詳解例題

鋼柱（steel column）例題 3：兩層樓柱的荷載及偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

驗算（check）兩層簡單結構（simple construction）中的 S355 $203 \times 203 \times 60$ UC。下層高 $3 m$ ，上層高 $6 m$ 。用所提供的反力（reaction）表及指定構造假設（assumption），包括鉸接（pinned connection）柱腳（column base）及 $1.15$ 彎矩（bending moment）放大系數。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 25 頁、第 26 頁、第 27 頁、第 28 頁、第 29 頁、第 30 頁、第 31 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

Ch 4 第 25 頁：左方立面標第

1, 2, 3

層。下段層高標為

L_{1} = 3,000 mm

，上段層高標為

L_{2} = 6,000 mm

。右方為各層柱截面及三個樑反力（reaction）；相向的次樑（secondary beam）反力

R_{1 j}

／

R_{3 j}

對稱接入，單側主樑（primary beam）反力

R_{2 j}

作用於柱翼緣（flange），產生標稱強軸（major axis）彎矩（bending moment）；

j

表示所在層號。開啟原尺寸圖片

Ch 4 第 26 頁原反力（reaction）表，列出每項給定特徵荷載（characteristic load）及講師假設（assumption）自重（self-weight）。Load Factors＝荷載分項系數（partial load factor）；Dead Loads＝恆載（dead load）；Imposed Loads＝外加荷載（imposed load）；Unfactored＝未乘分項系數；Factored＝已乘分項系數；Self wt. (assumed)＝假設自重；Total axial load＝累計軸力（axial force）。原圖（source diagram）的荷載分項系數為

γ_{f}

：恆載

1.4

，外加荷載

1.6

。下表逐列重算；請區分原圖的取整表值與本頁保留精度的結果。原圖第 3 層恆載用

34 kN

代替

33.6 kN

，故原圖恆載小計為

28 + 28 + 34 + 28 = 118 kN

，累計恆載為

118 + 154 = 272 kN

；本頁重算值分別為

117.6

及

271.6 kN

。原圖外加荷載小計／累計為

192

、

640

及

832 kN

，與正文相符。原圖下方的

203 \times 203 \times 60

UC 截面性質（section properties）在正文「截面資料」逐項列出；原圖分類步驟為

T = 14.2 < 16 mm

，故

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

（Table 3.2）。正文以查表（table lookup）區間的

\leq 16 mm

表述同一厚度（thickness）選擇；不把小於符號改當成另一個截面厚度。開啟原尺寸圖片

讀圖並整理已知資料（given data）

給定模型	計算含義
柱連續、樑採簡單結構連接	用標稱偏心距（eccentricity）及 $\frac{I}{L}$ 分配彎矩（bending moment）；全部彎矩系數（moment factor）為 $1$ 。
柱腳（column base）有效鉸接（pinned connection）	下柱段的底端沒有轉動固定。第 2 層較強的構件提供來源所假設（assumption）的上端約束。
屋頂次樑（secondary beam）是小型拉繫件	對上柱段弱軸（minor axis）屈曲（buckling），只提供位置約束，不提供轉動約束。
主樑（primary beam）用腹板（web）連接角碼及承托角碼連接	來源採用距柱面外 $100 mm$ 的反力（reaction）作用線。
自重（self-weight）	來源假設（assumption）每層特徵恆載（dead load）自重（self-weight） $20 kN$ ；每層只計一次。
截面資料	Data 第 11 頁： $D = 209.6$ 、 $t = 9.4$ 、 $T = 14.2$ 、 $d = 160.8 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 7.25$ 、 $\frac{d}{t} = 17.1$ 、 $r_{x} = 8.96 cm$ 、 $r_{y} = 5.20 cm$ 、 $A = 76.4 {cm}^{2}$ 、 $S_{x} = 656$ 、 $S_{y} = 305$ 、 $Z_{x} = 584$ 、 $Z_{y} = 201 {cm}^{3}$ 。

計算前：辨認題型與選擇策略

本題有兩項分開計算的工作。軸力（axial force）沿柱向下累加；偏心（eccentricity）反力（reaction）則產生接頭淨彎矩（bending moment），再按 $\frac{I}{L}$ 比例分給上下柱段。大小相等、方向相對的次樑（secondary beam）反力，其偏心彎矩互相抵消，但豎向荷載仍相加。不要把這兩個過程混在一起。本解答（solution）保留算術精度，亦簡短對照來源捨入值。

