詳解例題

鋼柱（steel column）例題 1：兩端鉸接（pinned connection）柱的軸向受壓

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

為長 $6 m$ 、兩端鉸接（pinned connection）的鋼柱（steel column）選擇 S355 UC。柱承受設計軸向壓力（compressive force） $2,500 kN$ ；驗算（check）所選截面的抗壓承載力（compression resistance）。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 21 頁、第 22 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	來源及意思
設計荷載（design load）	已知 $F_{c} = 2,500 kN$ ，已乘分項系數，毋須再拆分恆載（dead load）／外加荷載（imposed load）。
約束	兩端鉸接（pinned connection），端部平移受阻；Table 8.6 給出兩軸均為 $K = 1$ 。
所選表格列	Data File 第 11 頁 $305 \times 305 \times 118$ UC：翼緣（flange） $T = 18.7 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 8.22$ 、 $\frac{d}{t} = 20.6$ 、 $r_{x} = 13.6 cm$ 、 $r_{y} = 7.77 cm$ 、 $A = 150 {cm}^{2}$ 。
強度及屈曲曲線（buckling curve）	S355， $T = 18.7$ ，得 $p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。熱軋（hot-rolled） H 型鋼， $T \leq 40$ ，所以 $x$ 軸用曲線 b， $y$ 軸用曲線 c。

計算前：辨認題型與選擇策略

題目沒有指定彎矩（bending moment），核心數值任務是構件軸壓屈曲（buckling）。先確認局部板件不屬纖細，才可用毛截面面積（gross area）；再分別計算兩軸長細比（slenderness ratio）及選對曲線。只知道面積並不足夠：細長而較弱的柱可能遠未達 $A_{g} p_{y}$ 就屈曲。

1. 選截面並確認強度

講師試選 $305 \times 305 \times 118$ UC。標稱質量 $118 \frac{kg}{m}$ 是型鋼代號的一部分；強度計算用表中毛截面面積（gross area） $150 {cm}^{2}$ 。翼緣（flange）厚 $18.7 mm$ ，位於 S355 的 $16 < T \leq 40 mm$ 厚度（thickness）範圍。

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

A_{g} = 150 {cm}^{2} \times 100 = 15,000 {mm}^{2}

毛截面壓潰承載力（squash resistance）：

A_{g} p_{y} = \frac{15,000 \times 345}{1,000} = 5,175 kN

$5,175 kN$ 超過荷載，但這不是構件抗壓承載力（compression resistance）；仍要驗算（check）局部板件長細比（slenderness ratio）及整體屈曲（overall buckling）。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）2 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

2. 確認截面非纖細

淺白解說（Simple explanation）：薄板會先起皺（Local buckling）

整根鋼構件尚未發揮預期承載力，薄板部分可能已先起皺。

分別按定義算翼緣（Flange）及腹板（Web）的寬厚比。
把各比值與適用截面類別（Section class）界限比較。
較不利板件決定整個截面的類別。

注意（Remember）：彎曲（Bending）與均勻受壓（Uniform compression）的界限不同。

相關概念與完整方法（Full method）

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

均勻受壓翼緣的半緊密限值：

13 ε = 11.6065

\frac{b}{T} = 8.22 < 11.6065

均勻受壓腹板的半緊密限值：

40 ε = 35.7122

\frac{d}{t} = 20.6 < 35.7122

兩者均通過，截面非纖細，適用毛截面抗壓承載力方法。

這證明截面為 Class 3 或更佳，未必代表翼緣（flange）達到塑性（plasticity）類別。純軸壓例題不用塑性抗彎承載力（moment resistance）；按指定方法，核對非纖細界限已足夠。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

3. 分別求兩軸長細比（slenderness ratio）

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

L_{Ex} = L_{Ey} = 1 \times 6,000 = 6,000 mm

r_{x} = 13.6 cm = 136 mm; r_{y} = 7.77 cm = 77.7 mm

λ_{x} = \frac{6,000}{136} = 44.117647

λ_{y} = \frac{6,000}{77.7} = 77.220077

弱軸（minor axis）迴轉半徑（radius of gyration）較小，所以長細比（slenderness ratio）大得多；但仍要查兩條曲線，不能單憑長細比較大便當作已證明哪個承載力（resistance）控制。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 1 個原式

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鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

