詳解例題

Assignment 2 Q2：偏離跨中（midspan）的集中力處設中間約束

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

對 S355 $356 \times 171 \times 67$ UB，假定 Class 1，求支承反力（support reaction）並繪製附註剪力圖（shear force diagram, SFD）／彎矩圖（bending moment diagram, BMD）。極限集中力 $P = 60 kN$ 作用在距 A $5 m$ 處，全長 $8 m$ 另有 $4 \frac{kN}{m}$ 均布荷載（uniformly distributed load, UDL）。以準確的 $u$ 及 $v$ 驗算（check） AB 段側向扭轉屈曲（LTB），並討論移除 B 約束的影響。

原始來源：Assignment/AY2627s 1-CON4334-Assignment 2.pdf — 第 2 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，準確選取 $356 \times 171 \times 67$ UB 列。第 9 頁列尺寸，第 10 頁列截面性質（section properties）。 $D$ 是總高； $d$ 是兩根部圓角（root radius）之間的腹板淨高（clear web depth），不是截面名稱的標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 363.4$ 、腹板（web） $t = 9.1$ 、翼緣（flange） $T = 15.7$ 、根部 $r = 10.2$ 、淨高 $d = 311.6$ ，全部以 $mm$ 計。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 5.52$ ； $\frac{d}{t} = 34.2$ 。
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 19460 {cm}^{4} = 1.946 \times 10^{8} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 1071 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 1211 {cm}^{3}$ 。
LTB 所需性質	$r_{y} = 3.99 cm = 39.9 mm$ ； $u = 0.886$ ；扭轉指數 $x = 24.4$ 。

計算前：辨認題型與選擇策略

豎向平衡（vertical equilibrium）按一條 $8 m$ 簡支樑（simply supported beam）求解；側向穩定則分較短樑段驗算（check）。兩個模型須分清： $5 m$ 是 AB 的穩定驗算長度，不是承受豎向荷載的 $5 m$ 簡支跨度（span）。

(a) 支承反力（support reaction）

淺白解說（Simple explanation）：反力為何要平衡？（Equilibrium）

想像一塊蹺蹺板：不能跌下，也不能一直轉動。

向上反力（Reactions）總和要平衡向下荷載。
以支承點取矩（Moments），該支承反力便沒有力臂。
力臂（Lever arm）是取矩點至力作用線的垂直距離。

注意（Remember）：側向約束（Lateral restraint）不一定提供豎向支承。

相關概念與完整方法（Full method）

總向下力：

4 \times 8 + 60 = 92 kN

均布荷載合力

32 kN

作用在距 A

4 m

處。繞 A 取矩：

8 R_{C} = 32 \times 4 + 60 \times 5 = 128 + 300 = 428

R_{C} = \frac{428}{8} = 53.5 kN

R_{A} = 92 - 53.5 = 38.5 kN

繞 C 核對：

38.5 \times 8 = 32 \times 4 + 60 \times 3 = 308 kN \cdot m

動畫解說（Animation lab）反力與彎矩平衡（Equilibrium）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

本示意為 6 m 簡支樑及 60 kN 集中荷載，並非原題的荷載圖。
$R_{B} \times L = P \times a$ 。荷載越靠近 B， $R_{B}$ 越大。
$R_{A} = P - R_{B}$ 。兩個向上反力的總和必須等於 P。
荷載在跨中時， $R_{A} = R_{B} = 30 kN$ ；端彎矩、均布荷載及懸臂段均須加入各自的平衡項。

(b) 附註剪力圖（shear force diagram, SFD）及彎矩圖（bending moment diagram, BMD）

x

從 A 起以米計；下垂彎矩（sagging）為正。

0 \leq x \leq 5

時：

V = 38.5 - 4 x kN

M = 38.5 x - 2 x^{2} kN \cdot m

5 \leq x \leq 8

時：

V = 38.5 - 4 x - 60 kN

M = 38.5 x - 2 x^{2} - 60 (x - 5) kN \cdot m

剪力端值：

V (A^{+}) = 38.5

V (B^{-}) = 18.5

V (B^{+}) = - 41.5

V (C^{-}) = - 53.5 kN

彎矩端值：

M (A) = 0

M (B) = 38.5 \times 5 - 2 \times 25 = 142.5 kN \cdot m

M (C) = 0

剪力在 B 變號，故該處最大

M = 142.5 kN \cdot m

。

由計算繪製的剪力及彎矩圖，標示支承及荷載位置的縱座標；正值向上。所有數值均在計算過程重列。 — 這是按計算繪製的教學圖，不是原始來源圖片。位置以 $m$ 計； $V$ 以 $kN$ 計； $M$ 以 $kN \cdot m$ 計。開啟原尺寸圖片。

