詳解例題

鋼柱（steel column）例題 2：弱軸（minor axis）拉繫支承容許採用較輕截面

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

重新設計承受 $2,500 kN$ 軸壓的 $6 m$ 兩端鉸接（pinned connection）柱，這次柱中高度有有效拉繫支承，阻止弱軸（minor axis）屈曲（buckling）。選擇並驗算（check） S355 UC。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 23 頁、第 24 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	數值來源
軸力（axial force）	已知設計壓力（compressive force） $2,500 kN$ 。
拉繫支承方向	題目指定弱方向，因此只縮短繞 $y$ 軸的屈曲（buckling）長度。
試算截面	Data File 第 11 頁， $254 \times 254 \times 73$ UC： $T = 14.2 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 8.96$ 、 $\frac{d}{t} = 23.3$ 、 $r_{x} = 11.1 cm$ 、 $r_{y} = 6.48 cm$ 、 $A = 93.1 {cm}^{2}$ 。
表格	$T \leq 16$ ，所以 $p_{y} = 355$ ；熱軋（hot-rolled） H 型截面厚度（thickness） $\leq 40$ ，用曲線 b／c。

計算前：辨認題型與選擇策略

與例題 1 比較，約束可與面積同樣重要。弱軸（minor axis）拉繫支承把無側向支承長度由 $6$ 減至 $3 m$ ，因此可採較小鋼柱（steel column）。但換截面後，兩個迴轉半徑（radius of gyration）、面積及取決於厚度（thickness）的強度均須重新查表（table lookup）；不能沿用例題 1 的截面性質（section properties）。

1. 分別設定有效長度（effective length）

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

強軸沒有有效中間拉繫支承：

L_{Ex} = 6,000 mm

弱軸在柱中有拉繫支承：

L_{Ey} = 3,000 mm

兩段各長

3 m

，每段均承受完整

2,500 kN

軸力。

水平位置約束阻止屈曲（buckling）位移，不會承托一半豎向荷載，也不會產生 $\frac{2,500}{2} kN$ 的新軸壓情況。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

2. 試選 $254 \times 254 \times 73$ UC

T = 14.2 mm \leq 16 \to p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

A_{g} = 93.1 {cm}^{2} = 9,310 {mm}^{2}

r_{x} = 11.1 cm = 111 mm; r_{y} = 6.48 cm = 64.8 mm

全部數值來自 Data File 第 11 頁同一個準確型鋼列；此較輕試算截面是講義所選方案。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）3 個概念 · 1 個原式

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鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

3. 驗算（check）局部長細比（slenderness ratio）

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

13 ε = 11.4418; \frac{b}{T} = 8.96 < 11.4418

40 ε = 35.2056; \frac{d}{t} = 23.3 < 35.2056

均勻受壓的翼緣及腹板均非纖細。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）1 個概念 · 1 個原式

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翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

4. 有拉繫及無拉繫方向的長細比（slenderness ratio）

λ_{x} = \frac{6,000}{111} = 54.054054

λ_{y} = \frac{3,000}{64.8} = 46.296296

現在 $λ_{x}$ 大於 $λ_{y}$ ，但仍未能單憑這點證明 $x$ 軸控制，因其曲線 b 比弱軸（minor axis）曲線 c 較有利。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 1 個原式

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鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

5. 分別內插（interpolation）兩條曲線

淺白解說（Simple explanation）：兩行表值之間怎樣算？（Interpolation）

輸入走了幾成，答案也沿兩個表值之間走幾成。

先選對表格、屈曲曲線（Buckling curve）及強度欄。
算出所求輸入在上下兩行之間的位置比例。
用同一比例分配兩個答案的差值。

注意（Remember）：自編小例：100 與 80 的中間值是 90；不能跳過選欄步驟。

相關概念與完整方法（Full method）

$x$ 軸用 Table 8.8(b) 的 $p_{y} = 355$ 欄； $y$ 軸用 Table 8.8(c) 的 $p_{y} = 355$ 欄。

強軸：

54

列為

288

，

56

列為

283 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{54.054054 - 54}{56 - 54} = 0.027027

p_{c} = 288 + 0.027027 \times (283 - 288) = 287.864865 \frac{N}{{mm}^{2}}

弱軸：

46

列為

286

，

48

列為

280 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{46.296296 - 46}{48 - 46} = 0.148148

p_{c} = 286 + 0.148148 \times (280 - 286) = 285.111111 \frac{N}{{mm}^{2}}

雖然弱軸（minor axis）長細比（slenderness ratio）較小，它的強度仍稍低。來源的 $288$ 及 $285 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 是捨入值。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）3 個概念 · 3 個原式