4. 讀表並內插（interpolation）兩個抗壓強度

淺白解說（Simple explanation）：查表要拿齊幾把鑰匙（Table lookup）

表格像地址：只知道街名，仍未找到正確位置。

按截面種類、厚度及軸向選屈曲曲線（Buckling curve）。
再選材料強度（Material strength）欄。
找包圍長細比的兩行，需要時內插（Interpolate）。

注意（Remember）：不要跳到另一鋼級，也不要超出已提供數據作外推（Extrapolation）。

相關概念與完整方法（Full method）

Table 8.7，熱軋（hot-rolled） H 型截面，最大厚度（thickness） $18.7 \leq 40 mm$ ： $x - x$ 用 8.8(b)， $y - y$ 用 8.8(c)。兩者均查 Data File 第 8 頁的 $p_{y} = 345$ 欄。

強軸，曲線 b：

44

列為

302

，

46

列為

298 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{44.117647 - 44}{46 - 44} = 0.058824

p_{c} = 302 + 0.058824 \times (298 - 302) = 301.764706 \frac{N}{{mm}^{2}}

弱軸，曲線 c：

76

列為

196

，

78

列為

191 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{77.220077 - 76}{78 - 76} = 0.610039

p_{c} = 196 + 0.610039 \times (191 - 196) = 192.949807 \frac{N}{{mm}^{2}}

來源把兩者捨入為 $302$ 及 $193 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。相同面積下，弱軸（minor axis） $p_{c}$ 較小，故控制承載力（resistance）。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）2 個概念 · 3 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

5. 求承載力（resistance）並作結論

P_{cx} = \frac{15,000 \times 301.764706}{1,000} = 4526.471 kN

P_{cy} = \frac{15,000 \times 192.949807}{1,000} = 2894.247 kN

P_{c} = \min (P_{cx}, P_{cy}) = 2894.247 kN

F_{c} = 2,500 < P_{c}

，在指定軸壓情況下足夠。利用率：

\frac{2,500}{2894.247} = 0.8638

若用講師捨入後的 $193$ ，得到 $\frac{150 \times 193}{10} = 2,895 kN$ ，與原答案一致。控制破壞模式（failure mode）是弱軸（minor axis）整體屈曲（overall buckling），不是整個毛截面屈服（yielding）。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 2 個原式

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鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

精簡考試答案（exam answer）

選 S355 $305 \times 305 \times 118$ UC； $T = 18.7$ ，得 $p_{y} = 345$ 。 $\frac{b}{T} = 8.22 < 13 ε$ ， $\frac{d}{t} = 20.6 < 40 ε$ ，非纖細。 $L_{x}^{E} = L_{y}^{E} = 6 m$ ， $λ_{x} = 44.1176$ ， $λ_{y} = 77.2201$ 。曲線 b／c 分別得 $p_{cx} = 301.765$ 、 $p_{cy} = 192.950 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。 $P_{c} = 2,894.247 kN > 2,500 kN$ ，足夠。來源捨入結果為 $2,895 kN$ 。

應避免的錯誤

不能只因鋼材是 S355，就用 $355 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
不能只因兩端均有支承，就把有效長度（effective length）減半。
UC 的兩軸不能一律用相同柱曲線。
不要把下方反力（reaction）箭嘴當作第二個外加荷載（imposed load）。

處理陌生變式的程序

辨認軸力（axial force）、任何彎矩（bending moment）、實際長度（actual length）及兩軸約束。
選截面／讀表，按實際厚度（thickness）確認強度。
核對適用的翼緣（flange）及腹板（web）局部長細比（slenderness ratio）限值。
分別求 $λ_{x}$ 、 $λ_{y}$ ，選各軸曲線，再內插（interpolation） $p_{c}$ 。
計算兩軸抗壓承載力（compression resistance），指出控制軸。
若有彎矩（bending moment），須用各自對應的承載力（resistance）及彎矩定義，完成截面、彎曲屈曲（flexural buckling）及軸力（axial force）／LTB 相互作用（interaction）驗算（check）。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：同一支柱改承受 $3,000 kN$ 設計軸向壓力（compressive force），長度及約束不變。能通過嗎？

顯示答案及解釋

不能。非纖細分類及屈曲（buckling）承載力（resistance）不變。利用率（utilisation ratio） $= \frac{3,000}{2,894.247} \approx 1.0365 > 1$ 。毛截面壓潰承載力 $5,175 kN$ 不能推翻構件屈曲不通過的結果。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）2 個概念 · 1 個原式

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鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。