詳解例題

Tutorial 3 Q3：移除樓板（slab）約束，驗算（check） B2／B3 的 LTB

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

樓板（slab）不再提供完全側向約束（lateral restraint）時，重新評估 Q2 的 B2 及 B3 側向扭轉屈曲（lateral-torsional buckling, LTB）。B3 在支承及 B2 接入處有側向約束。有效長度（effective length）取實際分段長度，荷載屬正常荷載（normal loads）。

原始來源：LectureNotes/Ch 3_Beam.pdf — 第 35 頁、第 36 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

給定或採用的輸入	確切來源
樓面幾何	Figure Q2：圖上每條水平 B1／B2 跨 $9 m$ ；豎向 B3 跨 $3 + 3 = 6 m$ 。樓板（slab）在水平樑之間沿圖上豎向跨度（span）傳力。
分擔荷載（tributary load）寬度	上／下 B1 各分擔一個 $3 m$ 樓板（slab）開間的一半，即 $1.5 m$ 。中央 B2 兩側各收 $1.5 m$ ，合共 $3 m$ 。
樓板（slab）厚度（thickness）	每個樓板（slab）開間括號中的 $130$ ，表示 $130 mm$ 鋼筋混凝土（RC）板厚，不是荷載強度。
面荷載（area load）	Q2 題文：飾面 $1$ 、間隔牆 $1$ 、屋宇裝備 $0.5$ 、外加荷載（imposed load） $5$ ，單位均為 $\frac{kN}{m^{2}}$ 。
構件	B1： $406 \times 140 \times 46$ UB；B2 及 B3： $457 \times 191 \times 67$ UB。S355、簡支；Q2 受壓翼緣（compression flange）獲完全約束。
B3 額外支承資料	剛性承壓（stiff bearing）長 $150 mm$ 、 $a_{e} = 75 mm$ 、 $b_{e} = 0$ ；明確給定兩項局部翼緣（flange）約束。
用於自重（self-weight）的表列質量	Data File 第 9 頁： $46.0$ 及 $67.1 \frac{kg}{m}$ 。本數值示範乘假定換算因子 $\frac{9.81}{1,000}$ 。

在資料未提供前，保留 $γ$ （混凝土單位重（unit weight）， $\frac{kN}{m^{3}}$ ）及 $g$ （加速度， $\frac{m}{s^{2}}$ ）為符號。以下是對缺少輸入資料、由來源支持的一般解：

面恆載：

G = 0.130 γ + 1 + 1 + 0.5 = 0.130 γ + 2.5 \frac{kN}{m^{2}}

B1 極限均佈荷載：

1.4 [1.5 (0.130 γ + 2.5) + \frac{46 g}{1000}] + 1.6 \times 7.5 \frac{kN}{m}

B2 極限均佈荷載：

1.4 [3 (0.130 γ + 2.5) + \frac{67.1 g}{1000}] + 1.6 \times 15 \frac{kN}{m}

B3 中點力＝B2 均佈荷載乘

\frac{9}{2}

，得

kN

；自身均佈荷載＝

\frac{1.4 \times 67.1 g}{1000} \frac{kN}{m}

。把這些荷載代入下方平衡及強度公式。只由外加荷載引起的撓度不受

γ

或

g

影響。

沿用 Q2 已完整推導的傳力：B2 $w = 48.525551 \frac{kN}{m}$ 、 $M_{\max} = 491.321208 kN \cdot m$ 。B3 中央 $P = 218.364981 kN$ 、自重（self-weight） $w = 0.921551 \frac{kN}{m}$ 、反力（reaction） $R = 111.947145 kN$ 、跨中（midspan） $M = 331.694453 kN \cdot m$ 。移除約束改變穩定性，不改變這些簡支豎向荷載內力。

計算前：辨認題型與選擇策略

截面可通過局部抗彎承載力（moment resistance），卻仍向側面屈曲（buckling）。每段無約束長度（unrestrained length）均須計算自己的等效均勻彎矩（equivalent uniform moment）及 $λ^{LT}$ 。B3 中點是有效約束時，不可用總長 $6 m$ 。

