詳解例題

Tutorial 4 Q4：簡單結構中的偏心（eccentricity）屋頂反力（reaction）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

按簡單結構驗算（check）屋頂層 S355 $203 \times 203 \times 60$ UC。 $L^{E} = L = 4.5 m$ 。一階極限荷載（ultimate load）：中心 $650 kN$ ，偏心（eccentricity） $e_{y} = 105 mm$ 處 $140 kN$ ，偏心 $e_{x} = 208 mm$ 處 $100 kN$ 。所有彎矩（bending moment）放大系數為 $1.15$ 。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 40 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

查表（table lookup）：Data File 第 11 頁，準確選取 $203 \times 203 \times 60$ UC 列。分開讀尺寸／局部寬厚比（width-to-thickness ratio）表及截面性質（section properties）表。圖中 $x - x$ 軸水平穿腹板（web）， $y - y$ 軸垂直穿其中央。

截面性質（section properties）	數值與單位
翼緣（flange）／腹板厚度（web thickness）／兩根部之間的腹板（web）淨深度	$T = 14.2 mm$ 、 $t = 9.4 mm$ 、 $d = 160.8 mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 7.25$ 、 $\frac{d}{t} = 17.1$ 。
迴轉半徑（radius of gyration）（由 $cm$ 換算）	$r_{x} = 8.96 \times 10 = 89.6 mm$ ； $r_{y} = 5.2 \times 10 = 52 mm$ 。
面積（Area）	$A = 76.4 {cm}^{2} = 7640 {mm}^{2}$ 。
彈性截面模數（elastic section modulus）	$Z_{x} = 584 {cm}^{3}$ ； $Z_{y} = 201 {cm}^{3}$ 。
塑性截面模數（plastic section modulus）	$S_{x} = 656 {cm}^{3}$ ； $S_{y} = 305 {cm}^{3}$ 。
LTB 參數	$u = 0.846$ 、 $x = 14.1$ ，兩者均無量綱（dimension）。

計算前：辨認題型與選擇策略

軸壓計入所有豎向荷載；各軸彎矩（bending moment）則用作用力對該軸的垂直力臂（lever arm）。在本題模型中，屋頂節點沒有上方柱可分擔彎矩。簡單結構取各彎矩系數（moment factor）為 $1$ ，並採用特別 LTB 規則 $\frac{0.5 L}{r_{y}}$ 。

1. 軸力（axial force）、彎矩（bending moment）及分類

淺白解說（Simple explanation）：樓板荷載怎樣走到樑？（Load path）

每條樑收集屬於自己的那條樓板帶所承受的荷載。

按平面圖找分擔寬度（Tributary width）。
面荷載（Area load）× 分擔寬度 = 線荷載（Line load）。
支承另一條樑時，接收的是該樑的端反力（End reaction）。

注意（Remember）：端反力形成集中荷載（Point load），不能直接當作均佈荷載（UDL）。

相關概念與完整方法（Full method）

F = 650 + 140 + 100 = 890 kN

M_{x, first} = F_{y} e_{x} = \frac{100 \times 208}{1,000} = 20.8 kN \cdot m

M_{y, first} = F_{x} e_{y} = \frac{140 \times 105}{1,000} = 14.7 kN \cdot m

M_{x, amp} = M_{LT} = 1.15 \times 20.8 = 23.92 kN \cdot m

M_{y, amp} = 1.15 \times 14.7 = 16.905 kN \cdot m

m_{x} = m_{y} = m_{LT} = 1

T = 14.2 mm

，按 S355 厚度區間取

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣

\frac{b}{T} = 7.25

；Class 1 限值

9 ε = 7.921268

，Class 2 限值

10 ε = 8.801408

。翼緣屬 Class 1。腹板應力參數：

r_{1} = \frac{F}{d t p_{y}} = \frac{890 \times 1,000}{160.8 \times 9.4 \times 355}

