詳解例題

2024 BQ3：鋼柱（steel column）截面分類（section classification）及三項組合受力（combined actions）驗算（check）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

解答（solution） BQ3 全部 $30$ 分。驗算（check） S355、 $254 \times 254 \times 89$ UC；有效長度（effective length） $4 m$ ，已乘荷載係數的壓力（compressive force） $650 kN$ 。外加端彎矩（bending moment）以順時針（clockwise）為正，上端／下端分別為： $x$ 軸 $+ 75$ ／ $+ 45 kN \cdot m$ ； $y$ 軸 $+ 65$ ／ $- 39 kN \cdot m$ 。放大係數分別為 $1.1$ ／ $1.1$ 。另給已放大的 $M^{LT} = 96 kN \cdot m$ 。

原始來源：Pastpaper/23ENGTY004.pdf — 第 5 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

原 BQ3 是文字荷載表，沒有框架圖。正負號說明以順時針（clockwise）為正、逆時針（anticlockwise）為負。上端（top）／下端（bottom）的外加箭嘴彎矩（bending moment）須轉成內力彎矩圖（BMD）的端彎矩比。

4 m

已是有效長度（effective length），題目沒有要求再乘端部約束係數。

M^{LT} = 96 kN \cdot m

明確是已放大值（amplified）。原題軸名

x - x

／

y - y

的彎矩寫為

M_{x - x}

／

M_{y - y}

，正文簡寫為

M_{x}

／

M_{y}

。原文

P - Δ - δ

表示二階效應（second-order effects）；原題下標式

M_{LT} = + 96 kN \cdot m

與正文上標式

M^{LT}

是同一已放大量，保留原題明示正號。型鋼代號末項為標稱線質量

89 \frac{kg}{m}

。開啟原尺寸圖片

讀圖並整理已知資料（given data）

查表（table lookup）：Data File 第 11 頁，準確選取 $254 \times 254 \times 89$ UC 列。分開讀尺寸／局部寬厚比（width-to-thickness ratio）表及截面性質（section properties）表。圖中 $x - x$ 軸水平穿腹板（web）， $y - y$ 軸垂直穿其中央。

截面性質（section properties）	數值與單位
翼緣（flange）／腹板厚度（web thickness）／兩根部之間的腹板（web）淨深度	$T = 17.3 mm$ 、 $t = 10.3 mm$ 、 $d = 200.3 mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 7.41$ 、 $\frac{d}{t} = 19.4$ 。
迴轉半徑（radius of gyration）（由 $cm$ 換算）	$r_{x} = 11.2 \times 10 = 112 mm$ ； $r_{y} = 6.55 \times 10 = 65.5 mm$ 。
面積（Area）	$A = 113 {cm}^{2} = 11300 {mm}^{2}$ 。
彈性截面模數（elastic section modulus）	$Z_{x} = 1096 {cm}^{3}$ ； $Z_{y} = 379 {cm}^{3}$ 。
塑性截面模數（plastic section modulus）	$S_{x} = 1224 {cm}^{3}$ ； $S_{y} = 575 {cm}^{3}$ 。
LTB 參數	$u = 0.85$ 、 $x = 14.5$ ，兩者均無量綱（dimension）。

計算前：辨認題型與選擇策略

三項驗算（check）回答不同問題。局部截面分類（section classification）決定截面抗力模型；截面組合驗算（cross-section interaction）檢查屈服（yielding）／局部抗力；彎曲屈曲（flexural buckling）及軸力（axial force）／側向扭轉屈曲（LTB）組合驗算檢查構件失穩。分清塑性（plasticity）與彈性（elasticity）分母，以及一階與已放大彎矩（bending moment）。所列兩軸最大彎矩（maximum bending moment）幅值都出現在上端，故可同時作用於該截面。

(a) 鋼柱（steel column）截面分類（section classification）——原卷 4 分

淺白解說（Simple explanation）：薄板會先起皺（Local buckling）

整根鋼構件尚未發揮預期承載力，薄板部分可能已先起皺。

分別按定義算翼緣（Flange）及腹板（Web）的寬厚比。
把各比值與適用截面類別（Section class）界限比較。
較不利板件決定整個截面的類別。

注意（Remember）：彎曲（Bending）與均勻受壓（Uniform compression）的界限不同。

相關概念與完整方法（Full method）

T = 17.3 mm

，按 S355 厚度區間取

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

翼緣

\frac{b}{T} = 7.41

；Class 1 限值

9 ε = 8.035248

；Class 2 限值

10 ε = 8.928054

。翼緣屬 Class 1。
腹板應力參數：

r_{1} = \frac{F}{d t p_{y}} = \frac{650 \times 1,000}{200.3 \times 10.3 \times 345}

