詳解例題

Tutorial 4 Q3：大型 UC 及帶正負號端彎矩（bending moment）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

驗算（check）無側移框架（non-sway frame）中的 S355 $305 \times 305 \times 198$ UC， $L^{E} = 6 m$ 。一階軸力（axial force） $F = 2,500 kN$ 。頂端繞 $x$ ／ $y$ 彎矩（bending moment）分別為 $+ 350$ ／ $+ 90 kN \cdot m$ ；底端為 $+ 150$ ／ $- 70 kN \cdot m$ 。放大系數分別 $1.1$ ／ $1.15$ 。給定 $M^{LT} = 350 kN \cdot m$ 已放大。正值表示順時針（clockwise）。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 40 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

原文明確以 clockwise＝順時針、anti-clockwise＝逆時針（anticlockwise）標示外加端彎矩（bending moment）。兩端內力截面方向相反，所以內力彎矩圖（bending moment diagram, BMD）比值為

\frac{- M_{bottom}}{M_{top}}

。top／bottom＝頂／底，major／minor axis＝強／弱軸（minor axis）。頂端強、弱軸最大值同時存在。

6 m

是有效長度（effective length），不是尚待處理的實際柱高。原題型鋼代號末項是標稱線質量

198 \frac{kg}{m}

。原文

P - Δ - δ

指二階效應（second-order effects）。原圖（source diagram）另列

M_{LT} = 350 kN \cdot m

，正文以

M^{LT}

表示同一量。amplified＝已放大，適用於此 LTB 彎矩，不能再乘一次放大系數。開啟原尺寸圖片

讀圖並整理已知資料（given data）

查表（table lookup）：Data File 第 11 頁，準確選取 $305 \times 305 \times 198$ UC 列。分開讀尺寸／局部寬厚比（width-to-thickness ratio）表及截面性質（section properties）表。圖中 $x - x$ 軸水平穿腹板（web）， $y - y$ 軸垂直穿其中央。

截面性質（section properties）	數值與單位
翼緣（flange）／腹板厚度（web thickness）／兩根部之間的腹板（web）淨深度	$T = 31.4 mm$ 、 $t = 19.1 mm$ 、 $d = 246.7 mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 5.01$ 、 $\frac{d}{t} = 12.9$ 。
迴轉半徑（radius of gyration）（由 $cm$ 換算）	$r_{x} = 14.2 \times 10 = 142 mm$ ； $r_{y} = 8.04 \times 10 = 80.4 mm$ 。
面積（Area）	$A = 252 {cm}^{2} = 25200 {mm}^{2}$ 。
彈性截面模數（elastic section modulus）	$Z_{x} = 2995 {cm}^{3}$ ； $Z_{y} = 1037 {cm}^{3}$ 。
塑性截面模數（plastic section modulus）	$S_{x} = 3440 {cm}^{3}$ ； $S_{y} = 1581 {cm}^{3}$ 。
LTB 參數	$u = 0.854$ 、 $x = 10.2$ ，兩者均無量綱（dimension）。

計算前：辨認題型與選擇策略

查兩張不同系數表之前，先把外加箭嘴正負號轉成內力端矩比。Q3 刻意與 Q2 不同： $M^{LT}$ 明確已放大，且已知端矩可採小於 $1$ 的非均勻彎矩系數（moment factor）。

1. 確立 Class 1 及彎矩系數（moment factor）

淺白解說（Simple explanation）：薄板會先起皺（Local buckling）

整根鋼構件尚未發揮預期承載力，薄板部分可能已先起皺。

分別按定義算翼緣（Flange）及腹板（Web）的寬厚比。
把各比值與適用截面類別（Section class）界限比較。
較不利板件決定整個截面的類別。

注意（Remember）：彎曲（Bending）與均勻受壓（Uniform compression）的界限不同。

相關概念與完整方法（Full method）

T = 31.4 mm

，按 S355 厚度區間取

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

翼緣

\frac{b}{T} = 5.01

；Class 1 限值

9 ε = 8.035248

，Class 2 限值

10 ε = 8.928054

。翼緣屬 Class 1。腹板應力參數：

r_{1} = \frac{F}{d t p_{y}} = \frac{2500 \times 1,000}{246.7 \times 19.1 \times 345}

