詳解例題

Tutorial 4 Q5：相對反力（reaction）及平均分配彎矩（bending moment）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

驗算（check）簡單結構樓面節點下方 S355 $254 \times 254 \times 89$ UC。有效長度（effective length） $5.1 m$ ，實際柱高 $6 m$ ；上下柱剛度相等。所列荷載均為一階極限值：中心 $1,200 kN$ ； $F_{x 1} = 150 kN$ 在左方 $220 mm$ ， $F_{x 2} = 100 kN$ 在右方 $110 mm$ ；平面圖中 $F_{y 1} = 180 kN$ 在上方 $230 mm$ ， $F_{y 2} = 300 kN$ 在下方 $270 mm$ 。放大系數 $1.15$ 。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 41 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

查表（table lookup）：Data File 第 11 頁，準確選取 $254 \times 254 \times 89$ UC 列。分開讀尺寸／局部寬厚比（width-to-thickness ratio）表及截面性質（section properties）表。圖中 $x - x$ 軸水平穿腹板（web）， $y - y$ 軸垂直穿其中央。

截面性質（section properties）	數值與單位
翼緣（flange）／腹板厚度（web thickness）／兩根部之間的腹板（web）淨深度	$T = 17.3 mm$ 、 $t = 10.3 mm$ 、 $d = 200.3 mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 7.41$ 、 $\frac{d}{t} = 19.4$ 。
迴轉半徑（radius of gyration）（由 $cm$ 換算）	$r_{x} = 11.2 \times 10 = 112 mm$ ； $r_{y} = 6.55 \times 10 = 65.5 mm$ 。
面積（Area）	$A = 113 {cm}^{2} = 11300 {mm}^{2}$ 。
彈性截面模數（elastic section modulus）	$Z_{x} = 1096 {cm}^{3}$ ； $Z_{y} = 379 {cm}^{3}$ 。
塑性截面模數（plastic section modulus）	$S_{x} = 1224 {cm}^{3}$ ； $S_{y} = 575 {cm}^{3}$ 。
LTB 參數	$u = 0.85$ 、 $x = 14.5$ ，兩者均無量綱（dimension）。

計算前：辨認題型與選擇策略

樓面節點須分開處理兩種平衡：下柱承受全部向下荷載；淨彎矩（bending moment）按給定相等剛度，由上下柱平均分擔。軸壓用有效長度（effective length） $5.1 m$ ；簡單結構特別 LTB 式用實際柱高 $6 m$ 。

1. 合計軸壓及相反方向彎矩（bending moment）

F_{lower} = 1,200 + 150 + 100 + 180 + 300 = 1,930 kN

節點淨彎矩大小：

| M_{x, joint} | = \frac{| 300 \times 270 - 180 \times 230 |}{1,000}

= \frac{| 81,000 - 41,400 |}{1,000} = 39.6 kN \cdot m

| M_{y, joint} | = \frac{| 150 \times 220 - 100 \times 110 |}{1,000}

= \frac{| 33,000 - 11,000 |}{1,000} = 22 kN \cdot m

題文把中央 $1,200 kN$ 描述為上方傳來的軸力（axial force），已包括自重（self-weight）；不要再加自重。下柱承受全部 $1,930 kN$ ，不是把該力的一半分給上柱。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

3. 截面相互作用（interaction）

在同一截面，壓力（compressive force）及彎矩（bending moment）共用材料承載能力。使用已放大彎矩，以及受上限限制的塑性（plasticity）抗彎承載力（moment resistance）。總和不得超過 $1$ ；以下各項均無量綱（dimension）。

A_{g} p_{y} = \frac{113 \times 100 \times 345}{1,000} = 3898.5 kN

M_{x, amp} = 1.15 \times 19.8 = 22.77 kN \cdot m

M_{y, amp} = 1.15 \times 11 = 12.65 kN \cdot m

M_{cx} = \min (\frac{345 \times 1224}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 1096}{1,000})

= \min (422.28, 453.744) = 422.28 kN \cdot m

M_{cy} = \min (\frac{345 \times 575}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 379}{1,000})

