詳解例題

Tutorial 4 Q1：給定有效長度（effective length）下的抗壓承載力（compression resistance）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

求 Grade S355 $305 \times 305 \times 118$ UC 的抗壓承載力（compression resistance），有效長度（effective length） $4.5 m$ 。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 40 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

Ch 4 第 40 頁是文字題，沒有另附柱示意圖。effective length＝有效長度，compressive resistance＝抗壓承載力（compression resistance）。原網頁圖說寫

L^{E}

，原題排成

L_{E}

；兩者在此均指已給定的

4.5 m

有效長度，不再乘

0.85

或

0.7

。原題型鋼代號末項是標稱線質量

118 \frac{kg}{m}

；下方型鋼表的精確線質量是

117.9 \frac{kg}{m}

，不是新增外加荷載（imposed load）。UC 軸及翼緣（flange）／腹板（web）尺寸由所連結原型鋼表定義。開啟原尺寸圖片

Data File 第 11 頁，

305 \times 305 \times 118

尺寸及截面性質（section properties）列。Universal columns＝UC 通用柱（universal column, UC）型鋼；上表 Dimensions＝尺寸，下表 Properties＝截面性質。示意圖

D

是總深、

B

是總寬、

t

是腹板（web）厚、

T

是翼緣（flange）厚、

r

是角根半徑、

d

是圓角間腹板淨深、

b

是表用翼緣外伸寬；

x - x

水平穿腹板，

y - y

垂直穿其中央。

C

＝端部淨空，

N

／

n

＝切口尺寸。此列其餘尺寸為

D = 314.5 mm

、

B = 307.4 mm

、

r = 15.2 mm

、

C = 8 mm

、

N = 158 mm

、

n = 34 mm

。下表的二次面積矩為

I_{x} = 27670 {cm}^{4}

、

I_{y} = 9059 {cm}^{4}

；翹曲（warping）常數

H = 1.98 {dm}^{6}

、扭轉常數

J = 161 {cm}^{4}

。上表表面積按每米或每公噸分列，本列依次為

1.81 m^{2}

及

15.3 m^{2}

。這些補充查表（table lookup）值不改變本題所用的承載力（resistance）計算。本題所用比值、面積及迴轉半徑（radius of gyration）在下表逐項排版；不要把

cm

當作

mm

。開啟原尺寸圖片

讀圖並整理已知資料（given data）

查表（table lookup）：Data File 第 11 頁，準確選取 $305 \times 305 \times 118$ UC 列。分開讀尺寸／局部寬厚比（width-to-thickness ratio）表及截面性質（section properties）表。表中示意圖的 $x - x$ 軸水平穿過腹板（web）， $y - y$ 軸垂直穿過其中央。

截面性質（section properties）	數值與單位
翼緣（flange）／腹板厚度（web thickness）／兩根部之間的腹板（web）淨深度	$T = 18.7 mm$ 、 $t = 12 mm$ 、 $d = 246.7 mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 8.22$ 、 $\frac{d}{t} = 20.6$ 。
迴轉半徑（radius of gyration）（由 $cm$ 換算）	$r_{x} = 13.6 \times 10 = 136 mm$ ； $r_{y} = 7.77 \times 10 = 77.7 mm$ 。
面積（Area）	$A = 150 {cm}^{2} = 15000 {mm}^{2}$ 。
彈性截面模數（elastic section modulus）	$Z_{x} = 1760 {cm}^{3}$ ； $Z_{y} = 589 {cm}^{3}$ 。
塑性截面模數（plastic section modulus）	$S_{x} = 1958 {cm}^{3}$ ； $S_{y} = 895 {cm}^{3}$ 。
LTB 參數	$u = 0.85$ 、 $x = 16.2$ ，兩者均無量綱（dimension）。

計算前：辨認題型與選擇策略

截面與鋼柱（steel column）例題 1 相同，但有效長度（effective length）較短。須比較兩軸承載力（resistance）。本題是純壓，所以先驗算（check）局部截面非纖細，再用 $A_{g} p_{c}$ 。