限於

0 \leq r_{1} \leq 1

後取

1.000000

。對任何在此範圍的

r_{1}

，保守 Class 1 腹板限值為

40 ε = 35.712215

。

\frac{d}{t} = 12.9 < 35.712215

，腹板符合較嚴格界限。整體 Class 1，用受上限限制的塑性截面承載力。

講義 Class 1 組合應力（stress）腹板（web）限值 $\frac{80 ε}{1 + r_{1}}$ 不會低於 $40 ε$ ，因為 $r_{1} \leq 1$ 。採用此較嚴格界限，既保守，也避免在沒有依據下宣告塑性（plasticity）分類。翼緣（flange）仍須獨立驗算（check）。

β_{x} = \frac{- 150}{350} = - 0.428571

Table 8.9 反向彎矩分支：

m_{x} = 0.6 + 0.2 (\frac{- 150}{350}) = 0.514286

β_{y} = \frac{- (- 70)}{90} = 0.777778

Table 8.9 同側彎矩分支：

m_{y} = 0.6 + 0.4 (\frac{70}{90}) = 0.911111

LTB Table 8.4a：

m_{LT} = \max (0.44, 0.6 + 0.4 (\frac{- 150}{350}))

= \max (0.44, 0.428571) = 0.44

M_{LT} = 350 kN \cdot m

，已放大。

題目給出 $M^{LT}$ 大小，沒有另給分佈；課程端彎矩（bending moment）方法採用所列強軸（major axis）分佈。本題須採下限 $0.44$ 。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）3 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

2. 頂端截面相互作用（interaction）

在同一截面，壓力（compressive force）及彎矩（bending moment）共用材料承載能力。使用已放大彎矩，以及受上限限制的塑性（plasticity）抗彎承載力（moment resistance）。總和不得超過 $1$ ；以下各項均無量綱（dimension）。

A_{g} p_{y} = \frac{252 \times 100 \times 345}{1,000} = 8694 kN

M_{x, amp} = 1.1 \times 350 = 385 kN \cdot m

M_{y, amp} = 1.15 \times 90 = 103.5 kN \cdot m

M_{cx} = \min (\frac{345 \times 3440}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 2995}{1,000})

= \min (1186.8, 1239.93) = 1186.8 kN \cdot m

M_{cy} = \min (\frac{345 \times 1581}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 1037}{1,000})

= \min (545.445, 429.318) = 429.318 kN \cdot m

截面比值：

\frac{2500}{8694} + \frac{385}{1186.8} + \frac{103.5}{429.318} = 0.853036

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

3. 兩軸彎曲屈曲（flexural buckling）

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

Table 8.7：熱軋（hot-rolled） H 形（UC），最大厚度（thickness） $\leq 40 mm$ ，繞 $x$ 軸用曲線 $b$ ，繞 $y$ 軸用曲線 $c$ 。使用 Data File 第 8 頁的 $p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 欄。兩軸曲線不同，因此不能只看長細比（slenderness ratio）便判定控制軸。

L_{Ex} = L_{Ey} = 6000 mm

，是給定有效長度。

λ_{x} = \frac{6000}{142} = 42.253521

λ_{y} = \frac{6000}{80.4} = 74.626866

x

軸曲線 b：

42

列為

306

；

44

列為

302 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{42.253521 - 42}{44 - 42} = 0.126761

p_{c} = 306 + 0.126761 \times (302 - 306) = 305.492958 \frac{N}{{mm}^{2}}

y

軸曲線 c：

74

列為

202

；

76

列為

196 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{74.626866 - 74}{76 - 74} = 0.313433

p_{c} = 202 + 0.313433 \times (196 - 202) = 200.119403 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{A p_{cx}}{10} = \frac{252 \times 305.492958}{10} = 7698.422535 kN

P_{cy} = \frac{252 \times 200.119403}{10} = 5043.008955 kN

P_{c} = \min (P_{cx}, P_{cy}) = 5043.008955 kN

構件相互作用（interaction）使用彈性（elasticity）彎矩（bending moment）分母 $p_{y} Z$ ，即使截面驗算（check）使用塑性截面模數（plastic section modulus）亦然。此處使用已放大彎矩。

M_{ex} = \frac{345 \times 2995}{1,000} = 1033.28 kN \cdot m

M_{ey} = \frac{345 \times 1037}{1,000} = 357.765 kN \cdot m

\frac{F}{P_{c}} + \frac{m_{x} M_{x, amp}}{M_{ex}} + \frac{m_{y} M_{y, amp}}{M_{ey}}

= \frac{2500}{5043.008955} + \frac{0.514286 \times 385}{1033.28} + \frac{0.911111 \times 103.5}{357.765}

= 0.950940

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

4. 側向扭轉屈曲（lateral-torsional buckling, LTB）相互作用（interaction）

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

連續／無側移（sway）構件：Class 1／2 採用 $β_{W} = 1$ 。按指定有效長度（effective length），完整計算 $u$ 、 $v$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{6000}{80.4} = 74.626866