限於

0 \leq r_{1} \leq 1

後取

1.000000

。對任何在此範圍的

r_{1}

，保守 Class 1 腹板限值為

40 ε = 35.205633

。

\frac{d}{t} = 17.1 < 35.205633

，腹板符合較嚴格界限。整體 Class 1，使用受上限限制的塑性截面承載力。

講義 Class 1 組合應力（stress）腹板（web）限值 $\frac{80 ε}{1 + r_{1}}$ 不會低於 $40 ε$ ，因為 $r_{1} \leq 1$ 。採用此較嚴格界限，既保守，也避免在沒有依據下宣告塑性（plasticity）分類。翼緣（flange）仍須獨立驗算（check）。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）4 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

2. 驗算（check）截面

在同一截面，壓力（compressive force）及彎矩（bending moment）共用材料承載能力。使用已放大彎矩，以及受上限限制的塑性（plasticity）抗彎承載力（moment resistance）。總和不得超過 $1$ ；以下各項均無量綱（dimension）。

A_{g} p_{y} = \frac{76.4 \times 100 \times 355}{1,000} = 2712.2 kN

M_{x, amp} = 1.15 \times 20.8 = 23.92 kN \cdot m

M_{y, amp} = 1.15 \times 14.7 = 16.905 kN \cdot m

M_{cx} = \min (\frac{355 \times 656}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 584}{1,000})

= \min (232.88, 248.784) = 232.88 kN \cdot m

M_{cy} = \min (\frac{355 \times 305}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 201}{1,000})

= \min (108.275, 85.626) = 85.626 kN \cdot m

截面比值：

\frac{890}{2712.2} + \frac{23.92}{232.88} + \frac{16.905}{85.626} = 0.628289

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）3 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

3. 軸壓及構件彎曲屈曲（flexural buckling）承載力（resistance）

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

Table 8.7：熱軋（hot-rolled） H 形（UC），最大厚度（thickness） $\leq 40 mm$ ，繞 $x$ 用曲線 b，繞 $y$ 用曲線 c。查 Data File 第 8 頁 $p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 欄。兩軸曲線不同，不能只憑長細比（slenderness ratio）決定控制軸。

L_{Ex} = L_{Ey} = 4500 mm

，是給定有效長度。

λ_{x} = \frac{4500}{89.6} = 50.223214

λ_{y} = \frac{4500}{52} = 86.538462

x

軸曲線 b：

50

列為

298

；

52

列為

293 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{50.223214 - 50}{52 - 50} = 0.111607

p_{c} = 298 + 0.111607 \times (293 - 298) = 297.441964 \frac{N}{{mm}^{2}}

y

軸曲線 c：

86

列為

173

；

88

列為

168 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{86.538462 - 86}{88 - 86} = 0.269231

p_{c} = 173 + 0.269231 \times (168 - 173) = 171.653846 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{A p_{cx}}{10} = \frac{76.4 \times 297.441964}{10} = 2272.456607 kN

P_{cy} = \frac{76.4 \times 171.653846}{10} = 1311.435385 kN

P_{c} = \min (P_{cx}, P_{cy}) = 1311.435385 kN

構件相互作用（interaction）使用彈性（elasticity）彎矩（bending moment）分母 $p_{y} Z$ ，即使截面驗算（check）使用塑性截面模數（plastic section modulus）亦然。此處使用已放大彎矩。

M_{ex} = \frac{355 \times 584}{1,000} = 207.32 kN \cdot m

M_{ey} = \frac{355 \times 201}{1,000} = 71.355 kN \cdot m

\frac{F}{P_{c}} + \frac{m_{x} M_{x, amp}}{M_{ex}} + \frac{m_{y} M_{y, amp}}{M_{ey}}

= \frac{890}{1311.435385} + \frac{1 \times 23.92}{207.32} + \frac{1 \times 16.905}{71.355}

= 1.030937

不通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

4. 簡單結構 LTB 及結論

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

簡單結構（simple construction）特別規則： $\frac{0.5 L}{r_{y}}$ 中用實際層高 $L$ ；軸壓有效長度（effective length）是另一個量。

