詳解例題

Tutorial 2 Q6：雙側板偏心（eccentricity）焊縫（weld）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

求兩塊 $20 mm$ 側板所需角焊腳（weld leg）。特徵恆載（dead load） $350 kN$ 加外加荷載（imposed load） $300 kN$ ，荷載距柱面 $200 mm$ 。鋼材為 S355，焊條為 Class 42。

原始來源：LectureNotes/Ch 2_Connection.pdf — 第 45 頁、第 48 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

物理量	來源及推導
每塊板的荷載	平面／正立面佈置中，兩塊相同側板平均分擔總荷載。
焊縫（weld）組尺寸	每個四邊焊縫（weld）組均採用標示寬 $200 mm$ 、高 $300 mm$ 。
荷載偏心距（eccentricity）	從焊縫（weld）組中心量至荷載： $200 mm$ 寬的一半，加柱面外 $200 mm$ ，所以 $e = 300 mm$ 。
焊縫（weld）模型	均勻全周角焊縫（fillet weld）表示為封閉矩形線，與連接例題 7 相同。鋼板面積不是焊縫（weld）線的面積。
尺寸上下限	$20 mm$ 板按 Table 9.1 要求最小焊腳（weld leg） $8 mm$ ，板邊最大值按 $t - 2$ 為 $18 mm$ 。

計算前：辨認題型與選擇策略

兩個 $200 mm$ 標示用途不同：一個界定矩形焊縫（weld）組寬度，另一個從柱面開始量。形心（centroid）位於組寬中間，所以荷載力臂（lever arm）為 $300 mm$ 。用一半荷載計算單塊板的單位長度作用力，再選擇同時符合承載力（resistance）及構造要求的焊腳（weld leg）。

1. 已乘分項系數荷載、形心（centroid）及彎矩（bending moment）

總極限荷載：

P = 1.4 \times 350 + 1.6 \times 300 = 490 + 480 = 970 kN

每塊側板：

P_{1} = \frac{970}{2} = 485 kN

焊縫組

b = 200 mm

、

h = 300 mm

。總長：

L = 2 (b + h) = 1,000 mm

形心至角點的座標距離：

x = 100

、

y = 150 mm

。

e = 200 + \frac{b}{2} = 200 + 100 = 300 mm

M = P_{1} e = 485 \times 300 = 145,500 kN \cdot mm

平均分擔假設（assumption）依據圖中的對稱雙板及荷載置中的連接。兩個焊縫（weld）組各用 $485 kN$ 已計入兩塊板，不要在單組內再次把承載力（resistance）加倍。

動畫解說（Animation lab）焊縫群是線組（Eccentric weld group）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

2. 推導焊縫（weld）線極慣性矩（polar second moment of area）

淺白解說（Simple explanation）：只把焊縫線算作焊縫

想像鐵線圍成的矩形：中間空白不是額外鐵線。

只計圖上真正存在的焊道（Weld runs）。
用焊道總長及線二次矩（Line second moments）。
在控制位置合成直接力與扭轉力。

注意（Remember）：線二次矩單位是 ${mm}^{3}$ ；板面積的二次矩才是 ${mm}^{4}$ 。

相關概念與完整方法（Full method）

I_{x} = 2 (\frac{h^{3}}{12}) + 2 b {(\frac{h}{2})}^{2}

= \frac{2 \times 300^{3}}{12} + 2 \times 200 \times 150^{2}

= 4,500,000 + 9,000,000 = 13,500,000 {mm}^{3}

I_{y} = 2 (\frac{b^{3}}{12}) + 2 h {(\frac{b}{2})}^{2}

= \frac{2 \times 200^{3}}{12} + 2 \times 300 \times 100^{2}

= 1,333,333.333 + 6,000,000 = 7,333,333.333 {mm}^{3}

I_{p} = I_{x} + I_{y} = 20,833,333.333 {mm}^{3}

每邊均視為一條線。平行軸項是「長度乘距離平方」，所以單位為 ${mm}^{3}$ 。此處計算單位長度作用力，不能用單位為 ${mm}^{4}$ 的實心板慣性矩（second moment of area）。

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中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

3. 求控制角點的單位長度合力（resultant force）

淺白解說（Simple explanation）：先加箭嘴，再算大小（Components）

向東走和向北走，是兩個不同方向。

先定水平、豎向分量的正負號。
同方向分量（Components）各自相加。
互相垂直的兩個總分量，用直角三角形求合力（Resultant）。

注意（Remember）：要找直接力與扭轉分力互相加強的控制角點。

相關概念與完整方法（Full method）

直接豎向作用力：

q_{s} = \frac{P_{1}}{L} = \frac{485}{1,000} = 0.485 \frac{kN}{mm}

扭轉豎向分量：

q_{Ty} = \frac{M x}{I_{p}}

= \frac{145,500 \times 100}{20,833,333.333} = 0.6984 \frac{kN}{mm}

扭轉水平分量：

q_{Tx} = \frac{M y}{I_{p}}

= \frac{145,500 \times 150}{20,833,333.333} = 1.0476 \frac{kN}{mm}

在豎向分量相加的角點：

q_{vertical} = 0.485 + 0.6984 = 1.1834 \frac{kN}{mm}

q_{\max} = \sqrt{{1.1834}^{2} + {1.0476}^{2}} = 1.580475 \frac{kN}{mm}

另一邊的豎向分量相減，合力（resultant force）較小。相加一側的上、下角點合力大小相同。

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中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