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{74.626866}{10.2})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.722175

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}} = 0.854 \times 0.722175 \times 74.626866 \times 1 = 46.025206

查 Data File 第 5 頁 Table 8.3a 的 $p_{y} = 345$ 欄：

45

列為

302

；

50

列為

285 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{46.025206 - 45}{50 - 45} = 0.205041

p_{b} = 302 + 0.205041 \times (285 - 302) = 298.514301 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = p_{b} S_{x} = \frac{298.514301 \times 3440}{1,000} = 1026.889195 kN \cdot m

課程 Eq.8.81 的最後一項使用一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）。 $M^{LT}$ 是指定的已放大強軸（major axis）值，不可再放大。軸力（axial force）分母為 $P_{cy}$ 。

\frac{F}{P_{cy}} + \frac{m_{LT} M_{LT}}{M_{b}} + \frac{m_{y} M_{y, first}}{M_{ey}}

= \frac{2500}{5043.008955} + \frac{0.44 \times 350}{1026.889195} + \frac{0.911111 \times 90}{357.765}

= 0.874904

通過。

$p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ ； $P_{cx} = 7698.423 kN$ 、 $P_{cy} = 5043.009 kN$ ； $M_{cx} = 1186.800 kN \cdot m$ 、 $M_{cy} = 429.318 kN \cdot m$ 。 $M_{b} = 1026.889 kN \cdot m$ 。比值：截面 $0.853036$ 、彎曲屈曲（flexural buckling） $0.950940$ 、軸壓／LTB $0.874904$ 。三項所要求的強度驗算（check）均通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 11 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

精簡考試答案（exam answer）

系數： $m_{x} = 0.514286$ 、 $m_{y} = 0.911111$ 、 $m^{LT} = 0.44$ 。截面／彎曲屈曲（flexural buckling）驗算（check）採已放大彎矩（bending moment） $385$ ／ $103.5 kN \cdot m$ ； $M^{LT}$ 保持 $350 kN \cdot m$ ，LTB 弱軸（minor axis）項則用 $90 kN \cdot m$ 。

應避免的錯誤

翼緣厚度（flange thickness）超過 $16 mm$ 時，不可使用 $355 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
不要把塑性截面模數（plastic section modulus）代入（substitution）構件驗算（check）的彈性（elasticity）分母。
不要把已放大的 $M^{LT}$ 再放大一次。
軸向承載力（resistance）驗算（check）通過，不代表組合作用也合格。
原算 LTB 系數 $0.428571$ 低於下限 $0.44$ ，不能直接使用。
兩軸不要使用同一帶正負號比值。

處理陌生變式的程序

辨認結構設計類型、軸線、實際長度（actual length）及有效長度（effective length）。
讀取厚度（thickness）、等級及準確的 UC 型號行；使用塑性截面模數（plastic section modulus）前先分類。
把豎向力相加，推導帶正負號的偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）；只有接頭連接上下兩段柱時，才在兩柱間分配彎矩。
把指定放大系數使用一次，驗算（check）受上限限制的截面相互作用（interaction）。
這些熱軋（hot-rolled） H 形截面選曲線 $b$ ／ $c$ ，內插（interpolation）兩軸強度，再以彈性截面模數（elastic section modulus）驗算（check）彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）。
使用適用的簡單／連續結構 LTB 長細比（slenderness ratio）規則，以及課程的一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）項。
列出每項利用率（utilisation ratio）；任何一項不合格都會控制最終結論。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：底端強軸（major axis）外加彎矩（bending moment）由 $+ 150$ 改為 $- 150 kN \cdot m$ ，頂端維持 $+ 350$ ，哪些系數改變？

顯示答案及解釋

$β_{x} = \frac{- (- 150)}{350} = + 0.428571$ 。Table 8.9 及 8.4a 現在均給出 $0.6 + 0.4 \times 0.428571 = 0.771429$ 。強軸（major axis）峰值不變，所以截面驗算（check）不變；兩項構件驗算均更不利，須重算後才下結論。

動畫解說（Animation lab）讀取同一段的彎矩形狀（Moment factor）3 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

彎矩縱座標須屬於同一個有效無側向支承段。
同側彎曲與反曲率彎矩圖有不同的端彎矩比正負號。
標記是此段的 ¼、½、¾ 位置，不一定是整樑的四分點。
側扭屈曲與柱彎曲屈曲係數不同，須保留各自的界限及係數組。