詳解例題

2024 BQ2(a)：背靠背螺栓連接（bolted connection）角鋼（angle section）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

兩支 $125 \times 75 \times 8$ S355 不等邊角鋼（angle section），以三顆 M20 Grade 8.8 螺栓（bolt）穿過 $22 mm$ 孔，背靠背連到 $305 \times 305 \times 118$ UC 腹板（web）。驗算（check）螺栓抗剪、螺栓承壓（bearing）、角鋼承壓及角鋼抗拉。設計中心拉力（tensile force）為 $350 kN$ 。試卷明確不用驗算支承 UC。

原始來源：Pastpaper/23ENGTY004.pdf — 第 3 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	來源／類型
作用力	已知極限 $P_{u} = 350 kN$ ，對稱成對分擔，每支角鋼（angle section） $175 kN$ 。
螺栓（bolt）材料	M20 $A_{s} = 245 {mm}^{2}$ ；Grade 8.8 $p_{s} = 375$ 、 $p_{bb} = 1,000$ 、 $U_{b} = 800 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
中央板層	Data File 第 11 頁， $305 \times 305 \times 118$ UC 腹板（web） $t = 12.0 mm$ ；讀腹板欄，不是翼緣（flange） $T = 18.7 mm$ 。
角鋼（angle section）材料	$8 mm$ S355，故 $p_{y} = 355$ ；課程 $p_{bs} = 550$ 、 $U_{s} = 510$ 、 $K_{e} = 1.1$ 。
面積模型	按講義矩形邊分拆法，使用已知準確尺寸 $125$ ／ $75$ ／ $8$ 。目前不等邊角鋼（angle section）表有一列 $125 \times 75$ 厚度（thickness）標錯；不可把不一致的 $22.7 {cm}^{2}$ 當成 $8 mm$ 角鋼面積。

計算前：辨認題型與選擇策略

剖面圖決定剪切面（shear plane）數目。追蹤 $350 kN$ 經三顆螺栓（bolt）傳入兩條角鋼（angle section）邊的路徑，每支角鋼分得 $175 kN$ 。角鋼抗拉須沿橫向斷裂路徑扣一孔、限制有效面積（effective area）上限，再套用雙螺栓連接（bolted connection）角鋼的剪力（shear force）滯後（shear lag）扣減。

(i) 螺栓（bolt）抗剪——原卷 2 分

淺白解說（Simple explanation）：螺栓在哪裏被剪？（Bolt shear）

板件交界面像剪刀，想橫向剪過螺栓。

數實際傳力的剪切面（Shear planes），不只數畫了幾塊板。
按該剪切面選光身或螺紋面積（Shank / threaded area）。
螺栓組抗力要與這一組實際傳遞的力比較。

注意（Remember）：拼接（Splice）兩側的螺栓，不是全部並排共同承受同一半荷載。

相關概念與完整方法（Full method）

每顆螺栓有兩個剪切界面：角鋼／UC 腹板，以及 UC 腹板／角鋼。每個剪切面：

P_{s} = \frac{245 \times 375}{1,000} = 91.875 kN

每顆雙剪：

P_{s} = 2 \times 91.875 = 183.75 kN

整組：

3 \times 183.75 = 551.25 kN > 350

通過。等價地，每界面需求：

\frac{175}{3} = 58.333333 kN < 91.875

動畫解說（Animation lab）數清螺栓剪切面（Shear planes）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載須跨越被連接鋼板之間的界面。
搭接（lap joint）使每支螺栓有一個剪切面。
對稱雙蓋板接頭可提供兩個剪切面；應數實際傳力界面，不能只數看見的鋼板。
按原教材選螺栓面積及剪切強度，再分別檢查承壓、板件承載力及構造要求。

