詳解例題

2024 BQ2(b)：槽鋼（channel section）腹板（web）的四邊焊縫（weld）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

S355 鋼板以四邊角焊縫（fillet weld）連到平行翼緣（flange）槽鋼（channel section）腹板（web），焊條 Class 42，求所需焊腳（weld leg）。矩形寬 $250 mm$ 、高 $200 mm$ 。特徵恆載（dead load） $250 kN$ 及外加荷載（imposed load） $150 kN$ 作用在右邊緣線上。

原始來源：Pastpaper/23ENGTY004.pdf — 第 4 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	數值來源
荷載	已知恆載（dead load） $250$ 及外加荷載（imposed load） $150 kN$ ；只套用一次課程 ULS 組合。
幾何（geometry）	已知 $B = 250$ 、 $H = 200 mm$ ；由對稱性得角點座標 $\pm 125$ ／ $\pm 100 mm$ 。
已給公式	原卷完整頁公式為 $I_{x} = \frac{y^{3}}{6} + \frac{x y^{2}}{2}$ 及 $I_{y} = \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2} y}{2}$ ；此處原式 $x$ 、 $y$ 分別表示矩形全寬、全高。原網站詳解以 $B = x$ 、 $H = y$ 避免與角點座標混淆，寫成 $I_{x} = \frac{H^{3}}{6} + \frac{B H^{2}}{2}$ 及 $I_{y} = \frac{B^{3}}{6} + \frac{B^{2} H}{2}$ 。這些是線焊縫（weld）慣性矩（second moment of area），單位 ${mm}^{3}$ ；兩套符號對照後意思相同。
焊縫（weld）強度	S355／Class 42，故 $p_{w} = 250 \frac{N}{{mm}^{2}}$ ；等焊腳（weld leg）喉厚（throat thickness）為 $0.7 s$ 。
缺少的詳情	未給鋼板及槽鋼（channel section）腹板厚度（web thickness）；外露邊最大焊腳（weld leg）須用其實際厚度（thickness）驗算（check）。

計算前：辨認題型與選擇策略

把直接豎向線力與彎矩（bending moment）引起的切向力分開。控制角點位於扭轉豎向分量與直接剪力（direct shear）相加的一側。已給線慣性矩（second moment of area）公式須代入（substitution）矩形全寬、全高，再分解分量，最後選焊腳（weld leg）。

完整 13 分解答（solution）：荷載、線慣性矩（second moment of area）、角點合力（resultant force）及尺寸

淺白解說（Simple explanation）：只把焊縫線算作焊縫

想像鐵線圍成的矩形：中間空白不是額外鐵線。

只計圖上真正存在的焊道（Weld runs）。
用焊道總長及線二次矩（Line second moments）。
在控制位置合成直接力與扭轉力。

注意（Remember）：線二次矩單位是 ${mm}^{3}$ ；板面積的二次矩才是 ${mm}^{4}$ 。

相關概念與完整方法（Full method）

淺白解說（Simple explanation）：先加箭嘴，再算大小（Components）

向東走和向北走，是兩個不同方向。

先定水平、豎向分量的正負號。
同方向分量（Components）各自相加。
互相垂直的兩個總分量，用直角三角形求合力（Resultant）。

注意（Remember）：要找直接力與扭轉分力互相加強的控制角點。

相關概念與完整方法（Full method）

淺白解說（Simple explanation）：為何焊喉比焊腳小？（Weld throat）

穿過焊縫的最短切面，比外側量到的焊腳薄。

題述等腳 90° 角焊縫：喉厚（Throat）約為 0.7 × 焊腳（Leg）。
喉面積乘配對的焊縫設計強度（Weld design strength）。
求每毫米抗力時，想像只取長 1 mm 的小條焊縫。

注意（Remember）：查強度時要同時配對鋼級（Steel grade）與焊條級別（Electrode class）。

相關概念與完整方法（Full method）

極限荷載：

P = 1.4 \times 250 + 1.6 \times 150 = 350 + 240 = 590 kN

有效封閉周邊線長：

L = 2 (250 + 200) = 900 mm

e = \frac{250}{2} = 125 mm

M = P e = 590 \times 125 = 73,750 kN \cdot mm

直接線剪力：

q_{s} = \frac{P}{L} = \frac{590}{900} = 0.655555556 \frac{kN}{mm}

課程連續封閉周邊模型採矩形完整有效線。若為各自終止的分段焊縫（weld），須按實際端部扣減重新求幾何；題目提供的慣性矩（second moment of area）公式假設（assumption）此連續矩形。

