詳解例題

Tutorial 3 Q5：設計帶 $3 m$ 外伸段（overhang）的樑

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

為原圖（source diagram）樑選合適 S355 UB：支承在 $0$ 及 $7 m$ ，自由端在 $10 m$ 。 $2$ 及 $5 m$ 各有一個特徵集中力，每個含恆載（dead load） $60$ 、外加荷載（imposed load） $35 kN$ 。全長均佈恆載 $10$ 、外加荷載 $5 \frac{kN}{m}$ ，已包括樑自重（self-weight）。支承提供抗扭約束，沒有中間側向支承；有效長度（effective length）等於實際分段長度。

原始來源：LectureNotes/Ch 3_Beam.pdf — 第 36 頁、第 37 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	來源／類型
特徵集中力	每個 $P$ 給定恆載（dead load） $60$ 、外加荷載（imposed load） $35 kN$ ，共兩個集中力。
特徵均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）	全長 $10 m$ 給定恆載（dead load） $10$ 、外加荷載（imposed load） $5 \frac{kN}{m}$ 。自重（self-weight）已計入，不要再加所選截面重量。
LTB 長度	給定實際分段長：主跨 $7,000 mm$ ，外伸段（overhang） $3,000 mm$ 。
所選結果	$533 \times 210 \times 122$ UB 是從所提供 Data File 選取並經驗算（check）的試選，不聲稱是所有可能設計中最輕者。

計算前：辨認題型與選擇策略

先分析全長 $10 m$ 自由體；此外伸樑不能套 $\frac{w L^{2}}{8}$ 。最大正彎矩（sagging moment）在兩個集中力之間的剪力（shear force）過零點；滾輪處亦有負彎矩（hogging moment）。求出 LTB 需求後，試驗合理截面，不足就否決。外伸段（overhang）保守取 $m_{LT} = 1$ ，不能把簡支三角形彎矩（bending moment）捷徑套到自由端。

1. 實際荷載只乘一次分項系數

淺白解說（Simple explanation）：為何先分開恆載與外加荷載？

像兩個購物籃，各自乘不同系數後才加起來。

自重及永久飾面放入恆載（Dead load, G）籃。
指定使用荷載放入外加荷載（Imposed load, Q）籃。
本課程所述重力極限組合（ULS）： $1.4 G + 1.6 Q$ 。

注意（Remember）：這個 ULS 組合不是外加荷載撓度（Imposed-load deflection）的計算荷載。

相關概念與完整方法（Full method）

每個集中力：

P = 1.4 \times 60 + 1.6 \times 35 = 84 + 56 = 140 kN

w = 1.4 \times 10 + 1.6 \times 5 = 14 + 8 = 22 \frac{kN}{m}

總向下荷載：

2 \times 140 + 22 \times 10 = 500 kN

全長均佈荷載合力

220 kN

，作用於距 A

\frac{10}{2} = 5 m

。

恆載（dead load） $10 \frac{kN}{m}$ 已包括自重（self-weight）。其後強度驗算（check）均用上述極限荷載（ultimate load）；稍後正常使用驗算則回到外加集中力 $35 kN$ 及均佈荷載（uniformly distributed load, UDL） $5 \frac{kN}{m}$ 。

動畫解說（Animation lab）觀察剛度與撓度（Deflection）3 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

選用指定 SLS 荷載、跨度及支承條件；此示意採全跨均布荷載。
樑受荷後彎曲；圖中變形放大，以便觀察。
簡支樑全跨均布荷載： $δ = \frac{5 w L ^{4}}{384 E I}$ 。保持 w、E、I 不變，L 加倍便使 δ 增至 16 倍。
讀數示意採 $w = 10 \frac{N}{mm}$ 、 $E = 205000 \frac{N}{mm ^{2}}$ 、 $I = 200000000 mm^{4}$ ；容許值須按原表的飾面及支承類別選取。

2. 全樑反力（reaction）、剪力（shear force）及彎矩（bending moment）

令 A 位於

0 m

，B 支承位於

7 m

，C 自由端位於

10 m

。

Σ M_{A} = 0 : 7 R_{B} - 140 \times 2 - 140 \times 5 - 220 \times 5 = 0

R_{B} = \frac{280 + 700 + 1,100}{7} = 297.142857 kN

R_{A} = 500 - 297.142857 = 202.857143 kN

x

以

m

計，定義

⟨ x - a ⟩ = \max (x - a, 0)

。

M (x) = 202.857143 x - 11 x^{2} - 140 ⟨ x - 2 ⟩ - 140 ⟨ x - 5 ⟩ + 297.142857 ⟨ x - 7 ⟩ kN \cdot m