1. 局部截面及材料設計強度（design strength）

淺白解說（Simple explanation）：薄板會先起皺（Local buckling）

整根鋼構件尚未發揮預期承載力，薄板部分可能已先起皺。

分別按定義算翼緣（Flange）及腹板（Web）的寬厚比。
把各比值與適用截面類別（Section class）界限比較。
較不利板件決定整個截面的類別。

注意（Remember）：彎曲（Bending）與均勻受壓（Uniform compression）的界限不同。

相關概念與完整方法（Full method）

T = 18.7 mm

，按 S355 厚度區間取

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

翼緣：

\frac{b}{T} = 8.22 < 13 ε = 11.606470

腹板：

\frac{d}{t} = 20.6 < 40 ε = 35.712215

均勻受壓時屬非纖細截面，容許用毛截面面積。

這只證明軸壓設計屬 Class 3 或更佳，不代表已確立塑性（plasticity）抗彎承載力（moment resistance）。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）2 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

2. 比較兩個屈曲（buckling）軸並作答

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

Table 8.7：熱軋（hot-rolled） H 形（UC），最大厚度（thickness） $\leq 40 mm$ ，繞 $x$ 軸用曲線 $b$ ，繞 $y$ 軸用曲線 $c$ 。使用 Data File 第 8 頁的 $p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 欄。兩軸曲線不同，因此不能只看長細比（slenderness ratio）便判定控制軸。

L_{Ex} = L_{Ey} = 4500 mm

，是給定有效長度。

λ_{x} = \frac{4500}{136} = 33.088235

λ_{y} = \frac{4500}{77.7} = 57.915058

x

軸曲線 b：

30

列為

325

；

35

列為

318 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{33.088235 - 30}{35 - 30} = 0.617647

p_{c} = 325 + 0.617647 \times (318 - 325) = 320.676471 \frac{N}{{mm}^{2}}

y

軸曲線 c：

56

列為

252

；

58

列為

247 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{57.915058 - 56}{58 - 56} = 0.957529

p_{c} = 252 + 0.957529 \times (247 - 252) = 247.212355 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{A p_{cx}}{10} = \frac{150 \times 320.676471}{10} = 4810.147059 kN

P_{cy} = \frac{150 \times 247.212355}{10} = 3708.185328 kN

P_{c} = \min (P_{cx}, P_{cy}) = 3708.185328 kN

P_{c} = 3708.185328 kN

。

弱軸（minor axis）控制。Q1 沒有提供作用軸力（axial force），所以答案是承載力（resistance），不能對自行假定的荷載下足夠結論。此值低於截面壓潰承載力 $5,175 kN$ ，因為構件屈曲（buckling）降低了可用強度。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）3 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

精簡考試答案（exam answer）

$T = 18.7 mm$ ，故 $p_{y} = 345$ 。 $\frac{b}{T} = 8.22 < 13 ε$ ； $\frac{d}{t} = 20.6 < 40 ε$ 。 $λ_{x} = \frac{4,500}{136} = 33.088235$ ； $λ_{y} = \frac{4,500}{77.7} = 57.915058$ 。熱軋（hot-rolled） H 形分別用曲線 b／c。 $P_{cx} = 4810.147 kN$ ； $P_{cy} = 3708.185 kN$ ；抗壓承載力（compression resistance） $P_{c} = 3708.185 kN$ 。

應避免的錯誤

翼緣厚度（flange thickness）超過 $16 mm$ 時，不可使用 $355 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
不要把塑性截面模數（plastic section modulus）代入（substitution）構件驗算（check）的彈性（elasticity）分母。
不要把已放大的 $M^{LT}$ 再放大一次。
軸向承載力（resistance）驗算（check）通過，不代表組合作用也合格。

處理陌生變式的程序

辨認結構設計類型、軸線、實際長度（actual length）及有效長度（effective length）。
讀取厚度（thickness）、等級及準確的 UC 型號行；使用塑性截面模數（plastic section modulus）前先分類。
把豎向力相加，推導帶正負號的偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）；只有接頭連接上下兩段柱時，才在兩柱間分配彎矩。
把指定放大系數使用一次，驗算（check）受上限限制的截面相互作用（interaction）。
這些熱軋（hot-rolled） H 形截面選曲線 $b$ ／ $c$ ，內插（interpolation）兩軸強度，再以彈性截面模數（elastic section modulus）驗算（check）彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）。
使用適用的簡單／連續結構 LTB 長細比（slenderness ratio）規則，以及課程的一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）項。
列出每項利用率（utilisation ratio）；任何一項不合格都會控制最終結論。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：同一鋼柱（steel column）可否承受 $4,000 kN$ 純壓？

顯示答案及解釋

不能。 $\frac{F}{P_{c}} = \frac{4,000}{3708.185328} = 1.078695 > 1$ 。毛截面壓潰承載力（resistance）不等於構件承載力。

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。