詳解例題

Tutorial 2 Q4：螺栓（bolt）剪力（shear force）與拉力（tensile force）組合

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

用近似法驗算（check）支架中的十二顆 Grade 8.8 M20 螺栓（bolt）。特徵恆載（dead load） $200 kN$ 、外加荷載（imposed load） $150 kN$ ，偏心距（eccentricity） $250 mm$ 。

原始來源：LectureNotes/Ch 2_Connection.pdf — 第 45 頁、第 47 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	來源／模型
荷載	給定特徵恆載（dead load）／外加荷載（imposed load）分別為 $200$ ／ $150 kN$ ，須乘分項系數。
近似轉動支點	沿用連接例題 4 中講師的最低一行螺栓（bolt）轉動支點法。各行距離為 $0, 60, 120, 180, 240, 300 mm$ ，每行兩顆螺栓。
緊固件性質	M20 $A_{s} = 245 {mm}^{2}$ ，Grade 8.8 $p_{s} = 375$ 、 $p_{t} = 560 \frac{N}{{mm}^{2}}$ ；標稱抗拉承載力（tension resistance） $0.8 A_{s} p_{t}$ 。
剪力（shear force）分配	$12$ 顆螺栓（bolt）平均分擔直接剪力（direct shear）；拉力（tensile force）則與距假定轉動支點的距離成正比。

計算前：辨認題型與選擇策略

荷載在螺栓（bolt）組平面外作用，傾向把鋼板頂部拉離柱面。近似法令上方螺栓承受較大拉力（tensile force），而每顆螺栓均承受直接剪力（direct shear）。即使每項作用力均小於其獨立承載力（resistance），組合相互作用（interaction）仍可能不通過。所提供資料沒有官方答案，題目「驗算（check）……足夠」（check that ... adequate）的措辭不能凌駕算術結果。

1. 極限荷載（ultimate load）、彎矩（bending moment）及最大螺栓（bolt）拉力（tensile force）

淺白解說（Simple explanation）：為何最上排螺栓拉力最大？

托架想繞假定接觸線，把自己從支承面掀開。

先採用課程模型指定的轉動／接觸線（Pivot / contact line）。
量各排螺栓至該線的距離。
驗算最大拉力（Tension）、直接剪力及共同作用（Interaction）。

注意（Remember）：位於轉動線的螺栓，仍可承受直接剪力。

相關概念與完整方法（Full method）

P = 1.4 \times 200 + 1.6 \times 150 = 280 + 240 = 520 kN

M = P e = 520 \times 250 = 130,000 kN \cdot mm

Σ y^{2} = 2 (0^{2} + 60^{2} + 120^{2} + 180^{2} + 240^{2} + 300^{2})

= 2 (0 + 3,600 + 14,400 + 32,400 + 57,600 + 90,000) = 396,000 {mm}^{2}

F_{T, \max} = \frac{M y_{\max}}{Σ y^{2}}

= \frac{130,000 \times 300}{396,000} = 98.484848 kN

這是每顆頂行螺栓的拉力。

P_{nom} = \frac{0.8 A_{s} p_{t}}{1,000}

= \frac{0.8 \times 245 \times 560}{1,000} = 109.76 kN

98.484848 < 109.76

，獨立抗拉驗算通過。

系數 $2$ 計入每行兩顆螺栓（bolt）。最底行在此假定抗彎拉力（tensile force）總和中貢獻為零，但仍承受直接剪力（direct shear）。

動畫解說（Animation lab）面外螺栓拉力與撬力（Prying）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

托架彎矩可在板件接觸處產生壓力，在螺栓列產生拉力。
每列距離須相對原題假定的轉動／受壓線量度。
彈性栓列模型中，較遠受拉列承受較大拉力，並可能同時承受直接剪力。
柔性板件可產生額外撬力；名義拉力及相互作用規則須按課程要求使用。

2. 每顆螺栓（bolt）的直接剪力（direct shear）

F_{s} = \frac{P}{12} = \frac{520}{12} = 43.333333 kN

P_{s} = \frac{A_{s} p_{s}}{1,000} = \frac{245 \times 375}{1,000} = 91.875 kN

43.333333 < 91.875

，獨立抗剪驗算通過。

動畫解說（Animation lab）數清螺栓剪切面（Shear planes）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載須跨越被連接鋼板之間的界面。
搭接（lap joint）使每支螺栓有一個剪切面。
對稱雙蓋板接頭可提供兩個剪切面；應數實際傳力界面，不能只數看見的鋼板。
按原教材選螺栓面積及剪切強度，再分別檢查承壓、板件承載力及構造要求。

