詳解例題

Assignment 2 Q3：分類、防護、組合截面及二階分析

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

回答全部四部分理論題：描述四種截面類別（section class）；畫兩種 UB 防火保護方法；畫圖並辨認兩種組合截面；以草圖解釋 HK2011 二階彈性（elasticity） $P - Δ$ ／ $P - δ$ 分析方法。

原始來源：Assignment/AY2627s 1-CON4334-Assignment 2.pdf — 第 2 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

已知範圍為題目指定的四個理論主題，並以 HK Steel Code 2011 課程版本為依據。沒有可供計算的設計溫度、耐火時間、荷載、剛度或位移數值。答案應辨認機制並為草圖加註，不可補猜產品厚度（thickness）或耐火等級。

計算前：辨認題型與選擇策略

理論答案須把每個術語與物理機制及設計影響配對。草圖應看得出區別：分類的轉動能力、鋼材外的防護層、組合截面的組成鋼板，以及二階效應（second-order effects）的兩種不同位移。原防火圖標示 Solid Casing、Hollow Casing、Profile Casing，依次是實心包覆、空心包覆及沿輪廓包覆。以下板材及噴塗例子，是對空心／沿輪廓形狀的材料實施方式作教學說明；材料名稱是教學註解，不是原圖（source diagram）印出的文字。

(a) 描述 Class 1–4

淺白解說（Simple explanation）：薄板會先起皺（Local buckling）

整根鋼構件尚未發揮預期承載力，薄板部分可能已先起皺。

分別按定義算翼緣（Flange）及腹板（Web）的寬厚比。
把各比值與適用截面類別（Section class）界限比較。
較不利板件決定整個截面的類別。

注意（Remember）：彎曲（Bending）與均勻受壓（Uniform compression）的界限不同。

相關概念與完整方法（Full method）

截面類別（Class）	彎曲時的行為	考試答案（exam answer）關鍵語句
1 塑性（plastic）	截面達到全塑性（plasticity）承載力（resistance）後，在局部屈曲（local buckling）前仍有足夠塑性轉動能力。	塑性（plasticity）彎矩（bending moment）及塑性鉸轉動能力。
2 緊密（compact）	截面可達塑性（plasticity）承載力（resistance），但轉動能力不足以支持完全發展塑性鉸／彎矩（bending moment）重分配的假設（assumption）。	塑性（plasticity）彎矩（bending moment），轉動有限。
3 半緊密（semi-compact）	最外緣纖維達屈服（yielding）；局部屈曲（local buckling）使截面無法完成全塑性（plasticity）應力（stress）重分配。	彈性（elasticity）初始屈服（yielding）承載力（resistance） $p_{y} Z$ 。
4 纖細（slender）	毛截面達屈服（yielding）承載力（resistance）前已發生局部屈曲（local buckling）。	須採有效截面／局部屈曲（local buckling）處理。

最不利的相關受壓板件控制整體類別。分類取決於寬厚比（width-to-thickness ratio）、透過 $ε$ 反映的材料強度，以及應力（stress）分佈；這與整條構件是否會側向扭轉屈曲（lateral-torsional buckling, LTB）是不同問題。Class 1／2 採課程有上限的塑性（plasticity）式 $\min (p_{y} S, 1.2 p_{y} Z)$ ；不要漏掉上限。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）1 個概念

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

(b) 畫兩種防火保護方法

Ch 1 第 3 頁原防火保護截面；辨認包圍 UB 的層。由左至右：Solid Casing＝實心包覆；Hollow Casing＝空心包覆；Profile Casing＝沿輪廓包覆。中圖的矩形外殼與鋼截面之間有空間；右圖保護層貼近外露 I 形輪廓。開啟原尺寸圖片

應畫的方法	標示及解釋
防火板包覆（board encasement）	在矩形防火板外殼內畫鋼 I 形截面。標示 UB、防火板、板接縫／固定件及包圍的空間。外殼延緩熱量傳到鋼材。
噴塗防火保護（sprayed protection）	沿外露 I 形輪廓畫一層：包括翼緣（flange）頂面／底面、腹板（web）兩面及翼緣邊。標示 UB 及噴塗隔熱防火層。它延緩鋼材外露表面的升溫。

