模擬試卷解答

模擬試題 Q1：完整解答（solution）及自編評分指引

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

中英術語對照（Terminology）

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

先自行作答才開此頁。返回題目。本頁全部評分指引均為自編。

模擬 Q1 · 樓板 → B1 → B2；全部幾何資料亦列於旁邊題目。 — 自編模擬試題圖。slab → B1 → B2＝樓板（slab）荷載先傳到 B1，再傳到 B2；one-way slab＝單向樓板；interior＝中間樑；squares＝提供豎向支承的角位鋼柱（steel column）。圖中 B1 橫跨 $6 m$ ，右側兩個樓板跨距各 $3 m$ 。示意圖不按比例，以標註尺寸為準。開啟原尺寸圖片。

(a) 荷載強度

淺白解說（Simple explanation）：為何先分開恆載與外加荷載？

像兩個購物籃，各自乘不同系數後才加起來。

自重及永久飾面放入恆載（Dead load, G）籃。
指定使用荷載放入外加荷載（Imposed load, Q）籃。
本課程所述重力極限組合（ULS）： $1.4 G + 1.6 Q$ 。

注意（Remember）：這個 ULS 組合不是外加荷載撓度（Imposed-load deflection）的計算荷載。

相關概念與完整方法（Full method）

G = 0.160 m \times 24.5 \frac{kN}{m^{3}} + 0.6 = 4.52 \frac{kN}{m^{2}}

U = 1.4 \times 4.52 + 1.6 \times 3 = 11.128 \frac{kN}{m^{2}}

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
本示意使用課程重力組合 $1.4 G + 1.6 Q$ ；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
示意取 $G = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ ；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

(b) 追蹤傳力路徑及計算內力

淺白解說（Simple explanation）：樓板荷載怎樣走到樑？（Load path）

每條樑收集屬於自己的那條樓板帶所承受的荷載。

按平面圖找分擔寬度（Tributary width）。
面荷載（Area load）× 分擔寬度 = 線荷載（Line load）。
支承另一條樑時，接收的是該樑的端反力（End reaction）。

注意（Remember）：端反力形成集中荷載（Point load），不能直接當作均佈荷載（UDL）。

相關概念與完整方法（Full method）

中間 B1 承接兩側各 $3 m$ 樓板（slab）跨的一半： $1.5 + 1.5 = 3 m$ 。B2 跨中（midspan）收到 B1 一個端反力（reaction）；上／下邊 B1 的反力直接傳入鋼柱（steel column），故不會增加 B2 的跨中彎矩（bending moment）。

B1 自重：

\frac{59.8 \times 10}{1000} = 0.598 \frac{kN}{m}

w_{G} = 4.52 \times 3 + 0.598 = 14.158

w_{Q} = 3 \times 3 = 9 \frac{kN}{m}

w_{u} = 1.4 \times 14.158 + 1.6 \times 9 = 34.2212 \frac{kN}{m}

R_{A} = R_{B} = \frac{w_{u} L}{2} = \frac{34.2212 \times 6}{2} = 102.664 kN

M_{\max} = \frac{w_{u} L^{2}}{8} = \frac{34.2212 \times 36}{8} = 153.995 kN \cdot m

B2 跨中

P = 102.664 kN

，已乘荷載係數。B2 均布荷載：

\frac{1.4 \times 92.1 \times 10}{1000} = 1.2894 \frac{kN}{m}

每個 B2 支座反力：

\frac{P}{2} + \frac{w L}{2} = \frac{102.664}{2} + \frac{1.2894 \times 6}{2} = 55.2 kN

B2 最大彎矩：

M_{\max} = \frac{P L}{4} + \frac{w L^{2}}{8} = \frac{102.664 \times 6}{4} + \frac{1.2894 \times 36}{8} = 159.798 kN \cdot m

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）4 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

(c) 查確切型鋼行及分類

淺白解說（Simple explanation）：薄板會先起皺（Local buckling）

整根鋼構件尚未發揮預期承載力，薄板部分可能已先起皺。

分別按定義算翼緣（Flange）及腹板（Web）的寬厚比。
把各比值與適用截面類別（Section class）界限比較。
較不利板件決定整個截面的類別。

注意（Remember）：彎曲（Bending）與均勻受壓（Uniform compression）的界限不同。

相關概念與完整方法（Full method）

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，準確選取 $457 \times 152 \times 60$ UB 列。第 9 頁列尺寸，第 10 頁列截面性質（section properties）。 $D$ 是總高； $d$ 是兩根部圓角（root radius）之間的腹板淨高（clear web depth），不是截面名稱的標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 454.6$ 、腹板（web） $t = 8.1$ 、翼緣（flange） $T = 13.3$ 、根部 $r = 10.2$ 、淨高 $d = 407.6$ ，全部以 $mm$ 計。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 5.75$ ； $\frac{d}{t} = 50.3$ 。
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 25500 {cm}^{4} = 2.55 \times 10^{8} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 1122 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 1287 {cm}^{3}$ 。
LTB 所需性質	$r_{y} = 3.23 cm = 32.3 mm$ ； $u = 0.868$ ；扭轉指數 $x = 37.5$ 。

