詳解例題

Tutorial 3 Q4：端部力偶令彎矩圖（bending moment diagram, BMD）反向

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

驗算（check） S355 $533 \times 210 \times 82$ UB 的 LTB：設計端彎矩（bending moment） $350 kN \cdot m$ 、設計集中力 $180 kN$ 。支承 A、C 相距 $10.5 m$ ；B 距 A $6 m$ 、距 C $4.5 m$ 。A、B、C 均有側向約束（lateral restraint）。荷載屬正常荷載，有效長度（effective length）等於實際分段長度。

原始來源：LectureNotes/Ch 3_Beam.pdf — 第 35 頁、第 36 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	已知／查表（table lookup）
荷載	$M = 350 kN \cdot m$ 、 $P = 180 kN$ 已是設計值，不再乘 $1.4$ ／ $1.6$ 。
跨度（span）	尺寸鏈 $6 m + 4.5 m = 10.5 m$ ；B 是荷載／約束點，不是支承。
LTB 長度	按明確有效長度（effective length）假設（assumption），AB 為 $6,000 mm$ ；BC 為 $4,500 mm$ 。

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，準確選取 $533 \times 210 \times 82$ UB 列。第 9 頁列尺寸，第 10 頁列截面性質（section properties）。 $D$ 是總深度； $d$ 是兩角根圓角之間的腹板（web）淨深度，不是型鋼標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 528.3$ 、腹板（web） $t = 9.6$ 、翼緣（flange） $T = 13.2$ 、角根半徑 $r = 12.7$ 、淨深 $d = 476.5$ ，單位全為 $mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 7.91$ ； $\frac{d}{t} = 49.6$ 。
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 47540 {cm}^{4} = 4.754 \times 10^{8} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 1800 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 2059 {cm}^{3}$ 。
LTB 所需性質	$r_{y} = 4.38 cm = 43.8 mm$ ； $u = 0.864$ ；扭轉指數 $x = 41.6$ 。

計算前：辨認題型與選擇策略

外加力偶參與取矩平衡，但不增加豎向合力（resultant force）；它令端部彎矩圖（bending moment diagram, BMD）產生跳躍。先找各段帶正負號的內力端彎矩（bending moment），再用端彎矩 LTB 系數；離散荷載之間的彎矩圖是直線。

1. 計入端部力偶求支承反力（support reaction）

淺白解說（Simple explanation）：反力為何要平衡？（Equilibrium）

想像一塊蹺蹺板：不能跌下，也不能一直轉動。

向上反力（Reactions）總和要平衡向下荷載。
以支承點取矩（Moments），該支承反力便沒有力臂。
力臂（Lever arm）是取矩點至力作用線的垂直距離。

注意（Remember）：側向約束（Lateral restraint）不一定提供豎向支承。

相關概念與完整方法（Full method）

向上為正；外加逆時針彎矩為正。

Σ V = 0 : R_{A} + R_{C} - 180 = 0

Σ M_{A} = 0 : R_{C} \times 10.5 + 350 - 180 \times 6 = 0

R_{C} = \frac{1,080 - 350}{10.5} = 69.523810 kN

R_{A} = 180 - 69.523810 = 110.476190 kN

繞 C 取矩核對：

180 \times 4.5 + 350 - 110.476190 \times 10.5 = 0

把 B 當成豎向支承，會變成另一個超靜定問題。按指定 LTB 模型，× 只約束側向位移。

動畫解說（Animation lab）反力與彎矩平衡（Equilibrium）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

本示意為 6 m 簡支樑及 60 kN 集中荷載，並非原題的荷載圖。
$R_{B} \times L = P \times a$ 。荷載越靠近 B， $R_{B}$ 越大。
$R_{A} = P - R_{B}$ 。兩個向上反力的總和必須等於 P。
荷載在跨中時， $R_{A} = R_{B} = 30 kN$ ；端彎矩、均布荷載及懸臂段均須加入各自的平衡項。

2. 建立帶正負號的剪力（shear force）及彎矩圖（bending moment diagram, BMD）數值

內力下垂彎矩（sagging）為正，

x

從 A 量起，單位

m

。在

0 < x < 6

：

V = + 110.476190 kN

M (x) = - 350 + 110.476190 x kN \cdot m

在

6 < x < 10.5

：

V = 110.476190 - 180 = - 69.523810 kN

M (x) = - 350 + 110.476190 x - 180 (x - 6)