剪力圖（shear force diagram, SFD）在兩段均以每米 $4 kN$ 向下傾斜，B 處跳躍 $60 kN$ 。彎矩圖（bending moment diagram, BMD）在荷載作用點之間呈拋物線，B 處斜率（slope）改變；沒有外加集中力偶，所以彎矩（bending moment）沒有跳躍。

動畫解說（Animation lab）建立剪力及彎矩圖（SFD / BMD）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意為 6 m 簡支樑承受 60 kN 集中荷載；先平衡反力，再切開截面。
在集中荷載之前， $V = R_{A}$ 、 $M = R_{A} x$ ，彎矩沿長度線性增加。
剪力向下跳 P；右側 $V = R_{A} - P$ ， $M = R_{A} x - P (x - a)$ 。
本例彎矩連續，並在 B 點回到零；若施加集中力偶，彎矩圖則會出現跳躍。

(c) 以準確參數驗算（check） AB 側向扭轉屈曲（lateral-torsional buckling, LTB）

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

S355，翼緣

T = 15.7 mm

，故

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣：

\frac{b}{T} = 5.52 < 9 ε = 7.921268

彎曲腹板：

\frac{d}{t} = 34.2 < 80 ε = 70.411267

兩者均為 Class 1，故

β_{W} = 1

，可採塑性抗彎。

\frac{d}{t} = 34.2 < 70 ε = 61.609858

按課程限值，不必另作剪切屈曲計算。

在 $5 m$ 的 AB 段內，四等分點距 A 分別為 $1.25, 2.5, 3.75 m$ 。B 集中力作用在該段端部，其影響已反映於 $R_{A}$ 及最大彎矩（maximum bending moment）。

M_{2} = 38.5 \times 1.25 - 2 \times {1.25}^{2} = 45 kN \cdot m

M_{3} = 38.5 \times 2.5 - 2 \times {2.5}^{2} = 83.75 kN \cdot m

M_{4} = 38.5 \times 3.75 - 2 \times {3.75}^{2} = 116.25 kN \cdot m

m_{LT} = 0.2 + \frac{0.15 \times 45 + 0.5 \times 83.75 + 0.15 \times 116.25}{142.5}

= 0.663596 > 0.44

等效需求為

94.562500 kN \cdot m

。

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{5000}{39.9} = 125.313283

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{125.313283}{24.4})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.810370

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.886 \times 0.810370 \times 125.313283 \times 1 = 89.973415

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 355$ 欄：

85

列為

175

；

90

列為

162 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{89.973415 - 85}{90 - 85} = 0.994683

p_{b} = 175 + 0.994683 \times (162 - 175) = 162.069120 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{162.069120 \times 1211}{1,000} = 196.265704 kN \cdot m

等效均勻彎矩需求：

m_{LT} M_{\max} = 94.562500 kN \cdot m

使用率：

\frac{94.562500}{196.265704} = 0.481809

通過。

在上述正常荷載／ $L_{E} = 5 m$ 假設（assumption）下，AB 通過。 $u = 0.886$ 取自此準確 UB 列； $v$ 由計算求得，不是假設為 $1$ 。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）5 個概念 · 8 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

(d) 移除 B 改變穩定性，但不改變豎向內力

淺白解說（Simple explanation）：支承不會自動阻止所有移動

托住尺子，不代表同時阻止它側移或扭轉。

分開辨認豎向支承、側向約束（Lateral restraint）及抗扭約束（Torsional restraint）。
按各段彎矩找出受壓翼緣（Compression flange）。
只計入題目實際提供的約束。

