詳解例題

鋼樑（steel beam）例題 4：三個集中荷載（point load）下接近限值的 LTB 驗算（check）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

為跨度（span） $5 m$ 的 S355 簡支樑（simply supported beam）選截面並驗算（check）。樑承受三個特徵集中荷載（point load），每個包括恆載（dead load） $22 kN$ 加外加荷載（imposed load） $12 kN$ ，另有均佈恆載 $2 \frac{kN}{m}$ 。荷載屬正常荷載情況（normal loading）。兩端有抗扭約束，但受壓翼緣（compression flange）可在平面內自由轉動；中間沒有側向約束（lateral restraint）。

原始來源：LectureNotes/Ch 3_Beam.pdf — 第 31 頁、第 32 頁、第 33 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	來源／用途
跨度（span）及荷載位置	由給定尺寸鏈讀取；中央荷載位於 $2.5 m$ 。
側向模型	題目指定正常荷載、端部抗扭約束及平面內自由轉動，故 $L^{E} = L = 5,000 mm$ 。
試算截面	來源性質對應 $457 \times 152 \times 52$ UB： $D = 449.8$ 、 $t = 7.6$ 、 $T = 10.9 mm$ 、 $\frac{b}{T} = 6.99$ 、 $\frac{d}{t} = 53.6$ 、 $r_{y} = 3.11 cm$ 、 $Z_{x} = 950$ 、 $S_{x} = 1,096 {cm}^{3}$ 、 $u = 0.859$ 、 $x = 43.9$ 。
表格來源	Data File 第 9–10 頁對應型鋼列；第 5 頁 Table 8.3a 查強度；第 6 頁查彎矩系數（moment factor）。

計算前：辨認題型與選擇策略

對稱使內力分析簡單，但不會提供側向約束（lateral restraint）。LTB 須驗算（check）整段 $5 m$ 。本題有多個集中荷載（point load）及均佈荷載（uniformly distributed load, UDL），適用通用四分點彎矩系數（moment factor）。結果接近承載力（resistance），要採用實際 $u$ 、 $v$ ，並避免內插（interpolation）時提早捨入。

1. 極限荷載（ultimate load）

每個集中力：

P = 1.4 \times 22 + 1.6 \times 12 = 30.8 + 19.2 = 50 kN

w = 1.4 \times 2 = 2.8 \frac{kN}{m}

總荷載：

3 \times 50 + 2.8 \times 5 = 164 kN

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
本示意使用課程重力組合 $1.4 G + 1.6 Q$ ；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
示意取 $G = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ ；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

2. 反力（reaction）、彎矩（bending moment）及四分點數值

淺白解說（Simple explanation）：反力為何要平衡？（Equilibrium）

想像一塊蹺蹺板：不能跌下，也不能一直轉動。

向上反力（Reactions）總和要平衡向下荷載。
以支承點取矩（Moments），該支承反力便沒有力臂。
力臂（Lever arm）是取矩點至力作用線的垂直距離。

注意（Remember）：側向約束（Lateral restraint）不一定提供豎向支承。

相關概念與完整方法（Full method）

R_{A} = R_{B} = \frac{164}{2} = 82 kN

跨中左側：

V = 82 - 2.8 \times 2.5 - 50 = 25 kN

跨中右側：

V = 25 - 50 = - 25 kN

所以最大彎矩在跨中。

M_{\max} = 82 \times 2.5 - \frac{2.8 \times {2.5}^{2}}{2} - 50 (2.5 - 1)

= 205 - 8.75 - 75 = 121.25 kN \cdot m

在

\frac{1}{4}

跨度，即

x = 1.25 m

：

M_{2} = 82 \times 1.25 - \frac{2.8 \times {1.25}^{2}}{2} - 50 (1.25 - 1)

= 102.5 - 2.1875 - 12.5 = 87.8125 kN \cdot m

M_{3} = 121.25

；由對稱，

M_{4} = 87.8125 kN \cdot m

。

另一側四分點位於 $3.75 m$ 。由荷載對稱，該處彎矩（bending moment）等於 $M_{2}$ ；亦可在自由體中計入其左側兩個荷載直接計算。切面右方的荷載不在左側自由體上貢獻彎矩。

動畫解說（Animation lab）讀取同一段的彎矩形狀（Moment factor）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

彎矩縱座標須屬於同一個有效無側向支承段。
同側彎曲與反曲率彎矩圖有不同的端彎矩比正負號。
標記是此段的 ¼、½、¾ 位置，不一定是整樑的四分點。
側扭屈曲與柱彎曲屈曲係數不同，須保留各自的界限及係數組。