M (A^{+}) = - 350 kN \cdot m

M (B) = - 350 + 110.476190 \times 6 = + 312.857143 kN \cdot m

M (C) = 312.857143 - 69.523810 \times 4.5 = 0

AB 內反曲點：

0 = - 350 + 110.476190 x

x = \frac{350}{110.476190} = 3.168103 m

由 A 量起。

位置	緊接右側剪力（shear force）	彎矩（bending moment）
$A$	$+ 110.476190 kN$	$- 350 kN \cdot m$ （端部力偶引起跳躍）
$B^{-}$	$+ 110.476190 kN$	$+ 312.857143 kN \cdot m$
$B^{+}$	$- 69.523810 kN$	$+ 312.857143 kN \cdot m$
$C^{-}$	$- 69.523810 kN$	$0$
$C^{+}$	$0$	$0$

剪力圖（SFD）按表列水平值畫直線段，B 處向下跳 $180 kN$ ，C 處向上跳 $69.523810 kN$ 。彎矩圖（BMD）用直線連接 A 的 $- 350$ 、B 的 $+ 312.857143$ 、C 的 $0$ 。 $3.168103 m$ 的過零點不是實際側向約束（lateral restraint）。

動畫解說（Animation lab）建立剪力及彎矩圖（SFD / BMD）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意為 6 m 簡支樑承受 60 kN 集中荷載；先平衡反力，再切開截面。
在集中荷載之前， $V = R_{A}$ 、 $M = R_{A} x$ ，彎矩沿長度線性增加。
剪力向下跳 P；右側 $V = R_{A} - P$ ， $M = R_{A} x - P (x - a)$ 。
本例彎矩連續，並在 B 點回到零；若施加集中力偶，彎矩圖則會出現跳躍。

3. 驗算（check） $6 m$ AB 段

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

S355，翼緣

T = 13.2 mm

，所以

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣：

\frac{b}{T} = 7.91 < 9 ε = 7.921268

。受彎腹板：

\frac{d}{t} = 49.6 < 80 ε = 70.411267

。兩者均屬 Class 1，所以

β_{W} = 1

，可用塑性抗彎。

\frac{d}{t} = 49.6 < 70 ε = 61.609858

，按課程限值不須計算剪切屈曲。

AB 彎矩（bending moment）反向；最大絕對值 $350$ 在 A。較小端部值 $+ 312.857143$ 與 $- 350$ 異號，所以比值為負。

β = \frac{- 312.857143}{350} = - 0.893878

Table 8.4a：

m_{LT} = \max (0.44, 0.6 + 0.4 β)

= \max (0.44, 0.242449) = 0.44

等效需求：

0.44 \times 350 = 154 kN \cdot m

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{6000}{43.8} = 136.986301

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{136.986301}{41.6})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.897360

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.864 \times 0.897360 \times 136.986301 \times 1 = 106.208098

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 355$ 欄：

105

列為

129

；

110

列為

120 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{106.208098 - 105}{110 - 105} = 0.241620

p_{b} = 129 + 0.241620 \times (120 - 129) = 126.825424 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{126.825424 \times 2059}{1,000} = 261.133547 kN \cdot m

等效均勻需求：

m_{LT} M_{\max} = 154.000000 kN \cdot m

利用率：

\frac{154.000000}{261.133547} = 0.589737

通過。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）6 個概念 · 6 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

4. 驗算（check） $4.5 m$ BC 段並下結論

淺白解說（Simple explanation）：這一步到底用哪個長度？

側向拉繫可縮短屈曲範圍，但不一定改變樑的豎向跨度。

分開支承跨度（Support span）與側向約束間距（Unbraced length）。
按實際端部約束及荷載，套課程有效長度（Effective length）規則。
豎向支承沒有改變，就保留原有豎向荷載分析。

注意（Remember）：約束某一方向，不代表同時約束另一方向。

相關概念與完整方法（Full method）

BC 彎矩圖為三角形，由

+ 312.857143

至

0

。

β = 0

；Table 8.4a：

m_{LT} = 0.6 + 0.4 \times 0 = 0.6

等效需求：

0.6 \times 312.857143 = 187.714286 kN \cdot m

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{4500}{43.8} = 102.739726

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{102.739726}{41.6})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.935620

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.864 \times 0.935620 \times 102.739726 \times 1 = 83.052333

