佔用部分抗彎能力

4. 構件屈曲（buckling）：分清來源中帶上橫線的符號

5. 無側移（sway）、有側移及高度敏感框架

6. 壓力（compressive force）為何使彎矩（bending moment）增加？

7. 彎曲屈曲（flexural buckling）彎矩系數（moment factor）與 LTB 系數不同

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

1. 強度、組合應力（stress）分類及彎矩（bending moment）

2. 截面相互作用（interaction）

3. 有效長度（effective length）及兩軸抗壓屈曲（buckling）承載力（resistance）

4. 分別查兩軸彎曲屈曲（flexural buckling）系數及 LTB 系數

5. 用彈性（elasticity）分母驗算（check）構件彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）

6. 軸力（axial force）／LTB 相互作用（interaction）

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試

8. 簡單結構設計：偏心（eccentricity）反力（reaction）仍會使柱受彎

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

1. 重算反力（reaction）表每一項及各層總值

2. 強度及截面分類（section classification）

3. 計算截面及彈性（elasticity）構件承載力（resistance）

4. 第 2 層標稱偏心距（eccentricity）及按剛度分配彎矩（bending moment）

5. 下層截面相互作用（interaction）

6. 下層構件屈曲（buckling）

7. 上層控制彎矩（bending moment）及截面相互作用（interaction）

8. 上層兩軸屈曲（buckling）

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

1. 由平面斜線區推導分擔荷載（tributary load）面積

2. 讀取來源的樓層數折減

3. 計算各層特徵及極限荷載（ultimate load）

4. 選擇並驗算（check）上柱段

5. 選擇並驗算（check）下柱段

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試

9. 可重複使用的考試步驟

2. 試選 $254 \times 254 \times 73$ UC