詳解例題

Tutorial 4 Q2：同一鋼柱（steel column）承受雙軸彎曲（biaxial bending）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

驗算（check）無側移框架（non-sway frame）中的 Q1 鋼柱（steel column）。一階極限內力： $F = 1,450 kN$ 、 $M_{x} = 220 kN \cdot m$ 、 $M_{y} = 35 kN \cdot m$ 、 $M^{LT} = 200 kN \cdot m$ 。繞 $x$ 軸放大系數 $1.1$ ，繞 $y$ 軸為 $1.15$ 。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 40 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

查表（table lookup）：Data File 第 11 頁，準確選取 $305 \times 305 \times 118$ UC 列。分開讀尺寸／局部寬厚比（width-to-thickness ratio）表及截面性質（section properties）表。表中示意圖的 $x - x$ 軸水平穿過腹板（web）， $y - y$ 軸垂直穿過其中央。

截面性質（section properties）	數值與單位
翼緣（flange）／腹板厚度（web thickness）／兩根部之間的腹板（web）淨深度	$T = 18.7 mm$ 、 $t = 12 mm$ 、 $d = 246.7 mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 8.22$ 、 $\frac{d}{t} = 20.6$ 。
迴轉半徑（radius of gyration）（由 $cm$ 換算）	$r_{x} = 13.6 \times 10 = 136 mm$ ； $r_{y} = 7.77 \times 10 = 77.7 mm$ 。
面積（Area）	$A = 150 {cm}^{2} = 15000 {mm}^{2}$ 。
彈性截面模數（elastic section modulus）	$Z_{x} = 1760 {cm}^{3}$ ； $Z_{y} = 589 {cm}^{3}$ 。
塑性截面模數（plastic section modulus）	$S_{x} = 1958 {cm}^{3}$ ； $S_{y} = 895 {cm}^{3}$ 。
LTB 參數	$u = 0.85$ 、 $x = 16.2$ ，兩者均無量綱（dimension）。

計算前：辨認題型與選擇策略

加入彎矩（bending moment）後，題目要求不同：局部分類須支持所用抗彎承載力（moment resistance），並完成三項組合作用驗算（check）。翼緣（flange）是緊密（compact），不是塑性（plastic），但 Class 2 仍可用課程受上限限制的塑性承載力（resistance）。保守假設（assumption）各軸所列最大值同時存在。

1. 分類、放大並驗算（check）截面

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

T = 18.7 mm

，按 S355 厚度區間取

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

翼緣

\frac{b}{T} = 8.22

；Class 1 限值

9 ε = 8.035248

，Class 2 限值

10 ε = 8.928054

，所以翼緣屬 Class 2。腹板應力參數：

r_{1} = \frac{F}{d t p_{y}} = \frac{1450 \times 1,000}{246.7 \times 12 \times 345}

限於

0 \leq r_{1} \leq 1

後取

1.000000

。對任何在此範圍的

r_{1}

，保守 Class 1 腹板限值為

40 ε = 35.712215

。

\frac{d}{t} = 20.6 < 35.712215

，腹板符合較嚴格界限。整體 Class 2，使用受上限限制的塑性截面承載力。

講義 Class 1 組合應力（stress）腹板（web）限值 $\frac{80 ε}{1 + r_{1}}$ 不會低於 $40 ε$ ，因為 $r_{1} \leq 1$ 。採用此較嚴格界限，既保守，也避免在沒有依據下宣告塑性（plasticity）分類。翼緣（flange）仍須獨立驗算（check）。

M_{LT, amp} = 1.1 \times 200 = 220 kN \cdot m

；

m_{x} = m_{y} = m_{LT} = 1

。

在同一截面，壓力（compressive force）及彎矩（bending moment）共用材料承載能力。使用已放大彎矩，以及受上限限制的塑性（plasticity）抗彎承載力（moment resistance）。總和不得超過 $1$ ；以下各項均無量綱（dimension）。

A_{g} p_{y} = \frac{150 \times 100 \times 345}{1,000} = 5175 kN

M_{x, amp} = 1.1 \times 220 = 242 kN \cdot m

M_{y, amp} = 1.15 \times 35 = 40.25 kN \cdot m

M_{cx} = \min (\frac{345 \times 1958}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 1760}{1,000})

= \min (675.51, 728.64) = 675.51 kN \cdot m

M_{cy} = \min (\frac{345 \times 895}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 589}{1,000})

= \min (308.775, 243.846) = 243.846 kN \cdot m

截面比值：

\frac{1450}{5175} + \frac{242}{675.51} + \frac{40.25}{243.846} = 0.803504

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）4 個概念 · 5 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

2. 構件彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

Table 8.7：熱軋（hot-rolled） H 形（UC），最大厚度（thickness） $\leq 40 mm$ ，繞 $x$ 軸用曲線 $b$ ，繞 $y$ 軸用曲線 $c$ 。使用 Data File 第 8 頁的 $p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 欄。兩軸曲線不同，因此不能只看長細比（slenderness ratio）便判定控制軸。