I_{x} = \frac{200^{3}}{6} + \frac{250 \times 200^{2}}{2}

= 1,333,333.333333 + 5,000,000 = 6,333,333.333333 {mm}^{3}

I_{y} = \frac{250^{3}}{6} + \frac{250^{2} \times 200}{2}

= 2,604,166.666667 + 6,250,000 = 8,854,166.666667 {mm}^{3}

J = I_{x} + I_{y} = 15,187,500 {mm}^{3}

角點相對形心距離

x = 125

、

y = 100 mm

。扭轉豎向分量：

\frac{M \times 125}{J} = \frac{73,750 \times 125}{15,187,500} = 0.606995885 \frac{kN}{mm}

豎向總線力：

q_{v} = 0.655555556 + 0.606995885 = 1.262551440 \frac{kN}{mm}

水平分量：

q_{h} = \frac{M \times 100}{J} = \frac{73,750 \times 100}{15,187,500} = 0.485596708 \frac{kN}{mm}

合力：

q = \sqrt{q_{v}^{2} + q_{h}^{2}}

= \sqrt{{1.262551440}^{2} + {0.485596708}^{2}} = 1.352715899 \frac{kN}{mm}

兩分量現已同用每有效焊長（effective weld length）的力表示，因此向量合成在量綱（dimension）上相容。另一側要減去扭轉豎向分量，不會控制。

每單位長度承載力：

q_{cap} = \frac{0.7 s p_{w}}{1,000} = \frac{0.7 s \times 250}{1,000} = 0.175 s \frac{kN}{mm}

所需焊腳：

s \geq \frac{1.352715899}{0.175} = 7.729805 mm

按強度試選

8 mm

。喉厚

0.7 \times 8 = 5.6 mm

；

q_{cap} = 1.4 \frac{kN}{mm}

。使用率：

\frac{1.352715899}{1.4} = 0.966226 < 1

強度通過。

$8 mm$ 符合來源表列全部最小焊腳（weld leg）值，該表最大的最小值為 $8 mm$ 。但較薄外露邊也須容許此焊腳：在來源 $t \geq 6 mm$ 規則下， $8 \leq t - 2$ 要求 $t \geq 10 mm$ 。兩件厚度（thickness）均未提供，故最大尺寸的適用性仍未核實。

動畫解說（Animation lab）焊縫群是線組（Eccentric weld group）3 個概念 · 6 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

精簡考試答案（exam answer）

$P = 590 kN$ 、 $e = 125 mm$ 、 $M = 73,750 kN \cdot mm$ 、 $L = 900 mm$ 。 $I_{x} = 6.333333 \times 10^{6}$ 、 $I_{y} = 8.854167 \times 10^{6}$ 、 $J = 15.1875 \times 10^{6} {mm}^{3}$ 。控制 $q_{v} = 1.26255144$ 、 $q_{h} = 0.485596708$ ，合力（resultant force） $1.352715899 \frac{kN}{mm}$ 。 $s \geq 7.729805 mm$ ，按強度試選 $8 mm$ ， $q_{cap} = 1.4$ 。邊緣最大焊腳（weld leg）條件需要未提供的厚度（thickness）資料，不能無條件確認製作詳情。

應避免的錯誤

不要把 $250 mm$ 當成相對形心（centroid）偏心距（eccentricity）。
不要把 $590 kN$ 減半：只有一個受載焊縫（weld）組。
用 ${mm}^{3}$ 線慣性矩（second moment of area），不是 ${mm}^{4}$ 板面積慣性矩。
不要忽略邊緣焊縫（weld）的最大容許尺寸。

處理陌生變式的程序

找出荷載線相對焊縫（weld）形心（centroid）的位置。
特徵荷載（characteristic load）乘系數，再求 $P e$ 。
計算線長及兩軸線慣性矩（second moment of area）。
分解角點扭轉分量，按正負方向加入直接剪力（direct shear）。
由合力（resultant force）求焊腳（weld leg），再驗算（check）實際構造限值。

獨立自我測試

自己試做。自編變式：兩項特徵荷載（characteristic load）均等比例增加 $4 %$ 。 $8 mm$ 強度試選仍通過嗎？

顯示答案及解釋

合力（resultant force）增至 $1.04 \times 1.352715899 = 1.406824535 \frac{kN}{mm}$ ，高於 $1.4$ 。雖然原使用率低於 $1$ ，現在 $8 mm$ 強度不通過。幾何／材料不變，表示承載力（resistance）不會隨荷載增加。

動畫解說（Animation lab）焊縫群是線組（Eccentric weld group）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。