V

是斜率

\frac{d M}{d x}

，每個集中力處有跳躍。

區間	剪力（shear force）公式（ $kN$ ）	兩端剪力（shear force）值
$0 < x < 2$	$202.857143 - 22 x$	$+ 202.857143$ 至 $+ 158.857143$
$2 < x < 5$	$62.857143 - 22 x$	$+ 18.857143$ 至 $- 47.142857$
$5 < x < 7$	$- 77.142857 - 22 x$	$- 187.142857$ 至 $- 231.142857$
$7 < x < 10$	$220 - 22 x$	$+ 66$ 至 $0$

在

2

至

5 m

間，

V = 0

得

x = \frac{62.857143}{22} = 2.857143 m

。

M_{\max} = 202.857143 \times 2.857143 - 11 \times {2.857143}^{2} - 140 \times (2.857143 - 2)

= 369.795918 kN \cdot m

為正彎矩（sagging）。

M (2) = 361.714286

；

M (5) = 319.285714 kN \cdot m

。

M (7) = 202.857143 \times 7 - 11 \times 49 - 140 \times 5 - 140 \times 2 = - 99 kN \cdot m

外伸段：

M (x) = \frac{- 22 {(10 - x)}^{2}}{2}

；

M (10) = 0

。B 緊接左側

| V |_{\max} = 231.142857 kN

。

支承反力（support reaction） $297.142857 kN$ 是局部承壓（local bearing）需求，不是樑最大內剪力（shear force）。剪力圖（shear force diagram, SFD）畫四條斜直線，跳躍分別為 $140$ 、 $140$ 、 $297.142857 kN$ 。彎矩圖（bending moment diagram, BMD）分段為拋物線，在集中力處連續，有上述峰值及滾輪處 $- 99 kN \cdot m$ 。

動畫解說（Animation lab）反力與彎矩平衡（Equilibrium）2 個概念 · 6 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

本示意為 6 m 簡支樑及 60 kN 集中荷載，並非原題的荷載圖。
$R_{B} \times L = P \times a$ 。荷載越靠近 B， $R_{B}$ 越大。
$R_{A} = P - R_{B}$ 。兩個向上反力的總和必須等於 P。
荷載在跨中時， $R_{A} = R_{B} = 30 kN$ ；端彎矩、均布荷載及懸臂段均須加入各自的平衡項。

3. 求 LTB 需求並否決不足的試選

兩個集中力處均沒有側向約束（lateral restraint）。主跨為一段 $7 m$ LTB 段，局部四分點位於 $1.75$ 、 $3.5$ 、 $5.25 m$ ，該段最大彎矩（maximum bending moment）絕對值 $369.795918 kN \cdot m$ 。

M_{2} = M (1.75) = 202.857143 \times 1.75 - 11 \times {1.75}^{2} = 321.3125 kN \cdot m

M_{3} = M (3.5) = 202.857143 \times 3.5 - 11 \times {3.5}^{2} - 140 \times 1.5 = 365.25 kN \cdot m

M_{4} = M (5.25) = 202.857143 \times 5.25 - 11 \times {5.25}^{2} - 140 \times 3.25 - 140 \times 0.25 = 271.8125 kN \cdot m

Table 8.4b：

m_{LT} = 0.2 + \frac{0.15 \times 321.3125 + 0.5 \times 365.25 + 0.15 \times 271.8125}{369.795918}

= 0.934442 > 0.44

需求：

m_{LT} M_{\max} = 345.552934 kN \cdot m

試 $533 \times 210 \times 109$ UB。塑性（plasticity）彎矩（bending moment）承載力（resistance）大並不足以證明合格；須算其 $7 m$ LTB 承載力。

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，準確選取 $533 \times 210 \times 109$ UB 列。第 9 頁列尺寸，第 10 頁列截面性質（section properties）。 $D$ 是總深度； $d$ 是兩角根圓角之間的腹板（web）淨深度，不是型鋼標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 539.5$ 、腹板（web） $t = 11.6$ 、翼緣（flange） $T = 18.8$ 、角根半徑 $r = 12.7$ 、淨深 $d = 476.5$ ，單位全為 $mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 5.61$ ； $\frac{d}{t} = 41.1$ 。
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 66820 {cm}^{4} = 6.682 \times 10^{8} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 2477 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 2828 {cm}^{3}$ 。
LTB 所需性質	$r_{y} = 4.6 cm = 46 mm$ ； $u = 0.875$ ；扭轉指數 $x = 30.9$ 。