解釋為何需要保護：高溫會降低鋼材強度與剛度，使平常足夠的構件可能失去承載力（resistance）或穩定性。只畫未標示的矩形，無法區分防火板系統與混凝土包覆。未給所需耐火等級、經測試系統或厚度（thickness），不可虛構塗層厚度或「兩小時」耐火等級。

動畫解說（Animation lab）看清防火包覆（Fire protection）1 個概念

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼材升溫後強度下降；防火保護用以延緩熱量傳入截面。
實心包覆填滿工字截面周圍的包覆範圍。
空心包覆在截面外圍形成外殼，內部保留空間。
隨形包覆沿截面輪廓設置；原圖未提供的防火厚度及耐火時間不可由示意圖推定。

(c) 畫圖並辨認兩種組合截面

Ch 1 第 5 頁原組合截面例子，將不同鋼板／零件組成一個截面。由左至右：Plate Girder＝板樑；Built-up Column＝組合柱；Box Girder＝箱樑；Box Column＝箱形柱。細線區分組成鋼板，圖上未給製作尺寸。開啟原尺寸圖片

截面	草圖必須顯示的內容
焊接 I 形截面／板樑（plate girder）	兩塊水平翼緣（flange）板之間有一塊豎向腹板（web）。標示腹板與各翼緣的縱向焊縫（weld），分別標出每塊板；組裝的 I 形不是單一熱軋（hot-rolled）成品。
焊接箱形截面（welded box section）	四面鋼板形成封閉矩形，角部有縱向焊縫（weld）。標示上下翼緣（flange）板及兩側腹板（web），並畫出中空內部。

組合截面（built-up section）是把零件接合，以取得所需形狀或尺寸。I 形截面的翼緣（flange）主要提供抗彎能力，腹板（web）主要承受剪力（shear force）；箱形的封閉形狀亦提供扭轉剛度（torsional stiffness）。這些是定性功能，不能代替強度／屈曲（buckling）驗算（check）。只畫熱軋（hot-rolled） UB，沒有零件分界或焊縫（weld），便不能說明組合截面。

動畫解說（Animation lab）截面幾何與軸向（Section properties）1 個概念

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣（flange）是兩塊寬板，腹板（web）把它們連起來；旋轉模型可看清位置。
同一截面沿兩個主軸的剛度及承載力不同。
I 控制彈性彎曲； $Z = \frac{I}{y _{max}}$ 是彈性截面模數；塑性模數 S 由塑性應力區塊求得。
名義截面標記不等於所有實際尺寸；須同時核對表列、軸向及單位。

(d) 二階彈性（elasticity） $P - Δ$ 及 $P - δ$ 分析

淺白解說（Simple explanation）：移動後，多了一個力臂（二階效應）

受壓構件一旦側移，同一壓力便會產生額外彎矩。

P–Δ 是整體框架／樓層側移（Global sway）。
P–δ 是相對構件端點連線的局部彎曲（Member bow）。
只放大方法指定的一階彎矩（First-order moments）。

注意（Remember）：題目已給放大彎矩（Amplified moment）時，不可再乘一次。

相關概念與完整方法（Full method）

Ch 1 第 11 頁，受壓框架的側移及構件彎曲。虛線／曲線表示變形，不是額外支承。 — Ch 1 第 11 頁，受壓框架的側移（sway）及構件彎曲。虛線／曲線表示變形，不是額外支承。 $P$ 是壓力（compressive force）； $Δ$ 是整體側移， $δ$ 是構件局部彎曲位移； $h$ 是圖示柱高， $L_{e}$ 是圖示有效長度（effective length）（原圖（source diagram）為小寫下標 $e$ ）。不要把兩種位移當成角度。開啟原尺寸圖片

用淡線畫原來直框架，較深線畫變形後框架。在頂部標壓縮荷載 $P$ 、整體水平層間位移 $Δ$ ，以及相對於位移後構件弦線的局部彎曲 $δ$ 。 $Δ$ 與 $δ$ 是長度，不是角度，也不是同一運動的兩個名稱。

整體附加彎矩：

Δ M_{global} = P Δ

局部附加彎矩：

Δ M_{member} = P δ

若

P

以

kN

計，

Δ

或

δ

以

m

計，乘積便為

kN \cdot m

。

在包含相關框架／構件初始缺陷（initial imperfection）的彈性（elasticity）結構模型上施加指定荷載。
認清必須在位移後幾何形狀上滿足平衡：軸力（axial force）通過 $Δ$ 及 $δ$ 產生附加彎矩（bending moment）。
以二階分析計入整體側移（sway）及構件局部彎曲效應；或在適用框架分類範圍內，採課程容許的等效放大方法。
按所得設計內力重新驗算（check）構件強度及穩定性。「彈性（elasticity）」描述材料分析，並不保證幾何效應可以忽略。