3. 試算截面及截面抗彎承載力（moment resistance）

初步截面模數指引：

S \geq \frac{121.25 \times 10^{6}}{355} = 341,549.3 {mm}^{3} = 341.549 {cm}^{3}

講師選

457 \times 152 \times 52

，其

S_{x} = 1,096 {cm}^{3}

，因 LTB 比屈服更具限制性。

T = 10.9 \leq 16 mm \to p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{c} = \min (\frac{355 \times 1,096}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 950}{1,000})

= \min (389.08, 404.7) = 389.08 kN \cdot m > 121.25

只滿足 $\frac{M}{p_{y}}$ 的小截面未必能通過 LTB。所選截面是經驗算（check）的試算方案，未有證明所有較輕截面均不合格。

動畫解說（Animation lab）截面中的壓力與拉力（Bending）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

正彎矩使上翼緣受壓、下翼緣受拉；負彎矩時則相反。
彈性彎曲應力隨離中性軸的距離變化： $σ = \frac{M y}{I}$ 。
截面類別決定可用彈性、塑性還是有效截面性質。
採用正在驗算截面的剪力；其他位置的最大剪力不一定同時出現。

4. 截面類別（section class）及腹板（web）剪切屈曲（buckling）界限

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

\frac{b}{T} = 6.99 < 9 ε = 7.92127; \frac{d}{t} = 53.6 < 80 ε = 70.4113

為 Class 1。

\frac{d}{t} = 53.6 < 70 ε = 61.6099

不用另行計算腹板剪切屈曲。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）2 個概念 · 1 個原式

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翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

5. 抗剪及低剪力（low shear）彎曲適用性

A_{v} = 7.6 \times 449.8 = 3,418.48 {mm}^{2}

V_{c} = \frac{355 \times 3,418.48}{\sqrt{3} \times 1,000} = 700.649 kN

V_{\max} = 82 kN < 700.649

，抗剪通過。同一跨中截面的剪力

25 kN < 0.6 \times 700.649 = 420.390 kN

，因此上面的低剪力

M_{c}

適用。

動畫解說（Animation lab）觀察腹板剪力（Shear resistance）3 個概念 · 1 個原式

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內部剪力使切口兩側保持垂直平衡。
課程常見工字截面主要由腹板提供剪切面積，但須採指定定義。
較薄腹板可能需要先按另一剪切屈曲程序驗算，不能直接沿用簡式。
在課程適用條件下使用 $V_{c} = \frac{p _{y} A _{v}}{3}$ ；應先把 N 換成 kN，再與設計剪力比較。

6. 用 Table 8.4b 求等效彎矩（bending moment）

淺白解說（Simple explanation）：為何彎矩圖形狀也重要？

最高值相同，但若很長一段都接近最高值，通常更吃力。

只看正在驗算的無側向約束段（Unrestrained segment）。
選課程適用圖示或四分點規則（Quarter-point rule）。
依指定驗算，把相應係數用在彎矩需求上。

注意（Remember）：鋼柱彎曲屈曲（Flexural buckling）係數不能和 LTB 係數互換。

相關概念與完整方法（Full method）

m_{LT} = 0.2 + \frac{0.15 \times 87.8125 + 0.5 \times 121.25 + 0.15 \times 87.8125}{121.25}

= 0.917268 > 0.44

等效彎矩：

m_{LT} M_{\max}

= 0.2 \times 121.25 + 0.3 \times 87.8125 + 0.5 \times 121.25

= 111.21875 kN \cdot m

這個系數只用於構件 LTB，截面仍須承受實際彎矩（bending moment） $121.25 kN \cdot m$ 。

動畫解說（Animation lab）讀取同一段的彎矩形狀（Moment factor）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

彎矩縱座標須屬於同一個有效無側向支承段。
同側彎曲與反曲率彎矩圖有不同的端彎矩比正負號。
標記是此段的 ¼、½、¾ 位置，不一定是整樑的四分點。
側扭屈曲與柱彎曲屈曲係數不同，須保留各自的界限及係數組。

7. 有效長度（effective length）及等效長細比（equivalent slenderness）

淺白解說（Simple explanation）：這一步到底用哪個長度？

側向拉繫可縮短屈曲範圍，但不一定改變樑的豎向跨度。

分開支承跨度（Support span）與側向約束間距（Unbraced length）。
按實際端部約束及荷載，套課程有效長度（Effective length）規則。
豎向支承沒有改變，就保留原有豎向荷載分析。