S355，翼緣

T = 18.8 mm

，所以

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

。翼緣

\frac{b}{T} = 5.61 < 9 ε = 8.035248

；受彎腹板

\frac{d}{t} = 41.1 < 80 ε = 71.424431

。兩者均屬 Class 1，所以

β_{W} = 1

，可用塑性抗彎。

\frac{d}{t} = 41.1 < 70 ε = 62.496377

，按課程限值不須計算剪切屈曲。

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{7000}{46} = 152.173913

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{152.173913}{30.9})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.819921

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.875 \times 0.819921 \times 152.173913 \times 1 = 109.174285

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 345$ 欄：

105

列為

128

；

110

列為

119 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{109.174285 - 105}{110 - 105} = 0.834857

p_{b} = 128 + 0.834857 \times (119 - 128) = 120.486287 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{120.486287 \times 2828}{1,000} = 340.735220 kN \cdot m

等效均勻需求：

m_{LT} M_{\max} = 345.552934 kN \cdot m

利用率：

\frac{345.552934}{340.735220} = 1.014139

不通過。

試選不通過： $340.735220 < 345.552934 kN \cdot m$ 。選同一深度系列的下一個較重表列 $533 \times 210 \times 122$ UB，重新讀全部性質；不可沿用 $109 \frac{kg}{m}$ 截面的厚度（thickness）或迴轉半徑（radius of gyration）。

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，準確選取 $533 \times 210 \times 122$ UB 列。第 9 頁列尺寸，第 10 頁列截面性質（section properties）。 $D$ 是總深度； $d$ 是兩角根圓角之間的腹板（web）淨深度，不是型鋼標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 544.5$ 、腹板（web） $t = 12.7$ 、翼緣（flange） $T = 21.3$ 、角根半徑 $r = 12.7$ 、淨深 $d = 476.5$ ，單位全為 $mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 4.97$ ； $\frac{d}{t} = 37.5$ 。
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 76040 {cm}^{4} = 7.604 \times 10^{8} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 2793 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 3196 {cm}^{3}$ 。
LTB 所需性質	$r_{y} = 4.67 cm = 46.7 mm$ ； $u = 0.877$ ；扭轉指數 $x = 27.6$ 。

S355，翼緣

T = 21.3 mm

，所以

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

。翼緣

\frac{b}{T} = 4.97 < 9 ε = 8.035248

；受彎腹板

\frac{d}{t} = 37.5 < 80 ε = 71.424431

。兩者均屬 Class 1，所以

β_{W} = 1

，可用塑性抗彎。

\frac{d}{t} = 37.5 < 70 ε = 62.496377

，按課程限值不須計算剪切屈曲。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）3 個概念 · 34 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

4. 驗算（check）所選 $533 \times 210 \times 122$ UB 的兩段

淺白解說（Simple explanation）：為何彎矩圖形狀也重要？

最高值相同，但若很長一段都接近最高值，通常更吃力。

只看正在驗算的無側向約束段（Unrestrained segment）。
選課程適用圖示或四分點規則（Quarter-point rule）。
依指定驗算，把相應係數用在彎矩需求上。

注意（Remember）：鋼柱彎曲屈曲（Flexural buckling）係數不能和 LTB 係數互換。

相關概念與完整方法（Full method）

主跨 $7 m$ ：沿用相同荷載需求，但改用新截面性質（section properties）。

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{7000}{46.7} = 149.892934

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{149.892934}{27.6})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.797293

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.877 \times 0.797293 \times 149.892934 \times 1 = 104.808994

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 345$ 欄：

100

列為

137

；

105

列為

128 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{104.808994 - 100}{105 - 100} = 0.961799

p_{b} = 137 + 0.961799 \times (128 - 137) = 128.343811 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{128.343811 \times 3196}{1,000} = 410.186820 kN \cdot m

等效均勻需求：

m_{LT} M_{\max} = 345.552934 kN \cdot m

利用率：

\frac{345.552934}{410.186820} = 0.842428

通過。

外伸段（overhang） $3 m$ ：最大負彎矩（hogging moment）絕對值在 B，為 $99 kN \cdot m$ 。保守取 $m_{LT} = 1$ ，所以需求 $99 kN \cdot m$ 。題目明確容許有效長度（effective length）取實際 $3 m$ ，不要默默改用另一個懸臂系數。

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{3000}{46.7} = 64.239829

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{64.239829}{27.6})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.941835

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.877 \times 0.941835 \times 64.239829 \times 1 = 53.061400

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 345$ 欄：

50

列為

285

；

55

列為

268 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{53.061400 - 50}{55 - 50} = 0.612280

p_{b} = 285 + 0.612280 \times (268 - 285) = 274.591241 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{274.591241 \times 3196}{1,000} = 877.593606 kN \cdot m

