詳解例題

連接例題 1：螺栓連接（bolted connection）的單根不等邊角鋼（angle section）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

驗算（check）一根 S355、 $80 \times 60 \times 8 mm$ 角鋼（angle section），長肢以題目指定的兩顆 8.8 級 M20 螺栓（bolt）連至 $10 mm$ 鋼板。恆載（dead load）拉力（tensile force） $75 kN$ ，外加拉力 $40 kN$ 。驗算螺栓受剪、螺栓／板件承壓（bearing），以及角鋼受拉。

原始來源：LectureNotes/Ch 2_Connection.pdf — 第 16 頁、第 17 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	數值與確切來源
已知荷載	題目文字給出恆載（dead load） $75 kN$ 及外加荷載（imposed load） $40 kN$ ；向下箭嘴表示合成後拉力（tensile force）方向。
已知幾何	長肢 $80 mm$ ，短肢 $60 mm$ ， $t = 8 mm$ 。圖中分拆尺寸 $76$ 及 $56$ ，把根部厚度（thickness）的一半分配給每一肢。
已知緊固件	文字指定兩顆 8.8 級 M20 螺栓（bolt）；標準孔徑（hole diameter） $22 mm$ ，縱距（pitch） $50 mm$ ，端距（end distance） $45 mm$ 。
已知板件／模型	支承鋼板厚 $10 mm$ ；題目明確指定只有一個剪切面（shear plane）。
查表（table lookup）	Ch 2 第 3 頁：M20 拉應力（stress）面積 $A_{s} = 245 {mm}^{2}$ 。Ch 2 第 9–10 頁：8.8 級 $p_{s} = 375$ 、 $p_{bb} = 1,000$ 、 $U_{b} = 800 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。S355： $p_{bs} = 550$ 、 $U_{s} = 510$ 、 $K_{e} = 1.1$ 。Data File 第 1 頁，厚度（thickness） $\leq 16 mm$ ： $p_{y} = 355$ 。

計算前：辨認題型與選擇策略

這是經角鋼（angle section）一肢連接的同心（concentric）受拉題。荷載穿過角鋼與板之間的界面時使螺栓（bolt）受剪，壓向孔壁時形成承壓（bearing），而在角鋼內仍是拉力（tensile force）。先求已乘分項系數的力，依次驗算（check）各緊固件破壞模式（failure mode），再驗算折減後的角鋼抗拉承載力（tension resistance）。所需基礎：應力（stress）乘面積等於力；淨面積須扣孔；單肢連接須使用指定的未連接角肢折減。

1. 把特徵荷載（characteristic load）轉成一個設計力

$P$ 是 ULS 拉力（tensile force）需求，單位 $kN$ 。所給是特徵荷載（characteristic load），尚未是極限荷載（ultimate load），所以課程重力荷載分項系數（partial load factor）只乘一次。

P = 1.4 G + 1.6 Q = 1.4 \times 75 + 1.6 \times 40 = 105 + 64 = 169 kN

每顆螺栓的荷載需求：

\frac{P}{n} = \frac{169}{2} = 84.5 kN

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
本示意使用課程重力組合 $1.4 G + 1.6 Q$ ；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
示意取 $G = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ ；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

2. 驗算（check）單一界面的螺栓（bolt）剪切

淺白解說（Simple explanation）：螺栓在哪裏被剪？（Bolt shear）

板件交界面像剪刀，想橫向剪過螺栓。

數實際傳力的剪切面（Shear planes），不只數畫了幾塊板。
按該剪切面選光身或螺紋面積（Shank / threaded area）。
螺栓組抗力要與這一組實際傳遞的力比較。

注意（Remember）：拼接（Splice）兩側的螺栓，不是全部並排共同承受同一半荷載。

相關概念與完整方法（Full method）

因為沒有保證剪切面（shear plane）避開螺紋（thread）， $A_{s}$ 應採拉應力（stress）面積。角鋼（angle section）肢與支承板之間只有一個界面，因此沒有雙剪（double shear）所用的乘 $2$ 系數。

P_{s, one} = \frac{p_{s} A_{s}}{1,000} = \frac{375 \frac{N}{{mm}^{2}} \times 245 {mm}^{2}}{1,000} = 91.875 kN

P_{s, group} = 2 \times 91.875 = 183.750 kN > 169 kN

通過。

動畫解說（Animation lab）數清螺栓剪切面（Shear planes）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載須跨越被連接鋼板之間的界面。
搭接（lap joint）使每支螺栓有一個剪切面。
對稱雙蓋板接頭可提供兩個剪切面；應數實際傳力界面，不能只數看見的鋼板。
按原教材選螺栓面積及剪切強度，再分別檢查承壓、板件承載力及構造要求。