1. 重算反力（reaction）表每一項及各層總值

層號／反力（reaction）	已知 $G$ （ $kN$ ）	$1.4 G$	已知 $Q$ （ $kN$ ）	$1.6 Q$	極限總值
第 3 層： $R_{13}$	$20$	$28$	$20$	$32$	$60$
第 3 層： $R_{33}$	$20$	$28$	$20$	$32$	$60$
第 3 層： $R_{23}$	$24$	$33.6$	$80$	$128$	$161.6$
第 3 層：假設（assumption）自重（self-weight）	$20$	$28$	$0$	$0$	$28$
第 3 層總值	$84$	$117.6$	$120$	$192$	$309.6$
第 2 層： $R_{12}$	$30$	$42$	$100$	$160$	$202$
第 2 層： $R_{32}$	$30$	$42$	$100$	$160$	$202$
第 2 層： $R_{22}$	$30$	$42$	$200$	$320$	$362$
第 2 層：假設（assumption）自重（self-weight）	$20$	$28$	$0$	$0$	$28$
第 2 層新增總值	$110$	$154$	$400$	$640$	$794$

上柱段

2 - 3

：

F_{c} = 309.6 kN

。下柱段

1 - 2

：

F_{c} = 309.6 + 794 = 1,103.6 kN

。以累計分量核對：

G = 84 + 110 = 194 kN; Q = 120 + 400 = 520 kN

1.4 \times 194 + 1.6 \times 520 = 271.6 + 832 = 1,103.6 kN

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）3 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
本示意使用課程重力組合 $1.4 G + 1.6 Q$ ；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
示意取 $G = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ ；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

2. 強度及截面分類（section classification）

T = 14.2 \leq 16 mm \to p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣：

\frac{b}{T} = 7.25 < 9 ε = 7.92127

，Class 1。下層腹板：

r_{1} = \frac{1,103,600}{160.8 \times 9.4 \times 355} \approx 2.057

採上限

r_{1} = 1

。Class 1 腹板限值：

\frac{80 ε}{1 + r_{1}} = 40 ε = 35.2056

\frac{d}{t} = 17.1 < 35.2056

，腹板為 Class 1。上層軸壓較小，採此相同保守腹板限值亦通過。

下層截面軸壓較大，用它核對此截面最不利的軸壓／彎曲腹板（web）限值已足夠；兩層均使用同一截面幾何。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

3. 計算截面及彈性（elasticity）構件承載力（resistance）

A_{g} = 76.4 \times 100 = 7,640 {mm}^{2}

A_{g} p_{y} = \frac{7,640 \times 355}{1,000} = 2,712.2 kN

M_{cx} = \min (\frac{355 \times 656}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 584}{1,000})

= \min (232.88, 248.784) = 232.88 kN \cdot m

M_{cy} = \min (\frac{355 \times 305}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 201}{1,000})

= \min (108.275, 85.626) = 85.626 kN \cdot m

構件驗算的彈性分母：

M_{ex} = \frac{355 \times 584}{1,000} = 207.32 kN \cdot m

M_{ey} = \frac{355 \times 201}{1,000} = 71.355 kN \cdot m

線性截面相互作用（interaction）式用 $232.88$ 及 $85.626$ ；構件相互作用式用 $207.32$ 及 $71.355$ 。來源把相近的 $M_{c}$ 記號用於不同定義，應保留清楚標示的承載力（resistance）清單。

動畫解說（Animation lab）截面中的壓力與拉力（Bending）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

正彎矩使上翼緣受壓、下翼緣受拉；負彎矩時則相反。
彈性彎曲應力隨離中性軸的距離變化： $σ = \frac{M y}{I}$ 。
截面類別決定可用彈性、塑性還是有效截面性質。
採用正在驗算截面的剪力；其他位置的最大剪力不一定同時出現。

5. 下層截面相互作用（interaction）

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

M_{x, amp} = 1.15 \times 49.4250667 = 56.838827 kN \cdot m

M_{LT} = M_{x, amp}; M_{y} = 0

U_{section} = \frac{1,103.6}{2,712.2} + \frac{56.838827}{232.88} + 0

= 0.650971 < 1

下層截面通過。

若用來源捨入的荷載及彎矩（bending moment）， $\frac{1,104}{2,712.2} + \frac{1.15 \times 49.5}{232.88} \approx 0.6515$ 。兩種精度均與來源約 $0.65$ 的結果一致。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）3 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

6. 下層構件屈曲（buckling）

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

來源假設（assumption）第 2 層對兩軸均提供轉動及位置約束，柱腳（column base）則鉸接（pinned connection）。Table 8.6 建議固定／鉸接系數為 $0.85$ 。應明確採用此假設模型，不能因圖上有柱腳板線，就推斷柱腳固定。

