詳解例題

鋼柱（steel column）例題 4：分擔荷載（tributary load）面積及累計柱荷載

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

只按軸力（axial force）設計 S355 內柱 A。屋頂恆載（dead load）／外加荷載（imposed load）強度為 $5$ ／ $1.5 \frac{kN}{m^{2}}$ ；樓面為 $7$ ／ $3 \frac{kN}{m^{2}}$ 。上層高 $4 m$ ，下層高 $4.5 m$ 。基礎固定；樓面樑阻止柱平移，但不限制柱轉動。全部給定恆載已包括樑柱自重（self-weight）。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 32 頁、第 33 頁、第 34 頁、第 35 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	讀取位置
分擔荷載（tributary load）範圍尺寸	平面圖標 $3.8 + 3.8 = 7.6 m$ 及 $3 + 3 = 6 m$ ；用平面面積，不是層高。
豎向尺寸	立面圖：上層 $4 m$ ，下層 $4.5 m$ 。
屋頂／樓面荷載（area load）	由題目文字讀取；兩層採相同平面佈置。
只計軸力（axial force）的範圍	題目明確要求只計軸力（axial force），本練習不另引入偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）。
外加荷載（imposed load）折減	講義第 33 頁採用其引用的 2011 荷載守則樓層數折減表；屋頂計作一層。

計算前：辨認題型與選擇策略

各層面荷載（area load）乘以傳至該柱的面積。上柱段只承受屋頂，下柱段承受屋頂加一樓。只有來源容許的樓層數規則適用時，才折減累計外加荷載（imposed load）。乘分項系數後，逐層獨立設計，因各層荷載、長度及端部條件不同。

1. 由平面斜線區推導分擔荷載（tributary load）面積

淺白解說（Simple explanation）：樓板荷載怎樣走到樑？（Load path）

每條樑收集屬於自己的那條樓板帶所承受的荷載。

按平面圖找分擔寬度（Tributary width）。
面荷載（Area load）× 分擔寬度 = 線荷載（Line load）。
支承另一條樑時，接收的是該樑的端反力（End reaction）。

注意（Remember）：端反力形成集中荷載（Point load），不能直接當作均佈荷載（UDL）。

相關概念與完整方法（Full method）

分擔寬度：

\frac{7.6}{2} + \frac{7.6}{2} = 3.8 + 3.8 = 7.6 m

分擔進深：

\frac{6}{2} + \frac{6}{2} = 3 + 3 = 6 m

A_{trib} = 7.6 \times 6 = 45.6 m^{2}

每個相鄰簡支開間的一半荷載傳至 A 柱。斜線區是荷載分配面積，不是柱的鋼截面面積（cross-sectional area）。屋頂及樓面均用 $45.6 m^{2}$ 。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

2. 讀取來源的樓層數折減

承托樓層數	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	超過 $8$ 層
外加荷載（imposed load）折減	$0 %$	$5 %$	$10 %$	$15 %$	$20 %$	$25 %$	$30 %$	$35 %$	最多 $40 %$

上柱段承托一層屋頂，折減 $0 %$ ；下柱段承托屋頂加一樓，共兩層，折減 $5 %$ 。因此樓面以下保留累計外加荷載（imposed load）的 $95 %$ 。這是本講義例題採用、並註明來自 2011《建築物恆載（dead load）及外加荷載作業守則》（Dead and Imposed Loads Code）的規則；不可自動延伸至不容許折減的用途或題目。恆載不折減。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）3 個概念

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

3. 計算各層特徵及極限荷載（ultimate load）

屋頂：

G = 5 \times 45.6 = 228 kN; Q = 1.5 \times 45.6 = 68.4 kN

一樓新增：

G = 7 \times 45.6 = 319.2 kN; Q = 3 \times 45.6 = 136.8 kN

下層累計：

G = 228 + 319.2 = 547.2 kN

Q = 68.4 + 136.8 = 205.2 kN

上層設計力：

F = 1.4 \times 228 + 1.6 \times 68.4 = 319.2 + 109.44 = 428.64 kN

下層折減外加荷載：

Q = 0.95 \times 205.2 = 194.94 kN

下層設計力：

F = 1.4 \times 547.2 + 1.6 \times 194.94

= 766.08 + 311.904 = 1,077.984 kN

全部自重（self-weight）已包括。下層應由整體累計荷載計算，不要把已乘分項系數／已折減的上層力，再加一個另行折減的樓層力。

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
本示意使用課程重力組合 $1.4 G + 1.6 Q$ ；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
示意取 $G = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ ；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

4. 選擇並驗算（check）上柱段

試選 $152 \times 152 \times 30$ UC。Data File 第 11 頁給出 $T = 9.4 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 8.13$ 、 $\frac{d}{t} = 19.0$ 、 $A = 38.3 {cm}^{2}$ 、 $r_{x} = 6.76 cm$ 、 $r_{y} = 3.83 cm$ 。原講義亦用相同面積 $38.3$ 。 $T \leq 16$ ，故 $p_{y} = 355$ 。兩端位置受約束但可轉動，因此 $K = 1$ ，兩軸均為 $L^{E} = 4,000 mm$ 。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