3. 驗算（check）頂行螺栓（bolt）同時承受的作用力

淺白解說（Simple explanation）：兩項各自通過，還要檢查甚麼？

同一顆螺栓同時做兩份工作，還要看共同作用（Interaction）。

先分別驗算剪力（Shear）及拉力（Tension）。
再計算課程指定的剪拉共同作用式。
用該式自己的界限，不能借用鋼柱的界限。

注意（Remember）：所給螺栓共同作用界限 1.4，不能取代個別剪力及拉力驗算。

相關概念與完整方法（Full method）

\frac{F_{s}}{P_{s}} + \frac{F_{T}}{P_{nom}}

= \frac{43.333333}{91.875} + \frac{98.484848}{109.76}

= 0.471655 + 0.897274 = 1.368930 < 1.4

通過。

課程相互作用（interaction）限值為 $1.4$ ，見 Ch 2 第 10 頁及例題 4 第 28 頁。不要把每條相互作用式的限值都自動當作 $1$ 。兩項獨立比值亦均小於 $1$ ，所以題目要求的近似螺栓（bolt）強度驗算（check）通過。標準化組合利用率（utilisation ratio）為 $\frac{1.368930}{1.4} = 0.977807$ ，餘量很小。題目未充分提供橫向間距及支承翼緣（flange）尺寸，未能證明無撬力（prying force）條件 $G \leq 0.55 B$ 或所有承壓（bearing）驗算；結果以課程標稱抗拉模型適用為條件。

假定轉動支點屬模型選擇。若改放在最低一行以下 $40 mm$ 的底部接觸邊，各行距離會是 $40, 100, 160, 220, 280, 340 mm$ ， $Σ y^{2} = 559,200 {mm}^{2}$ 。最大拉力（tensile force）變成 $\frac{130,000 \times 340}{559,200} = 79.0415 kN$ ，相互作用（interaction）值約 $1.1918 < 1.4$ 。本詳解一致沿用講師的最低螺栓（bolt）行模型。

動畫解說（Animation lab）組合作用共用承載力（Interaction）1 個概念 · 7 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

剪力與拉力，或壓力與彎矩，須對應同一螺栓或驗算截面。
每項作用除以該項指定的承載力。
圖條只示意線性加總；螺栓相互作用可能採不同上限及個別驗算，須以原式為準。
通過某一相互作用式不代表所有破壞模式均合格；請配合下方原式逐步閱讀。

精簡考試答案（exam answer）

$P = 520 kN$ 、 $M = 130,000 kN \cdot mm$ 。最低行轉動支點： $Σ y^{2} = 396,000 {mm}^{2}$ ， $F_{t, \max} = 98.48485 kN$ 。 $F_{s} = 43.33333 kN$ 。M20 $P_{s} = 91.875$ 、 $P_{nom} = 109.76 kN$ 。獨立驗算（check）通過，相互作用（interaction） $0.471655 + 0.897274 = 1.36893 < 1.4$ 。給定螺栓（bolt）通過所要求的近似剪力（shear force）／拉力（tensile force）模型；無撬力（prying force）及承壓（bearing）的適用性，仍取決於未提供的支承構造資料。

應避免的錯誤

不要把題目中的「足夠」（adequate）當作必須得出的結論。
直接剪力（direct shear）用十二顆螺栓（bolt）分配；拉力（tensile force）則用各行距離平方和。
不能只比較獨立剪力（shear force）及拉力（tensile force）結果。
改用較大螺栓（bolt）時，須重新驗算（check）孔徑（hole diameter）、間距、邊距（edge distance）及承壓（bearing）。

處理陌生變式的程序

辨認傳力路徑，以及接頭屬同心（concentric）、平面內偏心（eccentricity）還是平面外偏心。
所有尺寸均從相關視圖讀取，不按繪圖比例量度。
區分特徵荷載（characteristic load）與極限荷載（ultimate load），只在需要時乘分項系數。
採用合適的平衡模型，計算每顆緊固件／每段焊縫（weld）的作用力。
逐項分開驗算（check）所要求的承載力（resistance）及構造條件。
說明原佈置通過、不通過，或因缺少資料而仍有條件。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：所有尺寸及特徵荷載（characteristic load）比例 $200 : 150$ 不變，仍能通過此相互作用（interaction）式的最大整體荷載倍數是多少？

顯示答案及解釋

相互作用（interaction）值隨荷載線性增加。最大倍數： $\frac{1.4}{1.368929823} = 1.02269669$ 相應極限荷載（ultimate load）為 $531.8023 kN$ 。獨立抗拉容許 $\frac{109.76}{98.48485} \approx 1.1145$ ，抗剪容許 $\frac{91.875}{43.33333} \approx 2.1202$ ，所以組合作用控制。此結果只涉及近似螺栓（bolt）驗算（check），不能確立缺少資料的鋼板／承壓（bearing）／無撬力（prying force）條件。

動畫解說（Animation lab）面外螺栓拉力與撬力（Prying）4 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

托架彎矩可在板件接觸處產生壓力，在螺栓列產生拉力。
每列距離須相對原題假定的轉動／受壓線量度。
彈性栓列模型中，較遠受拉列承受較大拉力，並可能同時承受直接剪力。
柔性板件可產生額外撬力；名義拉力及相互作用規則須按課程要求使用。