詳解例題

連接例題 7：由基本原理計算矩形焊縫群（weld group）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

一塊側板承受恆載（dead load） $60 kN$ 加外加荷載（imposed load） $90 kN$ 。求焊縫（weld）每單位長度的最大作用力，並選擇角焊縫（fillet weld）尺寸。焊縫沿 $200 mm \times 300 mm$ 矩形的全部四邊佈置；荷載距矩形中心的偏心距（eccentricity）為 $300 mm$ 。鋼材為 S355，焊條為 Class 42。

原始來源：LectureNotes/Ch 2_Connection.pdf — 第 39 頁、第 40 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	數值來源
已知幾何	$b = 200 mm$ ， $h = 300 mm$ ，四邊均有焊縫（weld）。形心（centroid）在寬度／高度的一半，所以角點座標大小為 $x = 100$ 、 $y = 150 mm$ 。
已知荷載力臂（lever arm）	$e = 300 mm$ 由焊縫群（weld group）形心（centroid）量起，不是由右側邊緣量起。
已知材料	S355／Class 42：由 Table 9.2a 查得 $p_{w} = 250 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
假設（assumption）	角焊縫（fillet weld）尺寸一致、板件視為剛體，焊縫（weld）線採彈性（elasticity）分佈，與 Ch 2 第 35–37 頁相同。

計算前：辨認題型與選擇策略

先分開直接剪力（direct shear） $\frac{P}{L}$ 與偏心（eccentricity）力矩（moment of a force） $P e$ 引起的扭轉作用。形心（centroid）及二次矩均按焊縫（weld）線計算；板件內部不承受焊縫作用力。用平行軸定理推導線二次矩，再在右側角點把每單位長度作用力的水平及豎向分量合成；該處的豎向分量會相加。

1. 幾何及已乘分項系數的作用力

L = 2 (b + h) = 2 (200 + 300) = 1,000 mm

P = 1.4 \times 60 + 1.6 \times 90 = 84 + 144 = 228 kN

M = P e = 228 \times 300 = 68,400 kN \cdot mm

r = \sqrt{100^{2} + 150^{2}} = \sqrt{32,500} = 180.278 mm

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原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

2. 推導兩個方向的線二次矩

淺白解說（Simple explanation）：只把焊縫線算作焊縫

想像鐵線圍成的矩形：中間空白不是額外鐵線。

只計圖上真正存在的焊道（Weld runs）。
用焊道總長及線二次矩（Line second moments）。
在控制位置合成直接力與扭轉力。

注意（Remember）：線二次矩單位是 ${mm}^{3}$ ；板面積的二次矩才是 ${mm}^{4}$ 。

相關概念與完整方法（Full method）

繞水平形心（centroid） $x$ 軸：兩條豎向焊縫（weld）各貢獻 $\frac{h^{3}}{12}$ ；兩條水平焊縫各貢獻 $b {(\frac{h}{2})}^{2}$ 。繞豎軸時，把兩者角色對調。

I_{x} = 2 (\frac{300^{3}}{12}) + 2 \times 200 \times 150^{2}

= 4,500,000 + 9,000,000 = 13,500,000 {mm}^{3}

I_{y} = 2 (\frac{200^{3}}{12}) + 2 \times 300 \times 100^{2}

= 1,333,333.333 + 6,000,000 = 7,333,333.333 {mm}^{3}

I_{p} = I_{x} + I_{y} = 20,833,333.333 {mm}^{3}

為甚麼單位是 ${mm}^{3}$ ？焊縫（weld）線的長度（ $mm$ ）乘以距離平方（ ${mm}^{2}$ ），便得此單位。不能代入（substitution）實心矩形板的截面二次矩 $\frac{b h^{3}}{12}$ ；後者單位是 ${mm}^{4}$ 。

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中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

3. 每單位長度的均勻直接剪力（direct shear）

q_{s} = \frac{P}{L} = \frac{228 kN}{1,000 mm} = 0.228 \frac{kN}{mm}

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中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

4. 臨界角點的扭轉分量

q_{T} = \frac{M r}{I_{p}} = \frac{68,400 \times 180.278}{20,833,333.333} = 0.591888 \frac{kN}{mm}

豎向分量：

\frac{M x}{I_{p}} = \frac{68,400 \times 100}{20,833,333.333} = 0.32832 \frac{kN}{mm}

水平分量：

\frac{M y}{I_{p}} = \frac{68,400 \times 150}{20,833,333.333} = 0.49248 \frac{kN}{mm}

來源用 $\cos φ = \frac{100}{r} \approx 0.555$ 表示豎向直接剪力（direct shear）與切向扭轉力之間夾角的餘弦。角點的半徑方向本身並不是作用力方向。

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以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