3. 驗算（check）螺栓（bolt）承壓（bearing）

淺白解說（Simple explanation）：螺栓夠強，板仍可能壞

強螺栓也可能把較弱的孔邊壓壞或撕開。

螺栓與各連接板的承壓（Bearing）界限都要檢查。
承壓用標稱螺栓直徑；扣孔材料用孔徑（Hole diameter）。
適用抗力中最小的一項控制。

注意（Remember）：端距（End distance）太短時，即使抗剪通過，接頭仍可能不合格。

相關概念與完整方法（Full method）

採用較薄連接厚度（thickness） $t_{p} = \min (8, 10) = 8 mm$ ，由角鋼（angle section）肢控制。 $d = 20 mm$ 是螺栓（bolt）直徑，不是 $22 mm$ 孔徑（hole diameter）。

P_{bb, one} = \frac{d t_{p} p_{bb}}{1,000} = \frac{20 \times 8 \times 1,000}{1,000} = 160 kN

螺栓群承載力：

2 \times 160 = 320 kN > 169 kN

通過。

動畫解說（Animation lab）承壓與剩餘韌帶（Bearing / tear-out）1 個概念 · 3 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載藉螺栓與連接板孔壁的接觸傳遞。
孔周鋼板承受局部承壓應力；螺栓承壓與鋼板承壓須分開驗算。
較短韌帶可能向端部撕裂；荷載方向決定應檢查哪一邊。
對每層板件計算所有指定承壓及韌帶限值，採用最小的適用承載力。

4. 驗算（check）角鋼（angle section）肢承壓（bearing）及孔間淨距

$50 mm$ 是沿拉力（tensile force）方向、由中心量至中心的縱距（pitch）。扣除一個完整孔徑（hole diameter），才得到孔邊之間的淨距 $l_{c}$ 。 $45 mm$ 則是由端部量至最近螺栓（bolt）中心的端距（end distance）。

l_{c} = 50 - 22 = 28 mm; e = 45 mm; k_{bs} = 1

B_{1} = \frac{1 \times 20 \times 8 \times 550}{1,000} = 88 kN

B_{2} = \frac{0.5 \times 1 \times 45 \times 8 \times 550}{1,000} = 99 kN

孔間淨距項：

\frac{1.5 \times 28 \times 8 \times 510}{1,000} = 171.36 kN

上限：

\frac{2 \times 20 \times 8 \times 800}{1,000} = 256 kN

B_{3} = \min (171.36, 256) = 171.36 kN

P_{bs, one} = \min (88, 99, 171.36) = 88 kN

兩顆合計：

2 \times 88 = 176 kN > 169 kN

通過。

板件承壓（bearing）比螺栓（bolt）剪切更接近限值，利用率（utilisation ratio）為 $\frac{169}{176} = 0.9602$ 。因此，較大的螺栓承壓值 $320 kN$ 不能當作控制接頭的承載力（resistance）。

動畫解說（Animation lab）承壓與剩餘韌帶（Bearing / tear-out）1 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載藉螺栓與連接板孔壁的接觸傳遞。
孔周鋼板承受局部承壓應力；螺栓承壓與鋼板承壓須分開驗算。
較短韌帶可能向端部撕裂；荷載方向決定應檢查哪一邊。
對每層板件計算所有指定承壓及韌帶限值，採用最小的適用承載力。

5. 求角鋼（angle section）有效面積（effective area）及單肢連接折減

淺白解說（Simple explanation）：只接一條角鋼肢，為何要折減？

拉力先進入連接肢，另一條肢要經角鋼本身才接收到力。

從圖找連接肢（Connected leg）與外伸肢（Outstanding leg）。
分清螺栓或焊接，選對角鋼（Angle）公式。
角位重疊面積的計法要與講義一致。

注意（Remember）：螺栓（Bolted）與焊接（Welded）的折減式不能混用。

相關概念與完整方法（Full method）

使用講師的矩形角肢面積近似法。根部平均分配：連接肢寬 $80 - \frac{8}{2} = 76 mm$ ，未連接肢寬 $60 - \frac{8}{2} = 56 mm$ 。橫向斷裂線只穿過一個孔，不是穿過沿構件排列的兩顆螺栓（bolt）。每一肢分別使用 $K_{e}$ ，並各自以本身毛面積為上限。

a_{g 1} = 76 \times 8 = 608 {mm}^{2}; a_{2} = a_{g 2} = 56 \times 8 = 448 {mm}^{2}

