詳解例題

連接例題 4：托架螺栓（bolt）的剪力（shear force）與拉力（tensile force）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

驗算（check）十顆 8.8 級 M16 螺栓（bolt），支承極限托架荷載 $250 kN$ ，偏心距（eccentricity） $200 mm$ 。每側豎向排列五顆，中心間距 $90 mm$ 。鋼材為 S355。

原始來源：LectureNotes/Ch 2_Connection.pdf — 第 27 頁、第 28 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

Chapter 2 第 27 頁：

200 mm

是柱接頭外的荷載力臂（lever arm）。三角形螺栓（bolt）力圖繞最底螺栓線轉動，各距離從該線向上量。原圖（source diagram）對照：Joint＝接頭；Bolts are 90 mm c/c on both sides＝兩側螺栓均為

90 mm

中心間距；Bolt loads＝螺栓受力；Maximum tension＝最大拉力（tensile force）

F_{T}

。圖中其餘拉力依序為

\frac{F_{T} y_{2}}{y_{1}}

、

\frac{F_{T} y_{3}}{y_{1}}

、

\frac{F_{T} y_{4}}{y_{1}}

，

y_{1}

為最上排距離。裁圖下緣的原條件（已對照完整第 27 頁）為：

F_{s} \leq P_{s}

、

F_{T} \leq P_{nom}

，以及

\frac{F_{s}}{P_{s}} + \frac{F_{T}}{P_{nom}} \leq 1.4

。三項須同時滿足；下文分別代入（substitution）剪力（shear force）、拉力及相互作用（interaction）驗算（check）。開啟原尺寸圖片

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	數值來源
已知荷載	$250 kN$ 已是極限荷載（ultimate load）；向下箭嘴位於連接平面外。
已知螺栓（bolt）排列	兩側各五顆，相鄰兩排間距 $90 mm$ ，合共 $10$ 顆。
計算所得各排距離	每側由底部轉動線量起： $0, 90, 180, 270, 360 mm$ 。
查表（table lookup）	M16 的 $A_{s} = 157 {mm}^{2}$ ；8.8 級 $p_{s} = 375$ 、 $p_{t} = 560 \frac{N}{{mm}^{2}}$ （Ch 2 第 3、9–10 頁）。
模型假設（assumption）	按講師近似法，假設（assumption）托架為剛體，拉力（tensile force）相對底部螺栓（bolt）線呈線性分佈；採用標稱抗拉承載力（tension resistance） $0.8 A_{s} p_{t}$ 。

計算前：辨認題型與選擇策略

荷載沿軸線拉扯上部螺栓（bolt），同時所有螺栓均承受豎向剪力（shear force）。使用平面外轉動模型，不是以形心（centroid）為原點的平面內扭轉公式。剪切、拉力（tensile force）及相互作用（interaction）須分別驗算（check）。本題螺栓計算沒有提供足夠完整板件／橫距（gauge）尺寸，不能據此完成整個接頭的撬力（prying force）及承壓（bearing）驗證。

1. 求螺栓（bolt）抗剪及標稱抗拉承載力（tension resistance）

P_{s} = \frac{375 \times 157}{1,000} = 58.875 kN

P_{t} = \frac{560 \times 157}{1,000} = 87.92 kN

P_{nom} = 0.8 \times 87.92 = 70.336 kN

折減 $0.8$ 屬採用簡化模型的一部分。標稱拉力（tensile force）相互作用（interaction）分母不能改用 $87.92$ 。

動畫解說（Animation lab）面外螺栓拉力與撬力（Prying）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

托架彎矩可在板件接觸處產生壓力，在螺栓列產生拉力。
每列距離須相對原題假定的轉動／受壓線量度。
彈性栓列模型中，較遠受拉列承受較大拉力，並可能同時承受直接剪力。
柔性板件可產生額外撬力；名義拉力及相互作用規則須按課程要求使用。

2. 對底排螺栓（bolt）線求距離平方和

兩條豎向螺栓（bolt）列的距離相同。最底排對彎矩（bending moment）抵抗的貢獻為 $0^{2}$ ，但分配直接剪力（direct shear）時仍須計入其螺栓數。

J_{rows} = 2 (0^{2} + 90^{2} + 180^{2} + 270^{2} + 360^{2})

= 2 (0 + 8,100 + 32,400 + 72,900 + 129,600)

= 2 \times 243,000 = 486,000 {mm}^{2}

M = P e = 250 \times 200 = 50,000 kN \cdot mm

動畫解說（Animation lab）面外螺栓拉力與撬力（Prying）1 個概念 · 1 個原式

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托架彎矩可在板件接觸處產生壓力，在螺栓列產生拉力。
每列距離須相對原題假定的轉動／受壓線量度。
彈性栓列模型中，較遠受拉列承受較大拉力，並可能同時承受直接剪力。
柔性板件可產生額外撬力；名義拉力及相互作用規則須按課程要求使用。

3. 最大拉力（tensile force）位於最上排

淺白解說（Simple explanation）：為何最上排螺栓拉力最大？

托架想繞假定接觸線，把自己從支承面掀開。

先採用課程模型指定的轉動／接觸線（Pivot / contact line）。
量各排螺栓至該線的距離。
驗算最大拉力（Tension）、直接剪力及共同作用（Interaction）。