等效均勻需求：

m_{LT} M_{\max} = 99.000000 kN \cdot m

利用率：

\frac{99.000000}{877.593606} = 0.112808

通過。

所選截面的兩段 LTB 均通過。B 處約束須對指定負彎矩（hogging moment）／受壓翼緣（compression flange）情況有效；題目已給定抗扭約束模型。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）4 個概念 · 9 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

5. 局部強度、外加荷載（imposed load）撓度（deflection）及剩餘範圍

淺白解說（Simple explanation）：樑下垂多少？（Deflection）

強度問會否破壞；撓度問移動了多遠。

用題目指定的正常使用荷載（Serviceability load case）。
選符合支承及荷載位置的撓度公式。
荷載、長度、E 和 I 的單位要互相配合。

注意（Remember）：最大撓度（Maximum deflection）不一定在跨中（Midspan）。

相關概念與完整方法（Full method）

A_{v} = t D = 12.7 \times 544.5 = 6915.15 {mm}^{2}

V_{c} = \frac{p_{y} A_{v}}{\sqrt{3}} = \frac{345 \times 6915.15}{\sqrt{3} \times 1,000} = 1377.399981 kN

V_{\max} = 231.142857 kN < V_{c}

，抗剪通過。

0.6 V_{c} = 826.439989 kN > V_{\max}

，連峰值剪力也屬低剪力，所以全樑可用低剪力受彎公式。

M_{c} = \min (p_{y} S_{x}, 1.2 p_{y} Z_{x})

= \min (\frac{345 \times 3196}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 2793}{1,000})

= \min (1102.62, 1156.3) = 1102.62 kN \cdot m

| M |_{\max} = 369.795918 kN \cdot m

，抗彎通過。

正常使用驗算（check）採用每個外加集中力 $P = 35,000 N$ 、 $q = 5 \frac{N}{mm}$ 。把全樑視為跨越兩個簡支支承的連續彈性（elasticity）樑。固定懸臂公式會漏掉滾輪位置截面的轉動。

外加荷載反力：

R_{B, q} = \frac{35 \times 2 + 35 \times 5 + 50 \times 5}{7} = 70.714286 kN

R_{A, q} = 120 - 70.714286 = 49.285714 kN

E = 205,000 \frac{N}{{mm}^{2}}

；

I = 76,040 \times 10^{4} {mm}^{4}

。

E I = 155,882,000,000,000 N \cdot {mm}^{2}

取向下撓度（deflection） $v$ 為正， $x$ 以 $mm$ 計。把 $E I v^{″} = - M$ 積分（integration）兩次得以下式子。 $x = 0$ 的支承令常數位移項為零； $v (7,000) = 0$ 決定另一常數 $C$ 。

E I v = C x - \frac{49,285.714286 x^{3}}{6} + \frac{5 x^{4}}{24}

+ \frac{35,000 {⟨ x - 2,000 ⟩}^{3}}{6} + \frac{35,000 {⟨ x - 5,000 ⟩}^{3}}{6}

- \frac{70,714.285714 {⟨ x - 7,000 ⟩}^{3}}{6}

在

x = 7,000

：

C = \frac{[\frac{49,285.714286 \times {7,000}^{3}}{6} - \frac{5 \times {7,000}^{4}}{24} - \frac{35,000 \times {5,000}^{3}}{6} - \frac{35,000 \times {2,000}^{3}}{6}]}{7,000}

= \frac{[2.8175 \times 10^{15} - 5.002083333 \times 10^{14} - 7.291666667 \times 10^{14} - 4.666666667 \times 10^{13}]}{7,000}

= 2.202083333 \times 10^{11} N \cdot {mm}^{2}

微分（differentiation）一次，逐個區間令斜率（slope）為零。全樑唯一內部撓度（deflection）駐點（stationary point）在 $2,000 < x < 5,000 mm$ ，此處只有第一個集中力括號已啟動：

E I v^{'} = C - \frac{49,285.714286 x^{2}}{2} + \frac{5 x^{3}}{6} + \frac{35,000 {(x - 2,000)}^{2}}{2} = 0