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 355$ 欄：

80

列為

190

；

85

列為

175 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{83.052333 - 80}{85 - 80} = 0.610467

p_{b} = 190 + 0.610467 \times (175 - 190) = 180.843001 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{180.843001 \times 2059}{1,000} = 372.355739 kN \cdot m

等效均勻需求：

m_{LT} M_{\max} = 187.714286 kN \cdot m

利用率：

\frac{187.714286}{372.355739} = 0.504126

通過。

兩段所要求的 LTB 驗算（check）均通過。另核對適用範圍：峰值剪力（shear force）及最大彎矩（maximum bending moment）絕對值亦符合局部截面驗算：

A_{v} = t D = 9.6 \times 528.3 = 5071.68 {mm}^{2}

V_{c} = \frac{p_{y} A_{v}}{\sqrt{3}} = \frac{355 \times 5071.68}{\sqrt{3} \times 1,000} = 1039.488214 kN

V_{\max} = 110.476190 kN < V_{c}

，抗剪通過。

0.6 V_{c} = 623.692928 kN > V_{\max}

，連峰值剪力也屬低剪力，所以全樑可用低剪力受彎公式。

M_{c} = \min (p_{y} S_{x}, 1.2 p_{y} Z_{x})

= \min (\frac{355 \times 2059}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 1800}{1,000})

= \min (730.945, 766.8) = 730.945 kN \cdot m

| M |_{\max} = 350.000000 kN \cdot m

，抗彎通過。

來源沒有承壓（bearing）尺寸及特徵荷載（characteristic load）分量，不能據此推導數值支承承壓驗算（check）或外加荷載（imposed load）撓度（deflection）；它們亦不屬 Q4 明確要求的純 LTB 驗算。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）4 個概念 · 6 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

精簡考試答案（exam answer）

$R_{A} = 110.47619 kN$ 、 $R_{C} = 69.52381 kN$ 。 $M_{A} = - 350$ 、 $M_{B} = + 312.85714$ 、 $M_{C} = 0 kN \cdot m$ 。AB： $L_{E} = 6 m$ 、 $β = - 0.893878$ 、 $m_{LT} = 0.44$ ；需求 $154 < M_{b} = 261.134 kN \cdot m$ 。BC： $L_{E} = 4.5 m$ 、 $β = 0$ 、 $m_{LT} = 0.6$ ；需求 $187.714 < M_{b} = 372.356 kN \cdot m$ 。S355 $533 \times 210 \times 82$ UB 兩段均通過 LTB。

應避免的錯誤

已是設計荷載（design load），不要再乘分項系數。
支承平衡不能漏掉 $350 kN \cdot m$ 力偶。
彎矩圖（bending moment diagram, BMD）反向時，不要用端彎矩（bending moment）絕對值組成同側正 $β$ 。
不要在零彎矩（bending moment）點自行插入約束。

處理陌生變式的程序

按來源尺寸鏈，標明支承及荷載位置。
選定正負號約定，取矩平衡須計入外加力偶。
先求反力（reaction），再分段求剪力（shear force）及彎矩（bending moment）。
從剪力（shear force）為零及荷載／支承不連續處找極值。
只在實際有效側向約束（lateral restraint）處分段；作截面分類（section classification）並讀準確型鋼表列。
計算各段彎矩系數（moment factor）及 LTB 承載力（resistance）；如有均佈荷載（uniformly distributed load, UDL），保留彎矩圖（bending moment diagram, BMD）曲率（curvature）。
驗算（check）剪力（shear force）、局部抗彎及正常使用；說明缺少的承壓（bearing）／構造輸入。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：移除 B 的側向約束（lateral restraint），但豎向荷載不變，能否沿用兩段通過的結果？

顯示答案及解釋

不能。無約束長度（unrestrained length）變為 $10.5 m$ ；須重算全跨四分點彎矩圖（bending moment diagram, BMD）系數，並以 $10,500 mm$ 重算 $λ_{LT}$ 。豎向反力（reaction）及彎矩圖不變；B 不再是約束，所以穩定承載力（resistance）改變。

Tutorial 3 Q4：端部力偶令彎矩圖（bending moment diagram, BMD）反向

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

1. 計入端部力偶求支承反力（support reaction）

2. 建立帶正負號的剪力（shear force）及彎矩圖（bending moment diagram, BMD）數值

3. 驗算（check） 6m6m AB 段

4. 驗算（check） 4.5m4.5m BC 段並下結論

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試

3. 驗算（check） $6 m$ AB 段

4. 驗算（check） $4.5 m$ BC 段並下結論