\frac{b}{T} = 8.13 < 13 ε = 11.4418; \frac{d}{t} = 19.0 < 40 ε = 35.2056

非纖細。

λ_{x} = \frac{4,000}{67.6} = 59.171598

λ_{y} = \frac{4,000}{38.3} = 104.438642

熱軋 H 型鋼厚度

\leq 40 mm

，

x

軸曲線 b、

y

軸曲線 c；

p_{y} = 355

。曲線 b：

58

列為

278

，

60

列為

272 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{59.171598 - 58}{60 - 58} = 0.585799

p_{c} = 278 + 0.585799 \times (272 - 278) = 274.485207 \frac{N}{{mm}^{2}}

曲線 c：

104

列為

133

，

106

列為

129 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{104.438642 - 104}{106 - 104} = 0.219321

p_{c} = 133 + 0.219321 \times (129 - 133) = 132.122715 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{3,830 \times 274.485207}{1,000} = 1051.278343 kN

P_{cy} = \frac{3,830 \times 132.122715}{1,000} = 506.030000 kN

P_{c} = 506.030000 kN > 428.64 kN

足夠。利用率：

\frac{428.64}{506.030000} = 0.847064

來源用捨入的 $p_{c} = 132$ ，所以 $\frac{38.3 \times 132}{10} = 505.56 kN$ ，印為 $505.6$ 。準確內插（interpolation）得 $506.030 kN$ ，兩者均通過。原來略去的強軸（major axis）比較已在上方補出。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）5 個概念 · 13 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

5. 選擇並驗算（check）下柱段

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

試選 $203 \times 203 \times 46$ UC。Data File 第 11 頁給出 $T = 11.0 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 9.25$ 、 $\frac{d}{t} = 22.3$ 、 $A = 58.7 {cm}^{2}$ 、 $r_{x} = 8.82 cm$ 、 $r_{y} = 5.13 cm$ 。翼緣厚度（flange thickness）同樣給出 $p_{y} = 355$ 。柱腳（column base）固定；樓面端位置受約束但可轉動，因此用建議系數 $K = 0.85$ 。

L_{Ex} = L_{Ey} = 0.85 \times 4,500 = 3,825 mm

\frac{b}{T} = 9.25 < 13 ε = 11.4418; \frac{d}{t} = 22.3 < 40 ε = 35.2056

非纖細。

λ_{x} = \frac{3,825}{88.2} = 43.367347

λ_{y} = \frac{3,825}{51.3} = 74.561404

曲線 b，

p_{y} = 355

：

42

列為

314

，

44

列為

310 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{43.367347 - 42}{44 - 42} = 0.683673

p_{c} = 314 + 0.683673 \times (310 - 314) = 311.265306 \frac{N}{{mm}^{2}}

曲線 c，

p_{y} = 355

：

74

列為

205

，

76

列為

200 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{74.561404 - 74}{76 - 74} = 0.280702

p_{c} = 205 + 0.280702 \times (200 - 205) = 203.596491 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{5,870 \times 311.265306}{1,000} = 1827.127347 kN

P_{cy} = \frac{5,870 \times 203.596491}{1,000} = 1195.111404 kN

P_{c} = 1195.111404 kN > 1,077.984 kN

足夠。利用率：

\frac{1,077.984}{1195.111404} = 0.901995

來源把 $p_{c}$ 捨入至 $204$ ，得 $\frac{58.7 \times 204}{10} = 1,197.48 kN$ （印為 $1,197$ ）。準確內插（interpolation）得 $1,195.111 kN$ 。兩個所選柱截面均通過題目要求的純軸壓設計，下柱段弱軸（minor axis）利用率（utilisation ratio）較高。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）5 個概念 · 10 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

精簡考試答案（exam answer）

$A_{trib} = 45.6 m^{2}$ 。屋頂 $G$ ／ $Q$ 為 $228$ ／ $68.4 kN$ ；下層累計為 $547.2$ ／ $205.2 kN$ 。上層極限力 $428.64 kN$ ；下層外加荷載（imposed load）折減 $5 %$ 後為 $1,077.984 kN$ 。上層 $152 \times 152 \times 30$ UC：非纖細、 $L^{E} = 4 m$ 、 $P_{c} = 506.030 kN$ 。下層 $203 \times 203 \times 46$ UC：非纖細、 $L^{E} = 3.825 m$ 、 $P_{c} = 1,195.111 kN$ 。兩者均為 S355、 $p_{y} = 355$ ，由弱軸（minor axis）曲線 c 控制，均足夠。

應避免的錯誤

計算分擔荷載（tributary load）平面面積時，不要用立面層高 $4$ 或 $4.5 m$ 。
下柱段須包括屋頂荷載。
只折減外加荷載（imposed load），並按題意把屋頂計入樓層數。
不要重複加入自重（self-weight）。
固定／鉸接（pinned connection）建議系數 $0.85$ 用於下柱段，不是上柱段。

處理陌生變式的程序

追蹤每個柱段上方的荷載，恆載（dead load）與外加荷載（imposed load）分開保留。
讀取實際層高、截面性質（section properties）及兩軸端部約束。
簡單結構先求標稱偏心（eccentricity）彎矩（bending moment），再按 $\frac{I}{L}$ 分配。
分類截面，計算對應的截面及構件承載力（resistance）。
只採用題目指定的荷載折減及彎矩（bending moment）放大規則。
每層柱段都要驗算（check），報告控制驗算及來源假設（assumption）。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：題目明確禁止外加荷載（imposed load）折減。所選下柱段仍通過嗎？

顯示答案及解釋

下層作用力變為 $1.4 \times 547.2 + 1.6 \times 205.2 = 766.08 + 328.32 = 1,094.4 kN$ 。與 $1,195.111 kN$ 比較，利用率（utilisation ratio） $\approx 0.9157 < 1$ ，仍通過。上柱段不變，因原本就沒有折減。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）2 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。