1. B2：全長 $9 m$ 無約束

淺白解說（Simple explanation）：樑下垂多少？（Deflection）

強度問會否破壞；撓度問移動了多遠。

用題目指定的正常使用荷載（Serviceability load case）。
選符合支承及荷載位置的撓度公式。
荷載、長度、E 和 I 的單位要互相配合。

注意（Remember）：最大撓度（Maximum deflection）不一定在跨中（Midspan）。

相關概念與完整方法（Full method）

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，準確選取 $457 \times 191 \times 67$ UB 列。第 9 頁列尺寸，第 10 頁列截面性質（section properties）。 $D$ 是總深度； $d$ 是兩角根圓角之間的腹板（web）淨深度，不是型鋼標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 453.4$ 、腹板（web） $t = 8.5$ 、翼緣（flange） $T = 12.7$ 、角根半徑 $r = 10.2$ 、淨深 $d = 407.6$ ，單位全為 $mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 7.48$ ； $\frac{d}{t} = 48$ 。
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 29380 {cm}^{4} = 2.938 \times 10^{8} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 1296 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 1471 {cm}^{3}$ 。
LTB 所需性質	$r_{y} = 4.12 cm = 41.2 mm$ ； $u = 0.872$ ；扭轉指數 $x = 37.9$ 。

S355，翼緣

T = 12.7 mm

，所以

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣：

\frac{b}{T} = 7.48 < 9 ε = 7.921268

受彎腹板：

\frac{d}{t} = 48 < 80 ε = 70.411267

兩者均屬 Class 1，所以

β_{W} = 1

，可用塑性彎矩承載力。

\frac{d}{t} = 48 < 70 ε = 61.609858

按課程限值，不須計算剪切屈曲。

簡支全跨均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）的三個四分點彎矩（bending moment）為 $0.75 M_{\max}$ 、 $M_{\max}$ 、 $0.75 M_{\max}$ 。所以 Table 8.4b 給出：

m_{LT} = 0.2 + 0.15 \times 0.75 + 0.5 \times 1 + 0.15 \times 0.75 = 0.925

需求彎矩：

0.925 \times 491.321208 = 454.472117 kN \cdot m

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{9000}{41.2} = 218.446602

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{218.446602}{37.9})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.782955

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.872 \times 0.782955 \times 218.446602 \times 1 = 149.141533

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 355$ 欄：

145

列為

75

；

150

列為

71 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{149.141533 - 145}{150 - 145} = 0.828307

p_{b} = 75 + 0.828307 \times (71 - 75) = 71.686774 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{71.686774 \times 1471}{1,000} = 105.451244 kN \cdot m

等效均勻需求彎矩：

m_{LT} M_{\max} = 454.472117 kN \cdot m

利用率：

\frac{454.472117}{105.451244} = 4.309784

不通過。

B2 的 LTB 驗算（check）大幅不通過。移除約束後，Q2 完全約束下抗彎通過的結論不再適用。須提供有效約束佈置，或選用經驗算的較大截面。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）4 個概念 · 19 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

2. B3：驗算（check）一段 $3 m$ ，再用對稱性

淺白解說（Simple explanation）：樓板荷載怎樣走到樑？（Load path）

每條樑收集屬於自己的那條樓板帶所承受的荷載。

按平面圖找分擔寬度（Tributary width）。
面荷載（Area load）× 分擔寬度 = 線荷載（Line load）。
支承另一條樑時，接收的是該樑的端反力（End reaction）。

注意（Remember）：端反力形成集中荷載（Point load），不能直接當作均佈荷載（UDL）。

相關概念與完整方法（Full method）

兩段互為鏡像。左段的 $x$ 從左支承量起，尚未到達 $x = 3 m$ 的集中力。因此 $M (x) = R x - \frac{w x^{2}}{2}$ 。採用該段自己的四分點 $0.75, 1.5, 2.25 m$ ，不是總長 $6 m$ 的四分點。

