詳解例題

連接例題 3：板平面內的偏心（eccentricity）螺栓群（bolt group）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

驗算（check） 8.8 級 M24 螺栓群（bolt group），承受恆載（dead load） $100 kN$ 加外加荷載（imposed load） $130 kN$ ，偏心距（eccentricity） $525 mm$ 。鋼材為 S355，使用講師的單側板荷載模型。

原始來源：LectureNotes/Ch 2_Connection.pdf — 第 25 頁、第 26 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

Chapter 2 第 25 頁：兩列螺栓（bolt）相距

500 mm

，每列六顆、縱距（pitch）

70 mm

，五個間距共

350 mm

。形心（centroid）在兩列中央及中間兩排之間。原圖（source diagram）對照：Dead load＝恆載，Imposed load＝外加荷載；side plate＝側板；all bolts 24 mm dia＝全部螺栓直徑

24 mm

；“Loads are on bolt shown on one plate” 說明荷載對應圖示一側板。右上角螺栓標為 A；斜線

305.16

是圖示形心至 A 的距離，下面用完整計算精度求值。兩列外側的水平邊距（edge distance）各標

57.9 mm

；它們不是上、下端的

45 mm

端距（end distance），也不是荷載偏心距（eccentricity）。下方平面圖標示兩支

254 \times 254 \times 89

UC；這個構件數目不改變題目明示的一側板荷載模型。開啟原尺寸圖片

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	數值來源
已知荷載／模型	恆載（dead load） $100 kN$ 加外加荷載（imposed load） $130 kN$ 。圖說明螺栓（bolt）荷載對應一側板，不可再把指定力除以二。
已知 $e$	上方尺寸 $525 mm$ 是由螺栓群（bolt group）虛線中心線至豎向荷載作用線的水平距離。
座標	兩個 $250$ 尺寸給出 $x = \pm 250 mm$ 。按 $70 mm$ 縱距（pitch）及對稱六排排列，得 $y = \pm 35, \pm 105, \pm 175 mm$ 。
厚度（thickness）與端距（end distance）	側板厚 $15 mm$ ；第 26 頁給出 UC 翼緣（flange）厚 $17.3 mm$ ，所以 $t_{p} = 15$ 。豎向端距（end distance） $45 mm$ ，縱距（pitch） $70$ ，孔徑（hole diameter） $26 mm$ 。
查表（table lookup）	M24 的 $A_{s} = 353 {mm}^{2}$ ； $p_{s} = 375$ 、 $p_{bb} = 1,000$ 、 $p_{bs} = 550$ 、 $U_{s} = 510$ 、 $U_{b} = 800 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。

計算前：辨認題型與選擇策略

荷載使板件在自身平面內轉動，因此每顆螺栓（bolt）承受均勻直接剪力（direct shear）加切向扭轉剪力（shear force）。這不是螺栓受拉題。使用以形心（centroid）為原點的座標，對全部 $12$ 顆螺栓把距離平方相加，再把扭轉力分解為分量，才與直接剪力相加。最右側角位的豎向扭轉力，與直接剪力方向相同。

1. 計算設計荷載（design load）及彎矩（bending moment）

P = 1.4 \times 100 + 1.6 \times 130 = 140 + 208 = 348 kN

M = P e = 348 kN \times 525 mm = 182,700 kN \cdot mm = 182.7 kN \cdot m

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
本示意使用課程重力組合 $1.4 G + 1.6 Q$ ；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
示意取 $G = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ ；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

2. 螺栓群（bolt group）極座標平方和及角位半徑

淺白解說（Simple explanation）：偏心力＝直推，再加扭轉

施力線沒有經過中心，除了推動，也會想把整組轉動。

求直接剪力及繞螺栓組形心（Centroid）的力矩。
扭轉分力（Torsional force）沿切線；離中心較遠的螺栓分力較大。
先分別加水平、豎向分量，再求合力（Resultant）。

注意（Remember）：不同方向的力，不能只把兩個大小直接相加。

相關概念與完整方法（Full method）

每顆貢獻 $x^{2} + y^{2}$ 。共有 $12$ 個相同的 $| x |$ 值；每個絕對高度 $35$ 、 $105$ 、 $175 mm$ 都有四顆螺栓（bolt），即左右兩側乘以上下兩個正負位置。

Σ x^{2} = 12 \times 250^{2} = 12 \times 62,500 = 750,000 {mm}^{2}

Σ y^{2} = 4 (35^{2} + 105^{2} + 175^{2})