= \min (198.375, 156.906) = 156.906 kN \cdot m

截面比值：

\frac{1930}{3898.5} + \frac{22.77}{422.28} + \frac{12.65}{156.906} = 0.629605

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

4. 用 $5.1 m$ 驗算（check）構件彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

Table 8.7：熱軋（hot-rolled） H 形（UC），最大厚度（thickness） $\leq 40 mm$ ，繞 $x$ 軸用曲線 $b$ ，繞 $y$ 軸用曲線 $c$ 。使用 Data File 第 8 頁的 $p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 欄。兩軸曲線不同，因此不能只看長細比（slenderness ratio）便判定控制軸。

L_{Ex} = L_{Ey} = 5100 mm

，是給定有效長度。

λ_{x} = \frac{5100}{112} = 45.535714

λ_{y} = \frac{5100}{65.5} = 77.862595

x

軸曲線 b：

44

列為

302

；

46

列為

298 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{45.535714 - 44}{46 - 44} = 0.767857

p_{c} = 302 + 0.767857 \times (298 - 302) = 298.928571 \frac{N}{{mm}^{2}}

y

軸曲線 c：

76

列為

196

；

78

列為

191 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{77.862595 - 76}{78 - 76} = 0.931298

p_{c} = 196 + 0.931298 \times (191 - 196) = 191.343511 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{A p_{cx}}{10} = \frac{113 \times 298.928571}{10} = 3377.892857 kN

P_{cy} = \frac{113 \times 191.343511}{10} = 2162.181679 kN

P_{c} = \min (P_{cx}, P_{cy}) = 2162.181679 kN

構件相互作用（interaction）使用彈性（elasticity）彎矩（bending moment）分母 $p_{y} Z$ ，即使截面驗算（check）使用塑性截面模數（plastic section modulus）亦然。此處使用已放大彎矩。

M_{ex} = \frac{345 \times 1096}{1,000} = 378.12 kN \cdot m

M_{ey} = \frac{345 \times 379}{1,000} = 130.755 kN \cdot m

\frac{F}{P_{c}} + \frac{m_{x} M_{x, amp}}{M_{ex}} + \frac{m_{y} M_{y, amp}}{M_{ey}}

= \frac{1930}{2162.181679} + \frac{1 \times 22.77}{378.12} + \frac{1 \times 12.65}{130.755}

= 1.049582

不通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

5. 用實際 $6 m$ 驗算（check）簡單結構 LTB

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

簡單結構（simple construction）特別規則： $\frac{0.5 L}{r_{y}}$ 中用實際層高 $L$ ；軸壓有效長度（effective length）是另一個量。

λ_{LT} = \frac{0.5 \times 6000}{65.5} = 45.801527

。

查 Data File 第 5 頁 Table 8.3a 的 $p_{y} = 345$ 欄：

45

列為

302

；

50

列為

285 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{45.801527 - 45}{50 - 45} = 0.160305

p_{b} = 302 + 0.160305 \times (285 - 302) = 299.274809 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = p_{b} S_{x} = \frac{299.274809 \times 1224}{1,000} = 366.312366 kN \cdot m

課程 Eq.8.81 的最後一項使用一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）。 $M^{LT}$ 是指定的已放大強軸（major axis）值，不可再放大。軸力（axial force）分母為 $P_{cy}$ 。

\frac{F}{P_{cy}} + \frac{m_{LT} M_{LT}}{M_{b}} + \frac{m_{y} M_{y, first}}{M_{ey}}

= \frac{1930}{2162.181679} + \frac{1 \times 22.77}{366.312366} + \frac{1 \times 11}{130.755}

= 1.038904

不通過。

$p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ ； $P_{cx} = 3377.893 kN$ 、 $P_{cy} = 2162.182 kN$ ； $M_{cx} = 422.280 kN \cdot m$ 、 $M_{cy} = 156.906 kN \cdot m$ 。 $M_{b} = 366.312 kN \cdot m$ 。比值：截面 $0.629605$ 、彎曲屈曲（flexural buckling） $1.049582$ 、軸壓／LTB $1.038904$ 。至少一項必要比值超過 $1$ ，所以鋼柱（steel column）不通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 10 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