λ_{LT} = \frac{0.5 \times 4500}{52} = 43.269231

。

查 Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 355$ 欄：

40

列為

325

；

45

列為

309 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{43.269231 - 40}{45 - 40} = 0.653846

p_{b} = 325 + 0.653846 \times (309 - 325) = 314.538462 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = p_{b} S_{x} = \frac{314.538462 \times 656}{1,000} = 206.337231 kN \cdot m

課程 Eq.8.81 的最後一項使用一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）。 $M^{LT}$ 是指定的已放大強軸（major axis）值，不可再放大。軸力（axial force）分母為 $P_{cy}$ 。

\frac{F}{P_{cy}} + \frac{m_{LT} M_{LT}}{M_{b}} + \frac{m_{y} M_{y, first}}{M_{ey}}

= \frac{890}{1311.435385} + \frac{1 \times 23.92}{206.337231} + \frac{1 \times 14.7}{71.355}

= 1.000585

不通過。

$p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}$ ； $P_{cx} = 2272.457 kN$ 、 $P_{cy} = 1311.435 kN$ ； $M_{cx} = 232.880 kN \cdot m$ 、 $M_{cy} = 85.626 kN \cdot m$ 。 $M_{b} = 206.337 kN \cdot m$ 。比值：截面 $0.628289$ 、彎曲屈曲（flexural buckling） $1.030937$ 、軸壓／LTB $1.000585$ 。至少一項必要比值超過 $1$ ，所以鋼柱（steel column）不通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 10 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

精簡考試答案（exam answer）

$F = 890 kN$ ；一階 $M_{x} = 20.8$ 、 $M_{y} = 14.7$ ；放大後分別為 $23.92$ ／ $16.905 kN \cdot m$ 。屋頂彎矩（bending moment）不分給上方柱；所有 $m = 1$ 。 $λ^{LT} = \frac{0.5 L}{r_{y}}$ 用實際 $L = 4.5 m$ 。

應避免的錯誤

翼緣厚度（flange thickness）超過 $16 mm$ 時，不可使用 $355 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
不要把塑性截面模數（plastic section modulus）代入（substitution）構件驗算（check）的彈性（elasticity）分母。
不要把已放大的 $M^{LT}$ 再放大一次。
軸向承載力（resistance）驗算（check）通過，不代表組合作用也合格。
反力（reaction）沿 $X$ 方向偏置，產生繞 $y$ 彎矩（bending moment）；不能只看作用力下標便當作彎矩軸。
中心荷載 $650 kN$ 增加軸壓，不產生偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）。

處理陌生變式的程序

辨認結構設計類型、軸線、實際長度（actual length）及有效長度（effective length）。
讀取厚度（thickness）、等級及準確的 UC 型號行；使用塑性截面模數（plastic section modulus）前先分類。
把豎向力相加，推導帶正負號的偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）；只有接頭連接上下兩段柱時，才在兩柱間分配彎矩。
把指定放大系數使用一次，驗算（check）受上限限制的截面相互作用（interaction）。
這些熱軋（hot-rolled） H 形截面選曲線 $b$ ／ $c$ ，內插（interpolation）兩軸強度，再以彈性截面模數（elastic section modulus）驗算（check）彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）。
使用適用的簡單／連續結構 LTB 長細比（slenderness ratio）規則，以及課程的一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）項。
列出每項利用率（utilisation ratio）；任何一項不合格都會控制最終結論。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：在相對另一側、距 $y$ 軸 $105 mm$ 處，加相同 $140 kN$ 豎向反力（reaction），甚麼改變？

顯示答案及解釋

軸壓增加至 $1,030 kN$ 。兩個 $140 kN$ 反力（reaction）的繞 $y$ 彎矩（bending moment）互相抵消， $M_{y} = 0$ ；一階 $M_{x}$ 仍是 $20.8 kN \cdot m$ 。不能自動假設（assumption）鋼柱（steel column）更安全：軸壓項增加，弱軸（minor axis）彎矩項消失，須重新計算三個比值。