(ii) 螺栓（bolt）承壓（bearing）——原卷 2 分

淺白解說（Simple explanation）：螺栓夠強，板仍可能壞

強螺栓也可能把較弱的孔邊壓壞或撕開。

螺栓與各連接板的承壓（Bearing）界限都要檢查。
承壓用標稱螺栓直徑；扣孔材料用孔徑（Hole diameter）。
適用抗力中最小的一項控制。

注意（Remember）：端距（End distance）太短時，即使抗剪通過，接頭仍可能不合格。

相關概念與完整方法（Full method）

中央 UC 腹板接觸厚度

12 mm

（查表）。外側兩角鋼總接觸厚度

8 + 8 = 16 mm

。控制投影厚度：

\min (12, 16) = 12 mm

每顆螺栓承壓：

\frac{20 \times 12 \times 1,000}{1,000} = 240 kN

三顆組：

3 \times 240 = 720 kN > 350

通過。

每個外側 $8 mm$ 接觸處分別提供 $160 kN$ ，承受 $58.333333 kN$ ；兩者合共 $320 kN$ ，高於中央 $240 kN$ 。這是螺栓（bolt）承壓（bearing）限值驗算（check），沒有進行題目明確排除的 UC 材料承壓或腹板（web）強度設計。

動畫解說（Animation lab）承壓與剩餘韌帶（Bearing / tear-out）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載藉螺栓與連接板孔壁的接觸傳遞。
孔周鋼板承受局部承壓應力；螺栓承壓與鋼板承壓須分開驗算。
較短韌帶可能向端部撕裂；荷載方向決定應檢查哪一邊。
對每層板件計算所有指定承壓及韌帶限值，採用最小的適用承載力。

(iii) 角鋼（angle section）承壓（bearing）——原卷 6 分

驗算（check）承受 $175 kN$ 的一支角鋼（angle section）。承壓（bearing）投影用 $d = 20$ ，孔間淨距扣減用 $d_{0} = 22$ ；縱向間距 $80$ ，端距（end distance） $50$ 。普通孔系數 $k_{bs} = 1$ 。

孔間淨距：

l_{c} = 80 - 22 = 58 mm

B_{1} = k d t p_{bs} = \frac{1 \times 20 \times 8 \times 550}{1,000} = 88 kN

B_{2} = 0.5 k e t p_{bs} = \frac{0.5 \times 1 \times 50 \times 8 \times 550}{1,000} = 110 kN

淨距項：

\frac{1.5 \times 58 \times 8 \times 510}{1,000} = 354.96 kN

上限：

\frac{2 \times 20 \times 8 \times 800}{1,000} = 256 kN

B_{3} = \min (354.96, 256) = 256 kN

每支角鋼每顆螺栓承壓：

\min (88, 110, 256) = 88 kN

每支角鋼三顆螺栓承載力：

3 \times 88 = 264 kN > 175

整對角鋼

528 kN > 350

，通過。

四項要求強度驗算（check）以外的構造補充：最近橫向邊距（edge distance） $41 mm$ ，大於兩種 M20 最小值 $34$ ／ $26$ 。另一側自由邊距 $84 mm$ ，超出一般最大值 $11 t ε = 11 \times 8 \times \sqrt{\frac{275}{355}} = 77.452 mm$ ，因此完整詳情仍須檢視此規定。這不改變上述承壓（bearing）算術結果。

動畫解說（Animation lab）承壓與剩餘韌帶（Bearing / tear-out）1 個概念 · 5 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載藉螺栓與連接板孔壁的接觸傳遞。
孔周鋼板承受局部承壓應力；螺栓承壓與鋼板承壓須分開驗算。
較短韌帶可能向端部撕裂；荷載方向決定應檢查哪一邊。
對每層板件計算所有指定承壓及韌帶限值，採用最小的適用承載力。

(iv) 角鋼（angle section）抗拉承載力（tension resistance）——原卷 7 分

淺白解說（Simple explanation）：只接一條角鋼肢，為何要折減？

拉力先進入連接肢，另一條肢要經角鋼本身才接收到力。

從圖找連接肢（Connected leg）與外伸肢（Outstanding leg）。
分清螺栓或焊接，選對角鋼（Angle）公式。
角位重疊面積的計法要與講義一致。

注意（Remember）：螺栓（Bolted）與焊接（Welded）的折減式不能混用。

相關概念與完整方法（Full method）

連接的 $125 mm$ 邊有孔，外伸的 $75 mm$ 邊沒有孔。把共用 $8 mm$ 跟部平均分開，避免重複計面積。按講義，把 $K_{e}$ 用於連接邊淨面積，未連接邊則以毛面積為上限。