A_{g} = 608 + 448 = 1,056 {mm}^{2}

a_{n 1} = (76 - 22) \times 8 = 54 \times 8 = 432 {mm}^{2}

a_{n 2} = 448 {mm}^{2}

外伸角肢沒有孔。

a_{e 1} = \min (1.1 \times 432, 608) = 475.2 {mm}^{2}

a_{e 2} = \min (1.1 \times 448, 448) = \min (492.8, 448) = 448 {mm}^{2}

A_{e} = 475.2 + 448 = 923.2 {mm}^{2}

P_{t} = \frac{p_{y} (A_{e} - 0.5 a_{2})}{1,000}

= \frac{355 \times (923.2 - 0.5 \times 448)}{1,000}

= \frac{355 \times 699.2}{1,000} = 248.216 kN > 169 kN

通過。

系數 $0.5$ 專用於經一肢以螺栓連接（bolted connection）的單角鋼（Ch 2 第 14 頁），並非所有受拉構件（tension member）的通用折減系數。

動畫解說（Animation lab）角鋼連接肢的影響（Shear lag）1 個概念 · 3 個原式

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查表前先找連接肢、外伸肢及形心位置。
緊固件的力首先傳入被連接的一肢。
外伸肢在同一截面不一定全部同樣有效，因此需要有效面積規則。
螺栓、焊接、單角鋼及雙角鋼的規則可能不同，須保留原題對應公式。

6. 說明控制結果及驗算（check）範圍

在題目要求的承載力（resistance）驗算（check）中，最小值為板件承壓（bearing） $176 kN$ ，高於 $169 kN$ 。角鋼（angle section）受拉也通過。單位一致：應力（stress）乘 ${mm}^{2}$ 先得到 $N$ ，再除以 $1,000$ 。

縱距（pitch） $50 mm$ 等於 $2.5 \times 20 = 50 mm$ ，並小於 $\min (12 \times 8, 150) = 96 mm$ 。端距（end distance） $45 mm$ 超過所提供兩種 M20 最小值（ $34$ 或 $26 mm$ ）。本例的橫向邊距（edge distance）沒有完整標明，因此這些觀察不能證明整個佈置已獲全面驗證。

動畫解說（Animation lab）跟隨計算程序（Calculation sequence）5 個概念 · 2 個原式

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找出荷載、支承、連接幾何及題目明示的假設。
分清已知值、查表值及計算值，並統一單位。
原式播放器按原有次序逐步顯示計算式。
比較需求與承載力或相關限值；明確保留缺少資料及條件式結論。

精簡考試答案（exam answer）

$P = 169 kN$ 。兩顆螺栓（bolt）、單剪（single shear）： $P_{s} = 183.75 kN$ ；螺栓承壓（bearing） $= 320 kN$ ；角鋼（angle section）承壓 $= \min (176, 198, 342.72) = 176 kN$ 。 $A_{e} = 923.2 {mm}^{2}$ ；單角鋼 $P_{t} = \frac{355 (923.2 - 0.5 \times 448)}{1,000} = 248.22 kN$ 。所有要求的承載力（resistance）均大於荷載需求，由板件承壓控制；按題目指定兩顆螺栓模型。

應避免的錯誤

不要因剪切面（shear plane）而乘二；題目指定為單剪（single shear）。
扣孔使用 $22 mm$ ，承壓（bearing）使用 $20 mm$ 。
未連接角肢毛面積乘 $1.1$ 後，不能省略毛面積上限。
不要因原圖（source diagram）不一致，便默默把文字的兩顆螺栓（bolt）改成四顆。

處理陌生變式的程序

讀取文字指定的螺栓（bolt）數及界面幾何，處理兩者的任何差異。
對特徵荷載（characteristic load）乘分項系數，並把同心（concentric）荷載分配給螺栓（bolt）。
驗算（check）剪切、螺栓（bolt）承壓（bearing）及所有連接板承載力（resistance）界限。
計算各肢毛面積、淨面積及有效面積（effective area），並採用正確的單／雙角鋼（angle section）連接折減。
把每條完整傳力路徑與同一荷載需求比較，指出控制項。

獨立自我測試

自己試一試。幾何不變，把外加荷載（imposed load）提高至 $50 kN$ 。接頭仍能通過上述強度驗算（check）嗎？

提示（hint）

只須重算荷載需求；幾何及材料不變，承載力（resistance）也不變。

顯示答案及解釋

新 $P = 1.4 \times 75 + 1.6 \times 50 = 185 kN$ 。板件承壓（bearing） $176 kN$ 及螺栓（bolt）抗剪 $183.75 kN$ 均不足；角鋼（angle section）受拉仍通過。只加強角鋼，不能補救緊固件傳力路徑的不足。

動畫解說（Animation lab）數清螺栓剪切面（Shear planes）4 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載須跨越被連接鋼板之間的界面。
搭接（lap joint）使每支螺栓有一個剪切面。
對稱雙蓋板接頭可提供兩個剪切面；應數實際傳力界面，不能只數看見的鋼板。
按原教材選螺栓面積及剪切強度，再分別檢查承壓、板件承載力及構造要求。