S355，翼緣

T = 13.3 mm

，故

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣：

\frac{b}{T} = 5.75 < 9 ε = 7.921268

彎曲腹板：

\frac{d}{t} = 50.3 < 80 ε = 70.411267

兩者均為 Class 1，故

β_{W} = 1

，可採塑性抗彎。

\frac{d}{t} = 50.3 < 70 ε = 61.609858

按課程限值，不必另作剪切屈曲計算。

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，準確選取 $533 \times 210 \times 92$ UB 列。第 9 頁列尺寸，第 10 頁列截面性質（section properties）。 $D$ 是總高； $d$ 是兩根部圓角（root radius）之間的腹板淨高（clear web depth），不是截面名稱的標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 533.1$ 、腹板（web） $t = 10.1$ 、翼緣（flange） $T = 15.6$ 、根部 $r = 12.7$ 、淨高 $d = 476.5$ ，全部以 $mm$ 計。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 6.71$ ； $\frac{d}{t} = 47.2$ 。
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 55230 {cm}^{4} = 5.523 \times 10^{8} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 2072 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 2360 {cm}^{3}$ 。
LTB 所需性質	$r_{y} = 4.51 cm = 45.1 mm$ ； $u = 0.872$ ；扭轉指數 $x = 36.5$ 。

S355，翼緣

T = 15.6 mm

，故

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣：

\frac{b}{T} = 6.71 < 9 ε = 7.921268

彎曲腹板：

\frac{d}{t} = 47.2 < 80 ε = 70.411267

兩者均為 Class 1，故

β_{W} = 1

，可採塑性抗彎。

\frac{d}{t} = 47.2 < 70 ε = 61.609858

按課程限值，不必另作剪切屈曲計算。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）2 個概念 · 28 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

(d) B1 抗力及撓度（deflection）

淺白解說（Simple explanation）：樑下垂多少？（Deflection）

強度問會否破壞；撓度問移動了多遠。

用題目指定的正常使用荷載（Serviceability load case）。
選符合支承及荷載位置的撓度公式。
荷載、長度、E 和 I 的單位要互相配合。

注意（Remember）：最大撓度（Maximum deflection）不一定在跨中（Midspan）。

相關概念與完整方法（Full method）

A_{v} = t D = 8.1 \times 454.6 = 3682.26 {mm}^{2}

V_{c} = \frac{p_{y} A_{v}}{\sqrt{3}} = \frac{355 \times 3682.26}{\sqrt{3} \times 1,000} = 754.713600 kN

V_{\max} = 102.663600 kN < V_{c}

剪力通過。

0.6 V_{c} = 452.828160 kN > V_{\max}

連最大剪力也屬低剪力，故全樑均可用低剪力抗彎公式。

M_{c} = \min (p_{y} S_{x}, 1.2 p_{y} Z_{x})

= \min (\frac{355 \times 1287}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 1122}{1,000})

= \min (456.885, 477.972) = 456.885 kN \cdot m

| M |_{\max} = 153.995400 kN \cdot m

彎曲通過。

外加線荷載：

w = 9 \frac{kN}{m} = 9 \frac{N}{mm}

I = 25500 \times 10000 = 255000000 {mm}^{4}

δ = \frac{5 w L^{4}}{384 E I} = \frac{5 \times 9 \times 6000^{4}}{384 \times 205000 \times 255000000} = 2.905308 mm

限值

\frac{6000}{360} = 16.666667 mm

；

δ

通過。

動畫解說（Animation lab）觀察腹板剪力（Shear resistance）4 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

內部剪力使切口兩側保持垂直平衡。
課程常見工字截面主要由腹板提供剪切面積，但須採指定定義。
較薄腹板可能需要先按另一剪切屈曲程序驗算，不能直接沿用簡式。
在課程適用條件下使用 $V_{c} = \frac{p _{y} A _{v}}{3}$ ；應先把 N 換成 kN，再與設計剪力比較。

(e) B2 抗力及撓度（deflection）

A_{v} = t D = 10.1 \times 533.1 = 5384.31 {mm}^{2}

V_{c} = \frac{p_{y} A_{v}}{\sqrt{3}} = \frac{355 \times 5384.31}{\sqrt{3} \times 1,000} = 1103.564654 kN