= 4 (1,225 + 11,025 + 30,625) = 171,500 {mm}^{2}

J = 750,000 + 171,500 = 921,500 {mm}^{2}

r_{A} = \sqrt{250^{2} + 175^{2}} = \sqrt{93,125} = 305.164 mm

\cos φ = \frac{250}{305.164} = 0.819232

動畫解說（Animation lab）合併直接力與扭轉力（Eccentric bolts）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

以螺栓群形心為原點，為各螺栓指定帶正負號的座標。
等剛度螺栓的彈性模型中，每支螺栓直接力為 $\frac{P}{n}$ 。
彎矩大小為 $P e$ ，正負號由荷載方向決定。採帶正負號的 M： $F_{x} = \frac{- M y}{J}$ 、 $F_{y} = \frac{M x}{J}$ 、 $J = \sum r^{2}$ 。
先在每支螺栓合併有正負號的 x、y 分量，再計合力；示意中最長箭頭表示最不利螺栓。

3. 直接力、扭轉力及最大合力（resultant force）

淺白解說（Simple explanation）：先加箭嘴，再算大小（Components）

向東走和向北走，是兩個不同方向。

先定水平、豎向分量的正負號。
同方向分量（Components）各自相加。
互相垂直的兩個總分量，用直角三角形求合力（Resultant）。

注意（Remember）：要找直接力與扭轉分力互相加強的控制角點。

相關概念與完整方法（Full method）

每顆螺栓的直接剪力：

F_{s} = \frac{P}{12} = \frac{348}{12} = 29 kN

F_{T, A} = \frac{M r}{J} = \frac{182,700 \times 305.164}{921,500} = 60.503 kN

扭轉力豎向分量：

\frac{M \times 250}{J} = 49.566 kN

扭轉力水平分量：

\frac{M \times 175}{J} = 34.696 kN

F_{R, A} = \sqrt{{(29 + 49.566)}^{2} + {34.696}^{2}} = 85.886 kN

$\frac{M r}{J}$ 的單位是 $\frac{(kN \cdot mm) \times mm}{{mm}^{2}} = kN$ 。右側頂角及底角的合力（resultant force）大小相同。其他排的水平扭轉分量較小；左列的豎向扭轉分量抵消部分直接剪力（direct shear），因此較不危險。

動畫解說（Animation lab）合併直接力與扭轉力（Eccentric bolts）1 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

以螺栓群形心為原點，為各螺栓指定帶正負號的座標。
等剛度螺栓的彈性模型中，每支螺栓直接力為 $\frac{P}{n}$ 。
彎矩大小為 $P e$ ，正負號由荷載方向決定。採帶正負號的 M： $F_{x} = \frac{- M y}{J}$ 、 $F_{y} = \frac{M x}{J}$ 、 $J = \sum r^{2}$ 。
先在每支螺栓合併有正負號的 x、y 分量，再計合力；示意中最長箭頭表示最不利螺栓。

4. 與螺栓（bolt）單剪（single shear）承載力（resistance）比較

P_{s} = \frac{375 \times 353}{1,000} = 132.375 kN > 85.886 kN

通過。

來源驗算（check）的是側板的一個剪切界面。平面圖畫出兩側板，不代表可以保留一側的荷載模型，卻把承載力（resistance）加倍。

動畫解說（Animation lab）數清螺栓剪切面（Shear planes）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載須跨越被連接鋼板之間的界面。
搭接（lap joint）使每支螺栓有一個剪切面。
對稱雙蓋板接頭可提供兩個剪切面；應數實際傳力界面，不能只數看見的鋼板。
按原教材選螺栓面積及剪切強度，再分別檢查承壓、板件承載力及構造要求。

5. 以同一合力（resultant force）驗算（check）螺栓（bolt）承壓（bearing）

t_{p} = \min (15, 17.3) = 15 mm

P_{bb} = \frac{24 \times 15 \times 1,000}{1,000} = 360 kN > 85.886 kN

通過。

動畫解說（Animation lab）承壓與剩餘韌帶（Bearing / tear-out）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載藉螺栓與連接板孔壁的接觸傳遞。
孔周鋼板承受局部承壓應力；螺栓承壓與鋼板承壓須分開驗算。
較短韌帶可能向端部撕裂；荷載方向決定應檢查哪一邊。
對每層板件計算所有指定承壓及韌帶限值，採用最小的適用承載力。

