詳解例題

2023 BQ2(b)：偏心（eccentricity）牛腿的十顆螺栓（bolt）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

求螺栓（bolt）抗剪及抗拉承載力（tension resistance），再驗算（check）把 S355 牛腿連到柱上的十顆 M20 Grade 8.8 螺栓。牛腿承受 $350 kN$ 設計荷載（design load），偏心距（eccentricity） $300 mm$ 。端板（end plate）厚 $16 mm$ ，支承截面為 $305 \times 305 \times 137$ UC。

原始來源：Pastpaper/22ENGTY033.pdf — 第 4 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	來源／模型
荷載	已知設計荷載（design load） $350 kN$ ；不再乘 $1.4$ ／ $1.6$ 。
緊固件（fasteners）	M20 $A_{s} = 245 {mm}^{2}$ ；Grade 8.8 $p_{s} = 375$ 、 $p_{t} = 560 \frac{N}{{mm}^{2}}$ ；標稱抗拉 $0.8 A_{s} p_{t}$ 。
近似轉動支點	採課程最低螺栓（bolt）行模型： $y = 0, 70, 140, 210, 280 mm$ ，每行兩顆。
撬力（prying force）適用條件（applicability）	Data File 第 11 頁給支承 UC 翼緣（flange）寬 $B = 309.2 mm$ 。未標螺栓（bolt）橫向間距 $G$ ，因此不能獨立確認 $G \leq 0.55 B$ 。

計算前：辨認題型與選擇策略

荷載使上部端板（end plate）傾向離開柱面，同時每顆螺栓（bolt）均承受直接剪力（direct shear）。先求課程簡化無撬力（prying force）處理的標稱抗拉承載力（tension resistance），再比較各單項內力及組合比值。課程組合限值是 $1.4$ ，不是 $1$ 。

(i) 單顆螺栓（bolt）承載力（resistance）——原卷 5 分

淺白解說（Simple explanation）：螺栓在哪裏被剪？（Bolt shear）

板件交界面像剪刀，想橫向剪過螺栓。

數實際傳力的剪切面（Shear planes），不只數畫了幾塊板。
按該剪切面選光身或螺紋面積（Shank / threaded area）。
螺栓組抗力要與這一組實際傳遞的力比較。

注意（Remember）：拼接（Splice）兩側的螺栓，不是全部並排共同承受同一半荷載。

相關概念與完整方法（Full method）

單剪承載力：

P_{s} = \frac{A_{s} p_{s}}{1,000} = \frac{245 \times 375}{1,000} = 91.875 kN

每顆。基本抗拉：

P_{t} = \frac{A_{s} p_{t}}{1,000} = \frac{245 \times 560}{1,000} = 137.2 kN

課程降低承載力處理所用的標稱抗拉：

P_{nom} = 0.8 P_{t} = 0.8 \times 137.2 = 109.76 kN

同時列出 $137.2$ 及 $109.76$ ，並說明各自意思。以下講義式相互作用（interaction）採 $109.76$ 。端板（end plate）與柱之間只有一個接觸界面，屬單剪（single shear）。

動畫解說（Animation lab）面外螺栓拉力與撬力（Prying）3 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

托架彎矩可在板件接觸處產生壓力，在螺栓列產生拉力。
每列距離須相對原題假定的轉動／受壓線量度。
彈性栓列模型中，較遠受拉列承受較大拉力，並可能同時承受直接剪力。
柔性板件可產生額外撬力；名義拉力及相互作用規則須按課程要求使用。

(ii) 控制螺栓（bolt）受力及是否足夠——原卷 10 分

淺白解說（Simple explanation）：為何最上排螺栓拉力最大？

托架想繞假定接觸線，把自己從支承面掀開。

先採用課程模型指定的轉動／接觸線（Pivot / contact line）。
量各排螺栓至該線的距離。
驗算最大拉力（Tension）、直接剪力及共同作用（Interaction）。