精簡考試答案（exam answer）

下柱 $F = 1,930 kN$ 。節點 $M_{x} = 39.6$ 、 $M_{y} = 22 kN \cdot m$ ；各取一半為 $19.8$ ／ $11$ ，放大後 $22.77$ ／ $12.65 kN \cdot m$ 。軸壓屈曲（buckling）用 $L_{E} = 5,100 mm$ ； $λ^{LT} = \frac{0.5 L}{r_{y}}$ 用 $L = 6,000 mm$ 。所有 $m = 1$ 。

應避免的錯誤

翼緣厚度（flange thickness）超過 $16 mm$ 時，不可使用 $355 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
不要把塑性截面模數（plastic section modulus）代入（substitution）構件驗算（check）的彈性（elasticity）分母。
不要把已放大的 $M^{LT}$ 再放大一次。
軸向承載力（resistance）驗算（check）通過，不代表組合作用也合格。
節點彎矩（bending moment）減半時，不要把軸力（axial force）也減半。
不要把相對兩側偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）的絕對值相加。
實際柱高 LTB 規則不能代入（substitution） $5.1 m$ 。

處理陌生變式的程序

辨認結構設計類型、軸線、實際長度（actual length）及有效長度（effective length）。
讀取厚度（thickness）、等級及準確的 UC 型號行；使用塑性截面模數（plastic section modulus）前先分類。
把豎向力相加，推導帶正負號的偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）；只有接頭連接上下兩段柱時，才在兩柱間分配彎矩。
把指定放大系數使用一次，驗算（check）受上限限制的截面相互作用（interaction）。
這些熱軋（hot-rolled） H 形截面選曲線 $b$ ／ $c$ ，內插（interpolation）兩軸強度，再以彈性截面模數（elastic section modulus）驗算（check）彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）。
使用適用的簡單／連續結構 LTB 長細比（slenderness ratio）規則，以及課程的一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）項。
列出每項利用率（utilisation ratio）；任何一項不合格都會控制最終結論。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：荷載不變，下柱 $\frac{I}{L}$ 剛度是上柱兩倍，求下柱一階彎矩（bending moment）。

顯示答案及解釋

下柱比例 $\frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3}$ 。 $M_{x} = \frac{39.6 \times 2}{3} = 26.4 kN \cdot m$ ； $M_{y} = \frac{22 \times 2}{3} = 14.666667 kN \cdot m$ 。放大後彎矩（bending moment）分別為 $30.36$ 及 $16.866667 kN \cdot m$ 。軸力（axial force）仍為 $1,930 kN$ 。下柱較剛會吸引較多彎矩，所有相互作用（interaction）須重新計算。

動畫解說（Animation lab）偏心反力與剛度分配（Moment sharing）3 個概念 · 3 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

即使樑端採名義鉸接，反力仍可能偏離鋼柱中心。
$M = R e$ 。相反側反力可抵消部分帶正負號彎矩，但兩者仍增加軸向壓力。
課程簡化模型按上下柱的 $\frac{I}{L}$ 比例分配節點彎矩。
相關剛度相同才各分一半；沒有上柱的屋頂節點是另一種情況。

Tutorial 4 Q5：相對反力（reaction）及平均分配彎矩（bending moment）

讀圖並整理已知資料（given data）

計算前：辨認題型與選擇策略

1. 合計軸壓及相反方向彎矩（bending moment）

2. 分配節點彎矩（bending moment）、放大及分類

3. 截面相互作用（interaction）

4. 用 5.1m5.1m 驗算（check）構件彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）

5. 用實際 6m6m 驗算（check）簡單結構 LTB

精簡考試答案（exam answer）

應避免的錯誤

處理陌生變式的程序

獨立自我測試

4. 用 $5.1 m$ 驗算（check）構件彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）

5. 用實際 $6 m$ 驗算（check）簡單結構 LTB