L_{Ex} = L_{Ey} = 4500 mm

，是給定有效長度。

λ_{x} = \frac{4500}{136} = 33.088235

λ_{y} = \frac{4500}{77.7} = 57.915058

x

軸曲線 b：

30

列為

325

；

35

列為

318 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{33.088235 - 30}{35 - 30} = 0.617647

p_{c} = 325 + 0.617647 \times (318 - 325) = 320.676471 \frac{N}{{mm}^{2}}

y

軸曲線 c：

56

列為

252

；

58

列為

247 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{57.915058 - 56}{58 - 56} = 0.957529

p_{c} = 252 + 0.957529 \times (247 - 252) = 247.212355 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{A p_{cx}}{10} = \frac{150 \times 320.676471}{10} = 4810.147059 kN

P_{cy} = \frac{150 \times 247.212355}{10} = 3708.185328 kN

P_{c} = \min (P_{cx}, P_{cy}) = 3708.185328 kN

構件相互作用（interaction）使用彈性（elasticity）彎矩（bending moment）分母 $p_{y} Z$ ，即使截面驗算（check）使用塑性截面模數（plastic section modulus）亦然。此處使用已放大彎矩。

M_{ex} = \frac{345 \times 1760}{1,000} = 607.2 kN \cdot m

M_{ey} = \frac{345 \times 589}{1,000} = 203.205 kN \cdot m

\frac{F}{P_{c}} + \frac{m_{x} M_{x, amp}}{M_{ex}} + \frac{m_{y} M_{y, amp}}{M_{ey}}

= \frac{1450}{3708.185328} + \frac{1 \times 242}{607.2} + \frac{1 \times 40.25}{203.205}

= 0.987653

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

3. 軸壓及側向扭轉屈曲（lateral-torsional buckling, LTB）組合

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

連續／無側移（sway）構件：Class 1／2 採用 $β_{W} = 1$ 。按指定有效長度（effective length），完整計算 $u$ 、 $v$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{4500}{77.7} = 57.915058

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{57.915058}{16.2})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.883798

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}} = 0.85 \times 0.883798 \times 57.915058 \times 1 = 43.507440

查 Data File 第 5 頁 Table 8.3a 的 $p_{y} = 345$ 欄：

40

列為

317

；

45

列為

302 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{43.507440 - 40}{45 - 40} = 0.701488

p_{b} = 317 + 0.701488 \times (302 - 317) = 306.477681 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = p_{b} S_{x} = \frac{306.477681 \times 1958}{1,000} = 600.083299 kN \cdot m

課程 Eq.8.81 的最後一項使用一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）。 $M^{LT}$ 是指定的已放大強軸（major axis）值，不可再放大。軸力（axial force）分母為 $P_{cy}$ 。

\frac{F}{P_{cy}} + \frac{m_{LT} M_{LT}}{M_{b}} + \frac{m_{y} M_{y, first}}{M_{ey}}

= \frac{1450}{3708.185328} + \frac{1 \times 220}{600.083299} + \frac{1 \times 35}{203.205}

= 0.929882

通過。

$p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ ； $P_{cx} = 4810.147 kN$ 、 $P_{cy} = 3708.185 kN$ ； $M_{cx} = 675.510 kN \cdot m$ 、 $M_{cy} = 243.846 kN \cdot m$ 。 $M_{b} = 600.083 kN \cdot m$ 。比值：截面 $0.803504$ 、彎曲屈曲（flexural buckling） $0.987653$ 、軸壓／LTB $0.929882$ 。三項所要求的強度驗算（check）均通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 11 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

精簡考試答案（exam answer）

未知彎矩（bending moment）分佈的系數均保守取 $1$ ；一階 $M^{LT} = 200$ 放大為 $220 kN \cdot m$ 。這是已驗算（check）的保守解，不是重建一張未提供的端彎矩圖（bending moment diagram, BMD）。

應避免的錯誤

翼緣厚度（flange thickness）超過 $16 mm$ 時，不可使用 $355 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
不要把塑性截面模數（plastic section modulus）代入（substitution）構件驗算（check）的彈性（elasticity）分母。
不要把已放大的 $M^{LT}$ 再放大一次。
軸向承載力（resistance）驗算（check）通過，不代表組合作用也合格。
不要自動把寬厚比（width-to-thickness ratio） $8.22$ 的翼緣（flange）稱為 Class 1： $9 ε \approx 8.035$ ，所以是 Class 2。

處理陌生變式的程序

辨認結構設計類型、軸線、實際長度（actual length）及有效長度（effective length）。
讀取厚度（thickness）、等級及準確的 UC 型號行；使用塑性截面模數（plastic section modulus）前先分類。
把豎向力相加，推導帶正負號的偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）；只有接頭連接上下兩段柱時，才在兩柱間分配彎矩。
把指定放大系數使用一次，驗算（check）受上限限制的截面相互作用（interaction）。
這些熱軋（hot-rolled） H 形截面選曲線 $b$ ／ $c$ ，內插（interpolation）兩軸強度，再以彈性截面模數（elastic section modulus）驗算（check）彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）。
使用適用的簡單／連續結構 LTB 長細比（slenderness ratio）規則，以及課程的一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）項。
列出每項利用率（utilisation ratio）；任何一項不合格都會控制最終結論。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：修改題目寫「 $M^{LT} = 200 kN \cdot m$ 已放大」，哪一步改變？

顯示答案及解釋

只在 LTB 分子用 $200$ 代替 $220$ 。新軸壓／LTB 比值為 $0.896554$ 。截面及彎曲屈曲（flexural buckling）驗算（check）仍用 $1.1 \times 220$ 及 $1.15 \times 35$ 。是否需要放大，取決於題目措辭。