按

0 \leq r_{1} \leq 1

限定後得

0.913221

。對此範圍內任何

r_{1}

，保守的 Class 1 腹板限值為

40 ε = 35.712215

。

\frac{d}{t} = 19.4 < 35.712215

，腹板符合此較嚴格限值。整體屬 Class 1，採用受上限約束的塑性截面抗力。

講義 Class 1 組合應力（stress）腹板（web）限值 $\frac{80 ε}{1 + r_{1}}$ 不會低於 $40 ε$ ，因為 $r_{1} \leq 1$ 。採用此較嚴格界限，既保守，也避免在沒有依據下宣告塑性（plasticity）分類。翼緣（flange）仍須獨立驗算（check）。

採用翼緣（flange） Class 1 的 $9 ε$ 限值，以及上文解釋的腹板（web）組合受壓保守限值。已給壓力（compressive force）影響腹板應力（stress）分佈，但不會改變實際尺寸比。結果為 Class 1。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）1 個概念 · 3 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

(b) 截面承載力（resistance）——原卷 7 分

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

在同一截面，壓力（compressive force）及彎矩（bending moment）共用材料承載能力。使用已放大彎矩，以及受上限限制的塑性（plasticity）抗彎承載力（moment resistance）。總和不得超過 $1$ ；以下各項均無量綱（dimension）。

A_{g} p_{y} = \frac{113 \times 100 \times 345}{1,000} = 3898.5 kN

M_{x, amp} = 1.1 \times 75 = 82.5 kN \cdot m

M_{y, amp} = 1.1 \times 65 = 71.5 kN \cdot m

M_{cx} = \min (\frac{345 \times 1224}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 1096}{1,000})

= \min (422.28, 453.744) = 422.28 kN \cdot m

M_{cy} = \min (\frac{345 \times 575}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 379}{1,000})

= \min (198.375, 156.906) = 156.906 kN \cdot m

截面組合比值：

\frac{650}{3898.5} + \frac{82.5}{422.28} + \frac{71.5}{156.906} = 0.817786

通過。

此 UC 的弱軸（minor axis）由 $1.2 p_{y} Z_{y}$ 上限控制；若只用 $p_{y} S_{y}$ ，會高估容許的弱軸彎矩（bending moment）。截面軸力（axial force）項的分母是毛截面壓潰抗力 $A_{g} p_{y}$ ，不是構件抗壓力（compressive force） $P_{c}$ 。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）3 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

(c) 構件屈曲（buckling）——原卷 19 分

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

先分別查兩張彎矩（bending moment）梯度係數表。此荷載表以外加順時針（clockwise）彎矩為正；由於構件兩端截面的面向相反，內力彎矩比為 $β = - \frac{M_{bottom}}{M_{top}}$ 。

β_{x} = - \frac{45}{75} = - 0.600000

Table 8.9：

m_{x} = 0.6 + 0.2 β_{x} = 0.480000

β_{y} = - \frac{(- 39)}{65} = 0.600000

Table 8.9：

m_{y} = 0.6 + 0.4 β_{y} = 0.840000

Table 8.4a：

m_{LT} = \max (0.44, 0.6 + 0.4 β_{x}) = 0.440000

本課程解法用強軸（major axis）端彎矩（bending moment）形式求 LTB 彎矩係數。另給的 $M^{LT}$ 大小必須保留原卷指定值；即使它與最大已放大 $M_{x}$ 不同，也不可自行用後者替換。

Table 8.7：熱軋（hot-rolled） H 形（UC），最大厚度（thickness） $\leq 40 mm$ ，繞 $x$ 軸用曲線 $b$ ，繞 $y$ 軸用曲線 $c$ 。使用 Data File 第 8 頁的 $p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 欄。兩軸曲線不同，因此不能只看長細比（slenderness ratio）便判定控制軸。

已給有效長度：

L_{Ex} = L_{Ey} = 4000 mm

λ_{x} = \frac{4000}{112} = 35.714286

λ_{y} = \frac{4000}{65.5} = 61.068702

x

軸用曲線 b：

35

行為

318

，

40

行為

310 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{35.714286 - 35}{40 - 35} = 0.142857

p_{c} = 318 + 0.142857 \times (310 - 318) = 316.857143 \frac{N}{{mm}^{2}}

y

軸用曲線 c：

60

行為

241

，

62

行為

236 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{61.068702 - 60}{62 - 60} = 0.534351

p_{c} = 241 + 0.534351 \times (236 - 241) = 238.328244 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{A p_{cx}}{10} = \frac{113 \times 316.857143}{10} = 3580.485714 kN

P_{cy} = \frac{113 \times 238.328244}{10} = 2693.109160 kN

P_{c} = \min (P_{cx}, P_{cy}) = 2693.109160 kN

構件相互作用（interaction）使用彈性（elasticity）彎矩（bending moment）分母 $p_{y} Z$ ，即使截面驗算（check）使用塑性截面模數（plastic section modulus）亦然。此處使用已放大彎矩。