注意（Remember）：約束某一方向，不代表同時約束另一方向。

相關概念與完整方法（Full method）

L_{E} = 5,000 mm; r_{y} = 3.11 cm = 31.1 mm

λ = \frac{5,000}{31.1} = 160.771704

\frac{λ}{x} = \frac{160.771704}{43.9} = 3.662226

v = {[1 + 0.05 {(3.662226)}^{2}]}^{- 0.25} = 0.879594

u = 0.859; β_{w} = 1

λ_{LT} = 0.859 \times 0.879594 \times 160.771704 \times \sqrt{1} = 121.474465

來源把 $λ$ 捨入至 $160.8$ ，把 $v$ 捨入至 $0.880$ ，得 $121.6$ 。兩種精度都通過，但保留準確值可避免本例微小餘量被捨入影響。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

8. 內插（interpolation）強度並比較

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

Table 8.3a：S355，

p_{y} = 355

欄。

λ_{LT} = 120

時

p_{b} = 104

；

125

時

p_{b} = 97 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

f = \frac{121.474465 - 120}{125 - 120} = 0.294893

p_{b} = 104 + 0.294893 (97 - 104) = 101.935748 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = p_{b} S_{x} = \frac{101.935748 \times 1,096}{1,000} = 111.721580 kN \cdot m

需求

111.218750 <

承載力

111.721580

，LTB 通過。餘量：

111.721580 - 111.218750 = 0.502830 kN \cdot m

約為承載力的

0.45 %

。

講師的捨入方法得 $p_{b} = 101.8$ 、 $M_{b} = 111.6 kN \cdot m$ ，比較需求 $111.2$ ，亦通過。不要宣稱有很大餘量。所示解答（solution）驗算（check）剪力（shear force）、截面彎曲及 LTB；承壓（bearing）尺寸未提供。特徵外加荷載（imposed load）佈置已知，但本例題目未指定飾面限值。要作整體設計全面合格的結論，仍須有這些額外設計條件。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）3 個概念 · 3 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

精簡考試答案（exam answer）

採用 S355 $457 \times 152 \times 52$ UB，Class 1。每個 $P = 50 kN$ ， $w = 2.8 \frac{kN}{m}$ ， $R = 82 kN$ ， $M_{\max} = 121.25 kN \cdot m$ 。 $V_{c} = 700.649 kN$ ， $M_{c} = 389.08 kN \cdot m$ 。 $L^{E} = 5 m$ ； $m^{LT} = 0.917268$ ，需求 $111.21875 kN \cdot m$ 。 $λ = 160.7717$ 、 $v = 0.879594$ 、 $λ^{LT} = 121.4745$ ；內插（interpolation） $p_{b} = 101.93575 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。 $M_{b} = 111.72158 kN \cdot m > 111.21875$ ；LTB 僅以微小餘量通過。

應避免的錯誤

集中荷載（point load）位置不代表有中間側向約束（lateral restraint）。
用四分點 $1.25, 2.5, 3.75 m$ ，不要用荷載位置 $1, 2.5, 4 m$ 。
用 $λ^{LT}$ 查 $p_{b}$ ，不能用 $λ$ 。
不要用捨入把勉強通過說成有充裕餘量。

處理陌生變式的程序

辨認豎向支承、跨度（span）、側向約束（lateral restraint）及各荷載位置。
分開恆載（dead load）及外加荷載（imposed load），建立所需極限狀態（limit state）及正常使用荷載（service load）工況。
從平衡方程（equilibrium equation）求反力（reaction）及最大剪力（shear force）／彎矩（bending moment），並標明單位。
選取截面表（section tables）型號行，確認隨厚度（thickness）而變的強度，並對翼緣（flange）及腹板（web）分類。
驗算（check）剪力（shear force）及彎矩（bending moment）；若只在個別位置設側向約束（lateral restraint），另作分段 LTB 驗算。
完成題目要求的腹板（web）及撓度（deflection）驗算（check），說明控制結果及欠缺資料。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：全部極限荷載（ultimate load）增加 $1 %$ ，幾何及截面不變。LTB 仍能通過嗎？

顯示答案及解釋

彎矩圖（bending moment diagram, BMD）形狀及 $m^{LT}$ 不變，承載力（resistance）仍為 $111.72158 kN \cdot m$ 。需求增至 $111.21875 \times 1.01 = 112.33094 kN \cdot m$ ，超過承載力。雖然截面抗彎及抗剪仍有充裕餘量，樑已不能通過 LTB。

動畫解說（Animation lab）讀取同一段的彎矩形狀（Moment factor）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

彎矩縱座標須屬於同一個有效無側向支承段。
同側彎曲與反曲率彎矩圖有不同的端彎矩比正負號。
標記是此段的 ¼、½、¾ 位置，不一定是整樑的四分點。
側扭屈曲與柱彎曲屈曲係數不同，須保留各自的界限及係數組。