合併同類項：

\frac{5}{6} x^{3} - 7,142.857143 x^{2} - 70,000,000 x + 290,208,333,333.333 = 0

適用區間內的根：

x = 3,426.666453 mm

代回

E I v

，得最大向下撓度

v = 3.013388 mm

。

v (0) = v (7,000) = 0

v (10,000) = - 3.408027 mm

自由端向上移動。其他區間沒有內部斜率為零的根，仍須核對區間邊界。即使用較嚴格脆性飾面主跨限值

\frac{7,000}{360} = 19.444444 mm

亦通過。外伸段限值

\frac{3,000}{180} = 16.666667 mm

；

| - 3.408027 | < 16.666667

。

來源沒有指定飾面類型；示範較嚴格主跨限值，避免虛構飾面。受載主跨令支承截面轉動，所以自由端可向上移動。此計算只針對圖示同時作用荷載，並未聲稱另作外加荷載（imposed load）不同佈置的包絡。

動畫解說（Animation lab）觀察腹板剪力（Shear resistance）4 個概念 · 10 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

內部剪力使切口兩側保持垂直平衡。
課程常見工字截面主要由腹板提供剪切面積，但須採指定定義。
較薄腹板可能需要先按另一剪切屈曲程序驗算，不能直接沿用簡式。
在課程適用條件下使用 $V_{c} = \frac{p _{y} A _{v}}{3}$ ；應先把 N 換成 kN，再與設計剪力比較。

精簡考試答案（exam answer）

$P = 140 kN$ 、 $w = 22 \frac{kN}{m}$ ； $R_{A} = 202.857143$ 、 $R_{B} = 297.142857 kN$ 。最大內剪力（shear force） $231.142857 kN$ ；在 $x = 2.857143 m$ 正彎矩（sagging moment） $M = 369.795918 kN \cdot m$ ，B 負彎矩（hogging moment） $- 99 kN \cdot m$ 。主跨 LTB 需求 $345.552934 kN \cdot m$ 。試 $533 \times 210 \times 109$ 不通過， $M_{b} = 340.735220$ ；選 $533 \times 210 \times 122$ ，主跨 $M_{b} = 410.186820$ 、外伸段（overhang） $M_{b} = 877.593606 kN \cdot m$ ，外伸段保守取 $m_{LT} = 1$ 。抗剪 $V_{c} = 1377.400 kN$ 及抗彎 $M_{c} = 1102.620 kN \cdot m$ 通過。外加荷載（imposed load）撓度（deflection）：跨內向下 $3.013388 mm$ ，自由端向上 $3.408027 mm$ 。因缺來源輸入，承壓（bearing）／腹板（web）局部構造驗算（check）仍未完成（incomplete）。

應避免的錯誤

不要把上方 $5 m$ 讀成至滾輪的距離。
不要重複加入自重（self-weight）。
不要把支承反力（support reaction）當作樑最大內剪力（shear force）。
沒有約束的集中力位置，不能分割 LTB 長度。
支承可轉動時，不要套固定懸臂撓度（deflection）公式。

處理陌生變式的程序

按來源尺寸鏈，標明支承及荷載位置。
選定正負號約定，取矩平衡須計入外加力偶。
先求反力（reaction），再分段求剪力（shear force）及彎矩（bending moment）。
從剪力（shear force）為零及荷載／支承不連續處找極值。
只在實際有效側向約束（lateral restraint）處分段；作截面分類（section classification）並讀準確型鋼表列。
計算各段彎矩系數（moment factor）及 LTB 承載力（resistance）；如有均佈荷載（uniformly distributed load, UDL），保留彎矩圖（bending moment diagram, BMD）曲率（curvature）。
驗算（check）剪力（shear force）、局部抗彎及正常使用；說明缺少的承壓（bearing）／構造輸入。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：被否決的 $533 \times 210 \times 109$ 截面，能否把 $340.735 kN \cdot m$ 承載力（resistance）捨入為 $350 kN \cdot m$ ，便接受它？

顯示答案及解釋

不能。需求 $345.553 kN \cdot m$ 比未捨入承載力（resistance） $340.735 kN \cdot m$ 高 $4.818 kN \cdot m$ ，利用率（utilisation ratio）約 $1.01414$ 。捨入不能把不通過的極限狀態（limit state）驗算（check）改成通過。須改截面或約束佈置，再重算。

Tutorial 3 Q5：設計帶 3m3m 外伸段（overhang）的樑

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

1. 實際荷載只乘一次分項系數

2. 全樑反力（reaction）、剪力（shear force）及彎矩（bending moment）

3. 求 LTB 需求並否決不足的試選

4. 驗算（check）所選 533×210×122533×210×122 UB 的兩段

5. 局部強度、外加荷載（imposed load）撓度（deflection）及剩餘範圍

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試

Tutorial 3 Q5：設計帶 $3 m$ 外伸段（overhang）的樑

4. 驗算（check）所選 $533 \times 210 \times 122$ UB 的兩段