6. 連接板承載力（resistance）界限與結論

淺白解說（Simple explanation）：螺栓夠強，板仍可能壞

強螺栓也可能把較弱的孔邊壓壞或撕開。

螺栓與各連接板的承壓（Bearing）界限都要檢查。
承壓用標稱螺栓直徑；扣孔材料用孔徑（Hole diameter）。
適用抗力中最小的一項控制。

注意（Remember）：端距（End distance）太短時，即使抗剪通過，接頭仍可能不合格。

相關概念與完整方法（Full method）

l_{c} = 70 - 26 = 44 mm

B_{1} = \frac{1 \times 24 \times 15 \times 550}{1,000} = 198 kN

B_{2} = \frac{0.5 \times 1 \times 45 \times 15 \times 550}{1,000} = 185.625 kN

孔間淨距項：

\frac{1.5 \times 44 \times 15 \times 510}{1,000} = 504.9 kN

上限：

\frac{2 \times 24 \times 15 \times 800}{1,000} = 576 kN

P_{bs} = \min (198, 185.625, 504.9, 576) = 185.625 kN > 85.886

通過。

對課程指定的連接驗算（check），每顆臨界螺栓（bolt）由單剪（single shear）承載力（resistance） $132.375 kN$ 控制；比值 $\frac{85.886}{132.375} \approx 0.649$ 。 $132.375 kN$ 不是整個接頭可承受的總外力，它要與臨界螺栓受力比較。

動畫解說（Animation lab）承壓與剩餘韌帶（Bearing / tear-out）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載藉螺栓與連接板孔壁的接觸傳遞。
孔周鋼板承受局部承壓應力；螺栓承壓與鋼板承壓須分開驗算。
較短韌帶可能向端部撕裂；荷載方向決定應檢查哪一邊。
對每層板件計算所有指定承壓及韌帶限值，採用最小的適用承載力。

精簡考試答案（exam answer）

$P = 348 kN$ ， $M = 182.7 kN \cdot m$ 。 $J = 921,500 {mm}^{2}$ ， $r = 305.164 mm$ 。 $F_{s} = 29 kN$ ， $F_{T} = 60.503 kN$ ， $F_{R, \max} = 85.886 kN$ 。每顆承載力（resistance）：剪切 $132.375 kN$ ，螺栓（bolt）承壓（bearing） $360 kN$ ，板件承壓 $185.625 kN$ 。全部高於合力（resultant force），題目要求的驗算（check）通過。

應避免的錯誤

不要把 $\frac{P}{12}$ 當作完整螺栓（bolt）荷載需求。
螺栓群（bolt group）幾何平方和的單位是 ${mm}^{2}$ ，與焊縫（weld）線慣性矩（second moment of area）的 ${mm}^{3}$ 不同。
偏心距（eccentricity） $525 mm$ 從螺栓群（bolt group）形心（centroid）量起，不是從右列螺栓（bolt）量起。
要把力的分量相加； $F_{s} + F_{T}$ 並非實際合力（resultant force）。

處理陌生變式的程序

找出形心（centroid），列出每顆螺栓（bolt）的座標。
計算已乘分項系數的 $P$ 、相對形心（centroid）的偏心距（eccentricity） $e$ 及 $M$ 。
把全部 $r^{2}$ 相加，並把 $\frac{M r}{J}$ 分解為分量。
找出扭轉力與直接剪力（direct shear）同向相加的角位。
以該合力（resultant force）比較剪切及所有承壓（bearing）界限。

獨立自我測試

自己試一試。幾何不變，兩項特徵荷載（characteristic load）均增加 $20 %$ ，臨界螺栓（bolt）力如何改變？

顯示答案及解釋

$P$ 與 $M$ 均乘 $1.2$ ，每個直接／扭轉分量也一樣。因此 $F_{R} = 1.2 \times 85.886 = 103.063 kN$ ，仍低於 $132.375 kN$ 。承載力（resistance）不變。

動畫解說（Animation lab）合併直接力與扭轉力（Eccentric bolts）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

以螺栓群形心為原點，為各螺栓指定帶正負號的座標。
等剛度螺栓的彈性模型中，每支螺栓直接力為 $\frac{P}{n}$ 。
彎矩大小為 $P e$ ，正負號由荷載方向決定。採帶正負號的 M： $F_{x} = \frac{- M y}{J}$ 、 $F_{y} = \frac{M x}{J}$ 、 $J = \sum r^{2}$ 。
先在每支螺栓合併有正負號的 x、y 分量，再計合力；示意中最長箭頭表示最不利螺栓。