L_{Ex} = L_{Ey} = 0.85 \times 3,000 = 2,550 mm

λ_{x} = \frac{2,550}{89.6} = 28.459821

λ_{y} = \frac{2,550}{52} = 49.038462

熱軋 H 型截面，厚度

\leq 40 mm

、

p_{y} = 355

：

x

軸用曲線 b，

y

軸用曲線 c。曲線 b：

25

列為

342

，

30

列為

335 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{28.459821 - 25}{30 - 25} = 0.691964

p_{c} = 342 + 0.691964 \times (335 - 342) = 337.156250 \frac{N}{{mm}^{2}}

曲線 c：

48

列為

280

，

50

列為

275 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{49.038462 - 48}{50 - 48} = 0.519231

p_{c} = 280 + 0.519231 \times (275 - 280) = 277.403846 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{7,640 \times 337.156250}{1,000} = 2575.873750 kN

P_{cy} = \frac{7,640 \times 277.403846}{1,000} = 2119.365385 kN

P_{c} = P_{cy} = 2119.365385 kN

簡單結構把所有 $m$ 系數設為 $1$ 。抗彎屈曲（buckling）用實際層長 $3,000 mm$ ，不是 $2,550 mm$ ：

λ_{LT} = \frac{0.5 L}{r_{y}} = \frac{0.5 \times 3,000}{52} = 28.846154

Table 8.3a，

p_{y} = 355

：

25

及

30

列均為

355

，故

p_{b} = 355

。

M_{b} = \frac{355 \times 656}{1,000} = 232.88 kN \cdot m

彎曲屈曲相互作用：

\frac{1,103.6}{2119.365385} + \frac{1 \times 56.838827}{207.32} + 0

= 0.794882 < 1

軸力／LTB 相互作用：

\frac{1,103.6}{2119.365385} + \frac{1 \times 56.838827}{232.88} + 0

= 0.764791 < 1

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

7. 上層控制彎矩（bending moment）及截面相互作用（interaction）

屋頂反力：

R_{23} = 1.4 \times 24 + 1.6 \times 80 = 161.6 kN

屋頂標稱彎矩：

M_{3} = 161.6 \times 0.2048 = 33.09568 kN \cdot m

上柱段下端承接的分配彎矩為

24.712533 kN \cdot m

。控制的一階彎矩大小：

\max (33.09568, 24.712533) = 33.09568 kN \cdot m

M_{x, amp} = M_{LT} = 1.15 \times 33.09568 = 38.060032 kN \cdot m

F_{c} = 309.6 kN; M_{y} = 0

U_{section} = \frac{309.6}{2,712.2} + \frac{38.060032}{232.88}

= 0.277583 < 1

上層截面通過。

上層彎矩（bending moment）由屋頂反力（reaction）控制，不能自動把第 2 層分配上來的彎矩當作控制值。來源用 $162 \times 0.205 \approx 33.2$ ，放大後 $38.18 \approx 38.2$ 。它印出的 $0.27$ 來自各利用率（utilisation ratio）項提早捨入；完整算術保留至兩位小數約為 $0.28$ 。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）3 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

8. 上層兩軸屈曲（buckling）

按來源模型，屋頂主樑（primary beam）提供強軸（major axis）轉動約束；小型屋頂次樑（secondary beam）拉繫件在弱方向只限制位置。第 2 層已有約束，講義因此對 $x$ 軸用 $0.70 L$ ，對 $y$ 軸用 $0.85 L$ 。

L_{Ex} = 0.70 \times 6,000 = 4,200 mm; L_{Ey} = 0.85 \times 6,000 = 5,100 mm

λ_{x} = \frac{4,200}{89.6} = 46.875

λ_{y} = \frac{5,100}{52} = 98.076923

曲線 b，

355

欄：

46

列為

306

，

48

列為

302 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{46.875000 - 46}{48 - 46} = 0.437500

p_{c} = 306 + 0.437500 \times (302 - 306) = 304.250000 \frac{N}{{mm}^{2}}

曲線 c，

355

欄：

98

列為

145

，

100

列為

140 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{98.076923 - 98}{100 - 98} = 0.038462

p_{c} = 145 + 0.038462 \times (140 - 145) = 144.807692 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = 7.64 \times 304.250000 = 2324.470000 kN

P_{cy} = 7.64 \times 144.807692 = 1106.330769 kN

弱軸控制。簡單結構：

λ_{LT} = \frac{0.5 \times 6,000}{52} = 57.692308

Table 8.3a，

355

欄：

55

列為

274

，

60

列為

257 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{57.692308 - 55}{60 - 55} = 0.538462

p_{b} = 274 + 0.538462 \times (257 - 274) = 264.846154 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{264.846154 \times 656}{1,000} = 173.739077 kN \cdot m