V_{\max} = 55.200000 kN < V_{c}

剪力通過。

0.6 V_{c} = 662.138792 kN > V_{\max}

連最大剪力也屬低剪力，故全樑均可用低剪力抗彎公式。

M_{c} = \min (p_{y} S_{x}, 1.2 p_{y} Z_{x})

= \min (\frac{355 \times 2360}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 2072}{1,000})

= \min (837.8, 882.672) = 837.8 kN \cdot m

| M |_{\max} = 159.797700 kN \cdot m

彎曲通過。

只計外加荷載的 B1 端反力：

P_{q} = \frac{9 \times 6}{2} = 27 kN

I = 55230 \times 10000 = 552300000 {mm}^{4}

δ = \frac{P_{q} L^{3}}{48 E I} = \frac{27000 \times 6000^{3}}{48 \times 205000 \times 552300000} = 1.073118 mm

限值

\frac{6000}{360} = 16.666667 mm

；

δ

通過。

題目明確給全側向約束（lateral restraint），因此此處不需 LTB 驗算（check）。這不代表未指定的腹板（web）接觸構造已獲核實；模擬題明確排除此範圍。

動畫解說（Animation lab）觀察腹板剪力（Shear resistance）4 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

內部剪力使切口兩側保持垂直平衡。
課程常見工字截面主要由腹板提供剪切面積，但須採指定定義。
較薄腹板可能需要先按另一剪切屈曲程序驗算，不能直接沿用簡式。
在課程適用條件下使用 $V_{c} = \frac{p _{y} A _{v}}{3}$ ；應先把 N 換成 kN，再與設計剪力比較。

(f) 強度與剛度

淺白解說（Simple explanation）：夠強與夠硬，是兩個問題

書架可能不會斷，卻彎得太多而不好用。

極限狀態（ULS）檢查相關破壞模式的安全。
正常使用狀態（SLS）檢查指定使用限值。
每項驗算都用自己的指定荷載工況（Load case）。

注意（Remember）：抗彎承載力（Bending resistance）通過，不代表撓度（Deflection）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

強度（strength）關乎抵抗屈服（yielding）／破壞，採用設計強度（design strength）及承載力（resistance）。剛度（stiffness）關乎彈性（elasticity）變形，採用 $E$ 及 $I$ 。提高鋼級可增加抗彎力，但不會改變課程採用的 $E$ ；改變截面高度可大幅提高 $I$ 、減少撓度（deflection）。因此構件可以強度通過，卻不符合正常使用要求。

動畫解說（Animation lab）觀察剛度與撓度（Deflection）1 個概念

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

選用指定 SLS 荷載、跨度及支承條件；此示意採全跨均布荷載。
樑受荷後彎曲；圖中變形放大，以便觀察。
簡支樑全跨均布荷載： $δ = \frac{5 w L ^{4}}{384 E I}$ 。保持 w、E、I 不變，L 加倍便使 δ 增至 16 倍。
讀數示意採 $w = 10 \frac{N}{mm}$ 、 $E = 205000 \frac{N}{mm ^{2}}$ 、 $I = 200000000 mm^{4}$ ；容許值須按原表的飾面及支承類別選取。

精簡答案與自擬評分指引

分題	結果／建議分數
a／4 分	$G = 4.52$ 、 $U = 11.128 \frac{kN}{m^{2}}$ ；厚度（thickness）單位正確，每項 $2$ 分。
b／8 分	B1： $w = 34.2212$ 、 $V = 102.664$ 、 $M = 153.995$ ；B2： $P = 102.664$ 、 $w = 1.2894$ 、 $V = 55.2$ 、 $M = 159.798$ 。配分：傳力路徑 $2$ 、線荷載（line load） $2$ 、反力（reaction） $2$ 、彎矩（bending moment） $2$ 。
c／4 分	兩者均 Class 1；每個截面附正確依據，各 $2$ 分。
d／10 分	剪力（shear force） $2$ 、低剪力（low shear）／彎曲 $3$ 、使用荷載（service load） $2$ 、撓度（deflection）／限值 $3$ 。 $δ_{B 1} = 2.9053 mm$ 。
e／10 分	配分相同。 $δ_{B 2} = 1.0731 mm$ ；只用外加荷載（imposed load）反力（reaction）。
f／4 分	每項解釋清楚的差別 $2$ 分，並包括一項實際影響。

動畫解說（Animation lab）跟隨計算程序（Calculation sequence）5 個概念 · 11 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

找出荷載、支承、連接幾何及題目明示的假設。
分清已知值、查表值及計算值，並統一單位。
原式播放器按原有次序逐步顯示計算式。
比較需求與承載力或相關限值；明確保留缺少資料及條件式結論。