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鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

6. 驗算（check）控制承載力（resistance）

P_{cx} = \frac{9,310 \times 287.864865}{1,000} = 2680.022 kN

P_{cy} = \frac{9,310 \times 285.111111}{1,000} = 2654.384 kN

P_{c} = 2654.384 kN > 2,500 kN

足夠。利用率：

\frac{2,500}{2654.384} = 0.9418

原解答（solution）把 $p_{c}$ 捨入至 $285$ ，得 $\frac{93.1 \times 285}{10} = 2,653.35 kN$ ，印為 $2,653 kN$ 。準確內插（interpolation）得 $2,654.384 kN$ 。沒有拉繫的例題採用 $118 \frac{kg}{m}$ ；加入拉繫後， $73 \frac{kg}{m}$ 試算截面已足夠。此結論假設（assumption）拉繫件能提供指定有效約束；拉繫件本身設計不在本題範圍。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

精簡考試答案（exam answer）

採用 S355 $254 \times 254 \times 73$ UC， $p_{y} = 355$ ；按 $13 ε$ 、 $40 ε$ 限值屬非纖細。 $L_{x}^{E} = 6 m$ 、 $L_{y}^{E} = 3 m$ ； $λ_{x} = 54.0541$ 、 $λ_{y} = 46.2963$ 。曲線 b／c 得 $p_{cx} = 287.865$ 、 $p_{cy} = 285.111 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。 $P_{c} = 2,654.384 kN > 2,500$ ，足夠。來源捨入承載力（resistance）為 $2,653 kN$ 。

應避免的錯誤

拉繫支承只改變其有效約束方向的屈曲（buckling）長度。
兩段 $3 m$ 柱均用完整軸力（axial force）。
比較實際 $p_{c}$ 值，不能只比較長細比（slenderness ratio）。
選了較輕截面後，須重新分類。

處理陌生變式的程序

辨認軸力（axial force）、任何彎矩（bending moment）、實際長度（actual length）及兩軸約束。
選截面／讀表，按實際厚度（thickness）確認強度。
核對適用的翼緣（flange）及腹板（web）局部長細比（slenderness ratio）限值。
分別求 $λ_{x}$ 、 $λ_{y}$ ，選各軸曲線，再內插（interpolation） $p_{c}$ 。
計算兩軸抗壓承載力（compression resistance），指出控制軸。
若有彎矩（bending moment），須用各自對應的承載力（resistance）及彎矩定義，完成截面、彎曲屈曲（flexural buckling）及軸力（axial force）／LTB 相互作用（interaction）驗算（check）。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：移除弱軸（minor axis）拉繫支承，但保留 $254 \times 254 \times 73$ UC。求弱軸長細比（slenderness ratio），並按所附表估算承載力（resistance）。

顯示答案及解釋

$λ_{y} = \frac{6,000}{64.8} = 92.59259$ 。曲線 c， $p_{y} = 355$ ： $92$ 列為 $158$ ， $94$ 列為 $153$ ，所以 $p_{c} = 158 + (\frac{0.59259}{2}) (153 - 158) = 156.5185 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。 $P_{cy} = \frac{9,310 \times 156.5185}{1,000} = 1,457.187 kN$ ，遠低於 $2,500$ 。無拉繫版本不通過。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）2 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

鋼柱（steel column）例題 2：弱軸（minor axis）拉繫支承容許採用較輕截面

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

1. 分別設定有效長度（effective length）

2. 試選 254×254×73254×254×73 UC

3. 驗算（check）局部長細比（slenderness ratio）

4. 有拉繫及無拉繫方向的長細比（slenderness ratio）

5. 分別內插（interpolation）兩條曲線

6. 驗算（check）控制承載力（resistance）

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試

2. 試選 $254 \times 254 \times 73$ UC