注意（Remember）：位於轉動線的螺栓，仍可承受直接剪力。

相關概念與完整方法（Full method）

淺白解說（Simple explanation）：兩項各自通過，還要檢查甚麼？

同一顆螺栓同時做兩份工作，還要看共同作用（Interaction）。

先分別驗算剪力（Shear）及拉力（Tension）。
再計算課程指定的剪拉共同作用式。
用該式自己的界限，不能借用鋼柱的界限。

注意（Remember）：所給螺栓共同作用界限 1.4，不能取代個別剪力及拉力驗算。

相關概念與完整方法（Full method）

M = P e = 350 \times 300 = 105,000 kN \cdot mm

Σ y^{2} = 2 (0^{2} + 70^{2} + 140^{2} + 210^{2} + 280^{2})

= 2 (0 + 4,900 + 19,600 + 44,100 + 78,400) = 294,000 {mm}^{2}

F_{t, \max} = \frac{M y_{\max}}{Σ y^{2}} = \frac{105,000 \times 280}{294,000} = 100 kN

直接剪力：

F_{s} = \frac{P}{n} = \frac{350}{10} = 35 kN

單項抗剪：

35 < 91.875

，通過。單項抗拉：

100 < 109.76

，通過。組合：

\frac{F_{s}}{P_{s}} + \frac{F_{t}}{P_{nom}}

= \frac{35}{91.875} + \frac{100}{109.76}

= 0.380952 + 0.911079 = 1.292031 < 1.4

通過。

此近似模型中，底行沒有彎矩（bending moment）引起的拉力（tensile force），但仍承受 $35 kN$ 剪力（shear force）。因此拉力計算用各行距離平方的總和；直接剪力（direct shear）則只除以 $10$ 。

無撬力的翼緣橫向間距條件：

G \leq 0.55 B = 0.55 \times 309.2 = 170.06 mm

動畫解說（Animation lab）面外螺栓拉力與撬力（Prying）4 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

托架彎矩可在板件接觸處產生壓力，在螺栓列產生拉力。
每列距離須相對原題假定的轉動／受壓線量度。
彈性栓列模型中，較遠受拉列承受較大拉力，並可能同時承受直接剪力。
柔性板件可產生額外撬力；名義拉力及相互作用規則須按課程要求使用。

精簡考試答案（exam answer）

(i) 每顆 M20： $P_{s} = 91.875$ 、 $P_{t} = 137.2$ 、 $P_{nom} = 109.76 kN$ 。(ii) $P = 350$ 、 $e = 300$ 、 $M = 105,000 kN \cdot mm$ ； $Σ y^{2} = 294,000 {mm}^{2}$ ； $F_{t, \max} = 100$ 、 $F_{s} = 35 kN$ 。兩單項限值通過；組合 $1.292031 < 1.4$ 。結論以課程無撬力（prying force）模型為條件；未給橫向間距，不能核實所需 $G \leq 170.06 mm$ 。

應避免的錯誤

數五行，不是六行；頂部 $70$ 是邊緣餘距。
$Σ y^{2}$ 每行計兩顆螺栓（bolt）。
不要把全部 $350 kN$ 加在最上方單顆螺栓（bolt）。
組合比值限值不要用 $1$ 。

處理陌生變式的程序

辨認螺栓（bolt）數目、間距及所採近似轉動線。
計算抗剪及標稱抗拉承載力（tension resistance）。
求 $P e$ 及 $Σ y^{2}$ ，再求頂行拉力（tensile force）。
驗算（check）兩單項內力及 $1.4$ 相互作用（interaction）限值。
說明無撬力（prying force）前提是否確實有題目資料支持。

獨立自我測試

自己試做。自編變式：荷載仍為 $350 kN$ ，偏心距（eccentricity）增至 $350 mm$ 。標稱抗拉驗算（check）通過嗎？

顯示答案及解釋

$F_{t, \max}$ 隨 $e$ 成比例： $\frac{100 \times 350}{300} = 116.666667 kN > 109.76$ ，所以單項抗拉不通過。即使只看組合總和似乎可接受，亦須判為不足；三項螺栓（bolt）條件全部都必須符合。

動畫解說（Animation lab）面外螺栓拉力與撬力（Prying）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

托架彎矩可在板件接觸處產生壓力，在螺栓列產生拉力。
每列距離須相對原題假定的轉動／受壓線量度。
彈性栓列模型中，較遠受拉列承受較大拉力，並可能同時承受直接剪力。
柔性板件可產生額外撬力；名義拉力及相互作用規則須按課程要求使用。