注意（Remember）：位於轉動線的螺栓，仍可承受直接剪力。

相關概念與完整方法（Full method）

拉力（tensile force）與距離 $y$ 成正比。設 $F_{i} = C y_{i}$ ，彎矩（bending moment）平衡給出 $M = C Σ y^{2}$ ，因此 $C = \frac{M}{J}$ 。最上排螺栓（bolt）位於 $y = 360 mm$ ，承受最大拉力。

F_{T, \max} = \frac{50,000 \times 360}{486,000} = 37.037 kN

37.037 < 70.336 kN

，個別拉力驗算通過。

動畫解說（Animation lab）面外螺栓拉力與撬力（Prying）1 個概念 · 5 個原式

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托架彎矩可在板件接觸處產生壓力，在螺栓列產生拉力。
每列距離須相對原題假定的轉動／受壓線量度。
彈性栓列模型中，較遠受拉列承受較大拉力，並可能同時承受直接剪力。
柔性板件可產生額外撬力；名義拉力及相互作用規則須按課程要求使用。

4. 均勻分配的直接剪力（direct shear）

F_{s} = \frac{P}{n} = \frac{250}{10} = 25 kN

25 < 58.875 kN

，個別剪切驗算通過。

動畫解說（Animation lab）數清螺栓剪切面（Shear planes）1 個概念 · 1 個原式

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荷載須跨越被連接鋼板之間的界面。
搭接（lap joint）使每支螺栓有一個剪切面。
對稱雙蓋板接頭可提供兩個剪切面；應數實際傳力界面，不能只數看見的鋼板。
按原教材選螺栓面積及剪切強度，再分別檢查承壓、板件承載力及構造要求。

5. 組合作用與結論

淺白解說（Simple explanation）：兩項各自通過，還要檢查甚麼？

同一顆螺栓同時做兩份工作，還要看共同作用（Interaction）。

先分別驗算剪力（Shear）及拉力（Tension）。
再計算課程指定的剪拉共同作用式。
用該式自己的界限，不能借用鋼柱的界限。

注意（Remember）：所給螺栓共同作用界限 1.4，不能取代個別剪力及拉力驗算。

相關概念與完整方法（Full method）

\frac{F_{s}}{P_{s}} + \frac{F_{T}}{P_{nom}}

= \frac{25}{58.875} + \frac{37.037}{70.336}

= 0.424628 + 0.526573 = 0.951201 \leq 1.4

通過。

在講師近似模型下，螺栓（bolt）滿足全部三項已計算的剪力（shear force）／拉力（tensile force）條件，這就是題目要求的螺栓結果。板厚、承壓（bearing）邊緣細部及翼緣（flange）螺栓橫距（gauge）資料不足，無法確認所有其他接頭極限狀態（limit state）；不可宣稱那些項目已驗算（check）。

動畫解說（Animation lab）面外螺栓拉力與撬力（Prying）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

托架彎矩可在板件接觸處產生壓力，在螺栓列產生拉力。
每列距離須相對原題假定的轉動／受壓線量度。
彈性栓列模型中，較遠受拉列承受較大拉力，並可能同時承受直接剪力。
柔性板件可產生額外撬力；名義拉力及相互作用規則須按課程要求使用。

精簡考試答案（exam answer）

$P_{s} = 58.875 kN$ ， $P_{nom} = 70.336 kN$ 。對底部螺栓（bolt）線， $Σ y^{2} = 486,000 {mm}^{2}$ 。 $F_{T, \max} = \frac{250 \times 200 \times 360}{486,000} = 37.037 kN$ ， $F_{s} = 25 kN$ 。個別上限通過，相互作用（interaction） $= 0.9512 < 1.4$ 。螺栓在指定近似剪力（shear force）／拉力（tensile force）模型下合格。

應避免的錯誤

不要把 $250 kN$ 再乘分項系數。
此模型繞底部轉動，不要從螺栓群（bolt group）形心（centroid）量 $y$ 。
分配直接剪力（direct shear）時，不要漏掉底部螺栓（bolt）。
通過 $1.4$ 相互作用（interaction）限值，不能代替個別剪切／拉力（tensile force）上限。

處理陌生變式的程序

辨認平面外轉動及指定支點。
列出所有 $y$ 距離，把每顆實際螺栓（bolt）都計入 $Σ y^{2}$ 。
計算最大拉力（tensile force）及均勻直接剪力（direct shear）。
先驗算（check）每項個別承載力（resistance），再驗算相互作用（interaction）。
說明模型及欠缺的板件／撬力（prying force）資料。

獨立自我測試

自己試一試。把同一荷載移至偏心距（eccentricity） $400 mm$ ，現有螺栓群（bolt group）仍合格嗎？

顯示答案及解釋

拉力（tensile force）加倍至 $74.074 kN$ ，超過 $70.336$ 。相互作用（interaction）變為 $\frac{25}{58.875} + \frac{74.074}{70.336} \approx 1.478 > 1.4$ 。拉力及相互作用均不合格，剪力（shear force）仍為 $25 kN$ 。

動畫解說（Animation lab）面外螺栓拉力與撬力（Prying）2 個概念 · 1 個原式

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托架彎矩可在板件接觸處產生壓力，在螺栓列產生拉力。
每列距離須相對原題假定的轉動／受壓線量度。
彈性栓列模型中，較遠受拉列承受較大拉力，並可能同時承受直接剪力。
柔性板件可產生額外撬力；名義拉力及相互作用規則須按課程要求使用。