課程按彈性（elasticity）臨界荷載敏感程度，區分無側移（non-sway）、有側移（sway）及超敏感（ultra-sensitive）框架。不能單靠省略二階項來證明超敏感框架合適。在課程無側移例子中，即使整體側移效應可視為可忽略，仍可能須作局部 $P - δ$ 放大。

自己試做。自編數值示例： $P = 1,000 kN$ 、整體 $Δ = 8 mm$ 、局部 $δ = 3 mm$ 。兩者各產生多少附加彎矩（bending moment）？

顯示答案及解釋

轉為米： $0.008$ 及 $0.003$ 。 $P Δ = 1,000 \times 0.008 = 8 kN \cdot m$ $P δ = 1,000 \times 0.003 = 3 kN \cdot m$ 不要在每個截面盲目相加；各自位置、方向及分析模型決定它們如何產生影響。

動畫解說（Animation lab）分清 P–Δ 與 P–δ（二階效應）1 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

虛線表示框架原位置；軸向壓力向下作用。
整體側移 Δ 令軸力產生附加彎矩 PΔ。
局部彎曲 δ 是相對於變形後兩端連線的偏移，並產生 Pδ。
遵從原題分析方法；不可再放大已放大的彎矩，亦不可混淆臨界荷載係數與構件細長比。

動畫解說（Animation lab）分清 P–Δ 與 P–δ（二階效應）1 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

虛線表示框架原位置；軸向壓力向下作用。
整體側移 Δ 令軸力產生附加彎矩 PΔ。
局部彎曲 δ 是相對於變形後兩端連線的偏移，並產生 Pδ。
遵從原題分析方法；不可再放大已放大的彎矩，亦不可混淆臨界荷載係數與構件細長比。

精簡考試答案（exam answer）

(a) Class 1：塑性（plasticity）彎矩（bending moment）加轉動能力；Class 2：塑性彎矩但轉動有限；Class 3：彈性（elasticity）屈服（yielding）；Class 4：毛截面屈服前局部屈曲（local buckling）。(b) 畫並標示防火板包覆及沿輪廓噴塗保護。(c) 畫並標示焊接 I 形板樑及四板焊接箱形，包括焊縫（weld）。(d) 畫整體 $Δ$ 及局部 $δ$ ；二階彈性分析在位移後幾何形狀上滿足平衡，並計入相關初始缺陷（initial imperfection）及軸力（axial force）引起的附加彎矩 $P Δ$ ／ $P δ$ 。

應避免的錯誤

不要把 Class 2 與 Class 3 的承載力（resistance）描述對調。
不要虛構保護層厚度（thickness）或耐火等級。
不要把普通熱軋（hot-rolled） UB 稱為組合板樑。
不要混淆材料非線性與幾何二階效應（second-order effects）。

處理陌生變式的程序

辨認術語並解釋其物理意思。
畫出足以區分該概念的必要草圖特徵。
標示零件、座標軸或位移。
說明對承載力（resistance）／分析的影響。
沒有來源輸入資料時，避免加入數值設計結論。

獨立自我測試

自己試做。自編應用題：有支撐框架的層間側移（sway）幾乎為零，但受壓構件（compression member）有明顯彎曲。能否把兩種二階效應（second-order effects）都忽略？

顯示答案及解釋

不能。整體 $Δ$ 小，不代表局部 $δ$ 可忽略。壓力（compressive force）通過構件彎曲位移可產生局部 $P - δ$ 彎矩（bending moment）。應按課程無側移（sway）構件放大方法，或適當二階程序處理。

Assignment 2 Q3：分類、防護、組合截面及二階分析

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

(a) 描述 Class 1–4

(b) 畫兩種防火保護方法

(c) 畫圖並辨認兩種組合截面

(d) 二階彈性（elasticity） P–ΔP–Δ 及 P–δP–δ 分析

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試

(d) 二階彈性（elasticity） $P - Δ$ 及 $P - δ$ 分析