5. 相加分量，求最大合力（resultant force）

淺白解說（Simple explanation）：先加箭嘴，再算大小（Components）

向東走和向北走，是兩個不同方向。

先定水平、豎向分量的正負號。
同方向分量（Components）各自相加。
互相垂直的兩個總分量，用直角三角形求合力（Resultant）。

注意（Remember）：要找直接力與扭轉分力互相加強的控制角點。

相關概念與完整方法（Full method）

q_{vertical} = 0.228 + 0.32832 = 0.55632 \frac{kN}{mm}

q_{\max} = \sqrt{{0.55632}^{2} + {0.49248}^{2}} = 0.742986 \frac{kN}{mm}

對側焊縫（weld）的豎向分量相減，所以合力（resultant force）較小。右上及右下角點的最大合力大小相同。

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中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

6. 求焊腳尺寸（leg size）並驗算（check）承載力（resistance）

淺白解說（Simple explanation）：為何焊喉比焊腳小？（Weld throat）

穿過焊縫的最短切面，比外側量到的焊腳薄。

題述等腳 90° 角焊縫：喉厚（Throat）約為 0.7 × 焊腳（Leg）。
喉面積乘配對的焊縫設計強度（Weld design strength）。
求每毫米抗力時，想像只取長 1 mm 的小條焊縫。

注意（Remember）：查強度時要同時配對鋼級（Steel grade）與焊條級別（Electrode class）。

相關概念與完整方法（Full method）

s_{required} = \frac{1,000 q_{\max}}{0.7 p_{w}}

= \frac{1,000 \times 0.742986}{0.7 \times 250} = 4.24564 mm

講師選用

s = 6 mm

。

q_{capacity} = \frac{0.7 \times 6 \times 250}{1,000} = 1.05 \frac{kN}{mm} > 0.742986

焊縫強度通過。

來源方法把閉合四邊焊縫（weld）視為完整的線矩形；這與各自終止、須扣減起止端 $2 s$ 的兩側獨立焊縫不同。題目沒有板厚，所以數值強度結果已完成，但不能按 Table 9.1／板邊厚度（thickness）規則確認容許的最小及最大焊腳（weld leg）。 $6 mm$ 是講師的選擇，仍以缺少的細部輸入值符合規則為條件。

動畫解說（Animation lab）從焊腳至有效喉厚（Fillet weld）1 個概念 · 1 個原式

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兩塊垂直鋼板之間的等腳角焊縫，截面近似直角三角形。
此幾何的喉厚 $a \approx 0.7 s$ ，小於焊腳長度。
有效承力面積 = $a \times L_{eff}$ 。本示例 $p_{w} = 220 \frac{N}{mm ^{2}}$ ，每單位長度承載力為 $0.7 s \times 220 \frac{N}{mm}$ 。
須按課程計端部扣減、最小尺寸及長度限制；增加幾何長度不代表所有構造檢查已符合。

精簡考試答案（exam answer）

$P = 228 kN$ ， $e = 300 mm$ ， $L = 1,000 mm$ ， $I_{p, line} = 20.83333 \times 10^{6} {mm}^{3}$ 。 $q_{s} = 0.228$ ；扭轉豎向分量 $0.32832$ 、水平分量 $0.49248 \frac{kN}{mm}$ 。 $q_{\max} = 0.742986 \frac{kN}{mm}$ 。 $s \geq 4.246 mm$ ； $6 mm$ 角焊縫（fillet weld）提供 $1.05 \frac{kN}{mm}$ ，焊縫（weld）強度通過。板厚未提供，因此相關細部仍未核實。

應避免的錯誤

兩個 $300 mm$ 尺寸含義不同：一個是高度，另一個是偏心距（eccentricity）。
使用單位為 ${mm}^{3}$ 的線二次矩，不能用單位為 ${mm}^{4}$ 的實心板截面二次矩。
右側虛線仍屬題目指定的四邊焊縫（weld）。
沒有板厚，不可確認最小／最大焊縫（weld）尺寸已合規。

處理陌生變式的程序

辨認每一條實際焊縫（weld）線及其傳力路徑。
求形心（centroid）、總長度及線二次矩。
由形心（centroid）量度荷載偏心距（eccentricity）。
計算直接及扭轉分量，求臨界合力（resultant force）。
求焊腳尺寸（leg size），另行驗算（check）細部規則。

獨立自我測試

自己試一試。荷載與矩形保持相同，但把荷載線移至通過焊縫（weld）形心（centroid）。只按強度，求所需承載力（resistance）及焊腳尺寸（leg size）。

顯示答案及解釋

$e = 0$ ，所以扭轉消失。 $q = \frac{228}{1,000} = 0.228 \frac{kN}{mm}$ 。只按強度， $s \geq \frac{1,000 \times 0.228}{175} = 1.303 mm$ 。實際焊腳（weld leg）仍受最小尺寸／細部規則控制，不能只憑這個強度結果採用 $1.3 mm$ 。

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中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。