連接邊毛面積：

a_{g 1} = (125 - \frac{8}{2}) \times 8 = 121 \times 8 = 968 {mm}^{2}

外伸邊：

a_{2} = (75 - \frac{8}{2}) \times 8 = 71 \times 8 = 568 {mm}^{2}

角鋼毛面積：

968 + 568 = 1,536 {mm}^{2}

連接邊淨面積：

a_{n 1} = (121 - 22) \times 8 = 99 \times 8 = 792 {mm}^{2}

連接邊有效面積：

a_{e 1} = \min (1.1 \times 792, 968) = 871.2 {mm}^{2}

外伸邊有效面積：

a_{e 2} = \min (1.1 \times 568, 568) = 568 {mm}^{2}

總有效面積：

A_{e} = 871.2 + 568 = 1,439.2 {mm}^{2}

螺栓連接雙角鋼扣減：

0.25 a_{2} = 0.25 \times 568 = 142 {mm}^{2}

每支角鋼承載面積：

1,439.2 - 142 = 1,297.2 {mm}^{2}

P_{t, each} = \frac{355 \times 1,297.2}{1,000} = 460.506 kN > 175

P_{t, pair} = 2 \times 460.506 = 921.012 kN > 350

通過。

斷裂路徑只穿過三個縱向對齊孔中的一個。把三孔都從同一橫向截面扣去是不正確的。另一方面，若外伸邊 $568$ 乘 $1.1$ 而不設上限，便虛構了額外毛面積。在題目要求的整對／整組承載力（resistance）中，角鋼（angle section）承壓（bearing） $528 kN$ 最低。

動畫解說（Animation lab）沿破壞路徑扣除孔洞（Net area）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

毛面積（gross area）包含整個板寬及板厚。
標示的橫向路徑穿過螺栓孔。
直線示意路徑： $A_{n} = (b - n d_{0}) t$ ；交錯栓孔路徑須按原規則加入修正。
淨面積不一定等於有效面積；適用時須加入課程的強度比例或剪力滯後規則。

精簡考試答案（exam answer）

$P_{u} = 350 kN$ ；每支角鋼（angle section） $175$ 。三顆 M20 雙剪（double shear）： $551.25 kN$ 。中央 UC 腹板（web） $12 mm$ 的螺栓（bolt）承壓（bearing）： $720 kN$ 。角鋼承壓：每支每顆 $88 kN$ ，整對 $528 kN$ 。角鋼有效面積（effective area） $1439.2 {mm}^{2}$ 扣 $0.25 \times 568$ ，得 $1297.2$ ；整對抗拉 $921.012 kN$ 。四項要求的強度驗算（check）全部通過，支承 UC 強度按題意排除。完整構造仍須檢視 $84 mm$ 邊距（edge distance）規定。

應避免的錯誤

螺栓（bolt）穿過 UC 腹板（web）時，不要取翼緣厚度（flange thickness）。
不要把兩支角鋼（angle section）誤當成六顆實際螺栓（bolt）。
角鋼（angle section）橫向淨截面（net section）只扣一孔。
採雙角鋼（angle section）螺栓連接（bolted connection）系數 $0.25$ ，不用單角鋼的 $0.5$ 。

處理陌生變式的程序

先讀 A–A 剖面，再數界面。
把總力分配給螺栓（bolt）及各角鋼（angle section）邊。
比較中央及合計外側接觸厚度（thickness）。
計算全部角鋼（angle section）承壓（bearing）界限。
求有上限的各邊有效面積（effective area），再採相應連接扣減。

獨立自我測試

自己試做。自編變式： $P_{u}$ 增至 $550 kN$ 。四項要求的強度模式中，哪項首先不通過？

顯示答案及解釋

角鋼（angle section）承壓（bearing） $528 kN < 550$ ，不通過。螺栓（bolt）抗剪 $551.25 kN$ 只是勉強通過；螺栓承壓 $720$ 及角鋼抗拉 $921.012$ 仍更高。不能因螺栓抗剪仍通過，便接受整個接頭。

動畫解說（Animation lab）數清螺栓剪切面（Shear planes）3 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載須跨越被連接鋼板之間的界面。
搭接（lap joint）使每支螺栓有一個剪切面。
對稱雙蓋板接頭可提供兩個剪切面；應數實際傳力界面，不能只數看見的鋼板。
按原教材選螺栓面積及剪切強度，再分別檢查承壓、板件承載力及構造要求。