M_{ex} = \frac{345 \times 1096}{1,000} = 378.12 kN \cdot m

M_{ey} = \frac{345 \times 379}{1,000} = 130.755 kN \cdot m

\frac{F}{P_{c}} + \frac{m_{x} M_{x, amp}}{M_{ex}} + \frac{m_{y} M_{y, amp}}{M_{ey}}

= \frac{650}{2693.109160} + \frac{0.48 \times 82.5}{378.12} + \frac{0.84 \times 71.5}{130.755}

= 0.805418

通過。

連續／無側移（sway）構件：Class 1／2 採用 $β_{W} = 1$ 。按指定有效長度（effective length），完整計算 $u$ 、 $v$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{4000}{65.5} = 61.068702

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{61.068702}{14.5})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.853224

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}} = 0.85 \times 0.853224 \times 61.068702 \times 1 = 44.289500

查 Data File 第 5 頁 Table 8.3a 的 $p_{y} = 345$ 欄：

40

行為

317

，

45

行為

302 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{44.289500 - 40}{45 - 40} = 0.857900

p_{b} = 317 + 0.857900 \times (302 - 317) = 304.131499 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = p_{b} S_{x} = \frac{304.131499 \times 1224}{1,000} = 372.256955 kN \cdot m

課程 Eq.8.81 的最後一項使用一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）。 $M^{LT}$ 是指定的已放大強軸（major axis）值，不可再放大。軸力（axial force）分母為 $P_{cy}$ 。

\frac{F}{P_{cy}} + \frac{m_{LT} M_{LT}}{M_{b}} + \frac{m_{y} M_{y, first}}{M_{ey}}

= \frac{650}{2693.109160} + \frac{0.44 \times 96}{372.256955} + \frac{0.84 \times 65}{130.755}

= 0.772402

通過。

$p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ ； $P_{cx} = 3580.486 kN$ 、 $P_{cy} = 2693.109 kN$ ； $M_{cx} = 422.280 kN \cdot m$ 、 $M_{cy} = 156.906 kN \cdot m$ ； $M_{b} = 372.257 kN \cdot m$ 。組合比值：截面 $0.817786$ 、彎曲屈曲（flexural buckling） $0.805418$ 、軸力（axial force）／LTB $0.772402$ 。題目要求的三項強度驗算（check）全部通過。

建議方法分檢查點（自行推斷，並非官方配分）：選對強度及曲線；計算兩軸長細比（slenderness ratio）；插值（interpolation）；使用正負號正確的彎矩（bending moment）係數；構件項採彈性（elasticity）分母；完成 $u$ – $v$ 計算；寫出兩項構件組合比值及結論。即使取整令最後數字略有差異，仍要展示以上過程。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）6 個概念 · 17 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

精簡考試答案（exam answer）

(a) Class 1， $p_{y} = 345$ 。(b) 已放大 $M_{x} = 82.5$ 、 $M_{y} = 71.5 kN \cdot m$ 。(c) $m_{x} = 0.480000$ 、 $m_{y} = 0.840000$ 、 $m_{LT} = 0.440000$ ；已給 $M_{LT} = 96$ 維持不變。

應避免的錯誤

不要對已給有效高度再乘一個 $K$ 。
反向彎曲的彎曲屈曲（flexural buckling）與 LTB 驗算（check），不能沿用同一端彎矩（bending moment）係數公式。
不要把 $M^{LT}$ 放大兩次。
最後 LTB 式的弱軸（minor axis）項採課程的一階 $M_{y}$ ；彎曲屈曲（flexural buckling）式採已放大 $M_{y}$ 。

處理陌生變式的程序

讀清正負號規則及所需型鋼的確切表格行。
確定強度及截面分類（section classification）。
每個一階彎矩（bending moment）只放大一次；另給已放大的 $M_{LT}$ 保留原值。
驗算（check）受上限約束的截面抗力。
求兩軸抗壓力（compressive force）及保留正負號的彎矩（bending moment）係數。
分別完成彎曲屈曲（flexural buckling）及軸力（axial force）／LTB 組合驗算（check）。

獨立自我測試

自行練習。自編變式：全部一階作用及已給放大的 $M^{LT}$ 同比例增加 $10 %$ ，型鋼、有效長度（effective length）及放大係數不變。三項新組合比值中最大的是多少？

顯示答案及解釋

截面分類（section classification）及端彎矩（bending moment）比不變時，抗力與係數不變，全部組合需求乘 $1.1$ 。最大值變為 $1.1 \times 0.817786 = 0.899564$ ，仍小於 $1$ 。軸力（axial force）改變後仍須重新確認截面分類；此處保守腹板（web）驗算（check）仍涵蓋限定範圍內的 $r_{1}$ 。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。