4. 選擇並驗算（check）角焊腳（weld leg）

淺白解說（Simple explanation）：為何焊喉比焊腳小？（Weld throat）

穿過焊縫的最短切面，比外側量到的焊腳薄。

題述等腳 90° 角焊縫：喉厚（Throat）約為 0.7 × 焊腳（Leg）。
喉面積乘配對的焊縫設計強度（Weld design strength）。
求每毫米抗力時，想像只取長 1 mm 的小條焊縫。

注意（Remember）：查強度時要同時配對鋼級（Steel grade）與焊條級別（Electrode class）。

相關概念與完整方法（Full method）

q_{capacity} = \frac{0.7 s p_{w}}{1,000} = 0.175 s \frac{kN}{mm}

s_{required} = \frac{1.580475}{0.175} = 9.031286 mm

每塊板選用全周

10 mm

角焊縫。單位長度承載力：

0.175 \times 10 = 1.75 \frac{kN}{mm} > 1.580475 \frac{kN}{mm}

最小焊腳、所選尺寸及板邊最大值：

8 \leq 10 \leq 20 - 2 = 18 mm

封閉全周焊縫（weld）組沿用來源的連續線焊縫模型；不能不改模型，卻把四條相連邊當成各自終止的 $180$ ／ $280 mm$ 焊縫。 $200$ 及 $300 mm$ 邊長均超過最小有效長度（effective length） $\max (4 s, 40) = 40 mm$ 。在所示四邊、對稱模型下，所選焊腳（weld leg）完成題目要求的焊縫組承載力（resistance）驗算（check）。柱局部承載力須另作驗算；本題既未要求，也未充分提供資料。

動畫解說（Animation lab）從焊腳至有效喉厚（Fillet weld）1 個概念 · 2 個原式

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兩塊垂直鋼板之間的等腳角焊縫，截面近似直角三角形。
此幾何的喉厚 $a \approx 0.7 s$ ，小於焊腳長度。
有效承力面積 = $a \times L_{eff}$ 。本示例 $p_{w} = 220 \frac{N}{mm ^{2}}$ ，每單位長度承載力為 $0.7 s \times 220 \frac{N}{mm}$ 。
須按課程計端部扣減、最小尺寸及長度限制；增加幾何長度不代表所有構造檢查已符合。

精簡考試答案（exam answer）

總 ULS 荷載 $970 kN$ ，每板 $485 kN$ 。矩形 $200 \times 300 mm$ ， $L = 1,000 mm$ 、 $e = 300 mm$ 、 $M = 145,500 kN \cdot mm$ 。 $I_{p, line} = 20.833333 \times 10^{6} {mm}^{3}$ 。直接作用力 $0.485$ 、扭轉豎向 $0.6984$ ／水平 $1.0476 \frac{kN}{mm}$ ； $q_{\max} = 1.580475 \frac{kN}{mm}$ 。 $s \geq 9.0313 mm$ ，兩塊板均選全周 $10 mm$ 角焊縫（fillet weld）。承載力（resistance） $1.75 \frac{kN}{mm}$ ，符合 $8 - 18 mm$ 尺寸範圍。

應避免的錯誤

荷載力臂（lever arm）從焊縫（weld）形心（centroid）量起，不是從柱面量起。
兩塊板之間的荷載分配只做一次。
不要用實心矩形慣性矩（second moment of area）。
在控制角點把直接及扭轉分量作向量合成。

處理陌生變式的程序

確立並聯焊縫（weld）組數量及每組作用力。
找出焊縫（weld）線形心（centroid）及實際荷載偏心距（eccentricity）。
計算總線長及線極慣性矩（polar second moment of area）。
分解直接／扭轉的單位長度作用力，求最大合力（resultant force）。
焊腳（weld leg）向上選整，並驗算（check）承載力（resistance）及容許尺寸範圍。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：荷載改為距焊縫（weld）組形心（centroid） $200 mm$ ，不是距柱面；其餘資料不變，求所需焊腳（weld leg）。

顯示答案及解釋

$M = 485 \times 200 = 97,000 kN \cdot mm$ 扭轉豎向分量 $0.4656$ 、水平分量 $0.6984 \frac{kN}{mm}$ 。 $q_{\max} = \sqrt{{(0.485 + 0.4656)}^{2} + {0.6984}^{2}} \approx 1.1795 \frac{kN}{mm}$ 按強度所需焊腳（weld leg）約 $6.74 mm$ 。但 Table 9.1 對 $20 mm$ 板仍要求至少 $8 mm$ ，所以選 $8 mm$ ，承載力（resistance） $1.4 \frac{kN}{mm}$ ；仍以同一全周模型為條件。

動畫解說（Animation lab）焊縫群是線組（Eccentric weld group）2 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。