彎曲屈曲相互作用：

\frac{309.6}{1106.330769} + \frac{38.060032}{207.32}

= 0.463425 < 1

軸力／LTB 相互作用：

\frac{309.6}{1106.330769} + \frac{38.060032}{173.739077}

= 0.498908 < 1

兩層均通過已示範的三項相互作用（interaction）驗算（check）。下層彎曲屈曲（flexural buckling）利用率（utilisation ratio）約 $0.795$ ，是最大值。來源捨入結果約為下層 $0.65$ ／ $0.79$ ／ $0.76$ ，上層 $0.28$ ／ $0.46$ ／ $0.50$ 。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）6 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

精簡考試答案（exam answer）

保留算術精度：上／下層壓力（compressive force） $309.6$ ／ $1,103.6 kN$ 。 $p_{y} = 355$ ，Class 1； $A_{g} p_{y} = 2,712.2 kN$ ；截面承載力（resistance） $232.88$ ／ $85.626 kN \cdot m$ ；彈性（elasticity）值 $207.32$ ／ $71.355$ 。 $e = 204.8 mm$ ；第 2 層彎矩（bending moment） $74.1376 kN \cdot m$ ，分配 $49.4251$ ／ $24.7125$ 。放大後下層彎矩 $56.8388$ ；上層控制值 $38.0600$ 。下層 $P_{c} = 2,119.365 kN$ 、 $M_{b} = 232.88$ ；利用率（utilisation ratio） $0.6510$ ／ $0.7949$ ／ $0.7648$ 。上層 $P_{c} = 1,106.331 kN$ 、 $M_{b} = 173.7391$ ；利用率 $0.2776$ ／ $0.4634$ ／ $0.4989$ 。在指定簡單結構及約束假設（assumption）下，兩層均足夠。

應避免的錯誤

下層軸力（axial force）須累計上面兩層的荷載。
抵消的是相反彎矩（bending moment），不是產生它們的壓力（compressive force）反力（reaction）。
按 $\frac{I}{L}$ 分配彎矩（bending moment），不能平均分，也不能按軸力（axial force）比例分。
$\frac{0.5 L}{r_{y}}$ 用實際層長。
不要把小型屋頂拉繫件當作轉動約束。

處理陌生變式的程序

追蹤每個柱段上方的荷載，恆載（dead load）與外加荷載（imposed load）分開保留。
讀取實際層高、截面性質（section properties）及兩軸端部約束。
簡單結構先求標稱偏心（eccentricity）彎矩（bending moment），再按 $\frac{I}{L}$ 分配。
分類截面，計算對應的截面及構件承載力（resistance）。
只採用題目指定的荷載折減及彎矩（bending moment）放大規則。
每層柱段都要驗算（check），報告控制驗算及來源假設（assumption）。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：只把上層高度由 $6 m$ 改為 $3 m$ ，柱截面及第 2 層彎矩（bending moment） $74.1376 kN \cdot m$ 不變。此接頭彎矩如何分配？

顯示答案及解釋

上下層 $\frac{I}{L}$ 現在相同，各分得 $\frac{74.1376}{2} = 37.0688 kN \cdot m$ 。下層放大後分配彎矩（bending moment）變為 $42.62912 kN \cdot m$ 。這種重新分配不改變累計軸力（axial force）；上層屈曲（buckling）長度及 $\frac{0.5 L}{r_{y}}$ 亦會改變，必須重算，不能沿用原上層承載力（resistance）。

動畫解說（Animation lab）偏心反力與剛度分配（Moment sharing）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

即使樑端採名義鉸接，反力仍可能偏離鋼柱中心。
$M = R e$ 。相反側反力可抵消部分帶正負號彎矩，但兩者仍增加軸向壓力。
課程簡化模型按上下柱的 $\frac{I}{L}$ 比例分配節點彎矩。
相關剛度相同才各分一半；沒有上柱的屋頂節點是另一種情況。

鋼柱（steel column）例題 3：兩層樓柱的荷載及偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

1. 重算反力（reaction）表每一項及各層總值

2. 強度及截面分類（section classification）

3. 計算截面及彈性（elasticity）構件承載力（resistance）

4. 第 2 層標稱偏心距（eccentricity）及按剛度分配彎矩（bending moment）

5. 下層截面相互作用（interaction）

6. 下層構件屈曲（buckling）

7. 上層控制彎矩（bending moment）及截面相互作用（interaction）

8. 上層兩軸屈曲（buckling）

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試