M_{2} = 111.947145 \times 0.75 - \frac{0.921551 \times {0.75}^{2}}{2} = 83.701172 kN \cdot m

M_{3} = 111.947145 \times 1.5 - \frac{0.921551 \times {1.5}^{2}}{2} = 166.883972 kN \cdot m

M_{4} = 111.947145 \times 2.25 - \frac{0.921551 \times {2.25}^{2}}{2} = 249.548399 kN \cdot m

M_{\max} = 331.694453 kN \cdot m

m_{LT} = 0.2 + \frac{0.15 M_{2} + 0.5 M_{3} + 0.15 M_{4}}{M_{\max}} = 0.602266 > 0.44

等效需求彎矩：

199.768312 kN \cdot m

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{3000}{41.2} = 72.815534

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{72.815534}{37.9})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.958541

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.872 \times 0.958541 \times 72.815534 \times 1 = 60.862695

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 355$ 欄：

60

列為

257

；

65

列為

239 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{60.862695 - 60}{65 - 60} = 0.172539

p_{b} = 257 + 0.172539 \times (239 - 257) = 253.894299 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{253.894299 \times 1471}{1,000} = 373.478514 kN \cdot m

等效均勻需求彎矩：

m_{LT} M_{\max} = 199.768312 kN \cdot m

利用率：

\frac{199.768312}{373.478514} = 0.534886

通過。

B3 兩段均通過。少量自重（self-weight）令彎矩圖（bending moment diagram, BMD）略帶曲線；使用實際各點彎矩（bending moment），可避免默默把它換成直線。原剪力（shear force）、撓度（deflection）及支承局部驗算（check）仍沿用 Q2。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）4 個概念 · 7 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

精簡考試答案（exam answer）

B2： $L_{E} = 9,000 mm$ 、 $m_{LT} = 0.925$ ，需求 $454.472 kN \cdot m$ ， $M_{b} = 105.451 kN \cdot m$ ，不通過。B3：兩段各 $L_{E} = 3,000 mm$ 、 $m_{LT} = 0.602266$ ，需求 $199.768 kN \cdot m$ ， $M_{b} = 373.479 kN \cdot m$ ，兩段均通過。正常荷載及明確假定的有效中點約束是必要條件。

應避免的錯誤

不要把 B2 的 $9 m$ 有效長度（effective length）套到 B3。
題目已移除混凝土約束，不要仍聲稱有該約束。
不要假設（assumption）每條被支承樑自然會提供抗扭約束。

處理陌生變式的程序

從來源讀取樓板（slab）跨度（span）方向、分擔荷載（tributary load）寬度、樑跨度及約束位置。
分開特徵恆載（dead load）／外加荷載（imposed load），只對強度用荷載乘分項系數。
把被支承樑的反力（reaction）傳給支承樑，不是傳其全部荷載。
畫樑自由體圖（free-body diagram），求反力（reaction）及剪力（shear force）／彎矩圖（bending moment diagram, BMD）各點數值。
讀準確型鋼表列、作截面分類（section classification），選受彎公式前先驗算（check）剪力（shear force）。
外加荷載（imposed load）撓度（deflection）驗算（check）統一用 $N$ 及 $mm$ 。
題目要求時，分別驗算（check）承壓（bearing）／腹板屈曲（web buckling）及每段無約束長度（unrestrained length）。

獨立自我測試

自己試一試。自擬推理變式：B3 中點接合不再提供側向約束（lateral restraint），哪些計算須重做？

顯示答案及解釋

改用單一 $6 m$ LTB 段，重算全跨四分點彎矩（bending moment）及 $m_{LT}$ ，再按 $L_{E} = 6,000 mm$ 重算 $λ$ 、 $v$ 、 $λ_{LT}$ 、 $p_{b}$ 及 $M_{b}$ 。原 $3 m$ 結果不再證明足夠。相同荷載產生的豎向反力（reaction）、剪力（shear force）及彎矩不變。