注意（Remember）：多一個側向約束，不等於多一個豎向反力。

相關概念與完整方法（Full method）

若 B 不再有有效側向約束（lateral restraint），無約束段便變成 A 至 C 全長 $8 m$ 。集中力仍在 $5 m$ 處，所以支承反力（support reaction）及豎向剪力（shear force）／彎矩圖（bending moment diagram, BMD）不變。較長 $L_{E}$ 增加細長比（slenderness ratio），降低屈曲（buckling）承載力（resistance）。

全跨四等分點：

x = 2, 4, 6 m

。

M (2) = 38.5 \times 2 - 2 \times 2^{2} = 69 kN \cdot m

M (4) = 38.5 \times 4 - 2 \times 4^{2} = 122 kN \cdot m

M (6) = 38.5 \times 6 - 2 \times 6^{2} - 60 \times 1 = 99 kN \cdot m

m_{LT} = 0.2 + \frac{0.15 \times 69 + 0.5 \times 122 + 0.15 \times 99}{142.5} = 0.804912

新等效需求為

114.700000 kN \cdot m

。

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{8000}{39.9} = 200.501253

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{200.501253}{24.4})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.691395

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.886 \times 0.691395 \times 200.501253 \times 1 = 122.822299

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 355$ 欄：

120

列為

104

；

125

列為

97 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{122.822299 - 120}{125 - 120} = 0.564460

p_{b} = 104 + 0.564460 \times (97 - 104) = 100.048781 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{100.048781 \times 1211}{1,000} = 121.159074 kN \cdot m

等效均勻彎矩需求：

m_{LT} M_{\max} = 114.700000 kN \cdot m

使用率：

\frac{114.700000}{121.159074} = 0.946689

通過。

在相同 $L_{E}$ 等於實際長度（actual length）／正常荷載假設（assumption）下，構件數值上仍勉強通過，但穩定裕度大幅降低。不能說移除約束必定不通過；正確說法是必須重新驗算（check）。其他鋼樑（steel beam）驗算不在本題要求的 LTB 計算範圍內。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）5 個概念 · 5 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

精簡考試答案（exam answer）

$R_{A} = 38.5$ 、 $R_{C} = 53.5 kN$ 。剪力（shear force）值 $+ 38.5, + 18.5, - 41.5, - 53.5$ ；彎矩（bending moment）值 $0, 142.5, 0$ 。AB： $λ = 125.313283$ 、 $v = 0.810370$ 、 $λ_{LT} = 89.973415$ 、 $p_{b} = 162.069120$ 、 $M_{b} = 196.265704 kN \cdot m$ ；需求 $94.5625$ ，通過。移除 B： $λ = 200.501253$ 、 $λ_{LT} = 122.822299$ 、 $M_{b} = 121.159074 kN \cdot m$ ；全跨需求 $114.7$ ，仍勉強通過。這些 LTB 結果假設（assumption）正常荷載且 $L_{E}$ 等於約束間距。

應避免的錯誤

不要把 B 當作豎向支承。
AB 段不要採全跨的四等分位置。
計算彎矩（bending moment）值時，不要漏掉均布荷載（uniformly distributed load, UDL）。
移除約束後，未重新計算便不可聲稱不通過。

處理陌生變式的程序

先求解原來的豎向受力系統。
另外標示側向約束（lateral restraint）位置。
找每段最大彎矩（maximum bending moment）及該段局部四等分點彎矩（bending moment）。
讀取 $u$ 、 $x$ 、 $r_{y}$ 並計算 $v$ ，不要過早取整。
移除約束時，同時改算有效長度（effective length）及彎矩系數（moment factor）。

獨立自我測試

自己試做。自編變式：移除 B 約束後，全部極限荷載（ultimate load）增加 $5 %$ 。全跨 LTB 仍通過嗎？

顯示答案及解釋

仍勉強通過。需求變為 $1.05 \times 114.7 = 120.435 kN \cdot m$ ，低於 $121.159074$ 。若增加 $6 %$ ，需求 $121.582 kN \cdot m$ 大於 $121.159074$ ，便不通過。最大等比例增幅 $\approx \frac{121.159074}{114.7} - 1 = 5.6313 %$ 。比較採原截面及已說明的穩定假設（assumption）。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）2 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。