詳解例題

Tutorial 2 Q3：平面內偏心（eccentricity）雙板接合的螺栓（bolt）選徑

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

為此偏心（eccentricity）接合選擇 Grade 8.8 螺栓（bolt）尺寸；極限豎向荷載為 $200 kN$ ，偏心距（eccentricity） $300 mm$ 。圖中有兩塊 $20 mm$ 側板。

原始來源：LectureNotes/Ch 2_Connection.pdf — 第 45 頁、第 47 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

物理量	解讀
對稱雙板	平面圖顯示兩側各有一塊側板；假設（assumption）相同側板對稱分擔荷載（tributary load）。每塊板承受 $100 kN$ 。
每塊板的螺栓（bolt）佈置	八顆螺栓（bolt），以形心（centroid）為原點： $x = \pm 50 mm$ ； $y = \pm 150, \pm 50 mm$ 。
剪切面（shear plane）	每顆螺栓（bolt）把側板連至柱翼緣（flange）；對該板荷載採用單剪（single shear）承載力（resistance）。
螺紋（thread）	題目沒有指定螺紋（thread）位置；保守地用拉應力（stress）面積，視作螺紋穿過剪切面（shear plane）。
缺少的尺寸	題目沒有提供柱翼緣厚度（flange thickness）及螺栓（bolt）邊距（edge distance）；按抗剪選出的螺栓尺寸，不能證明承壓（bearing）及構造驗算（check）通過。

計算前：辨認題型與選擇策略

這是鋼板平面內扭轉，與 Q4 螺栓（bolt）受拉的支架不同。先把總荷載分給兩塊幾何相同的側板，再對一塊板，把均勻直接剪力（direct shear）與 $P e$ 產生的切向力合成。距形心（centroid）最遠的螺栓是候選控制點，但仍須用分量計算，選取豎向分量相加的一側。

1. 座標及螺栓（bolt）組極距平方和

淺白解說（Simple explanation）：偏心力＝直推，再加扭轉

施力線沒有經過中心，除了推動，也會想把整組轉動。

求直接剪力及繞螺栓組形心（Centroid）的力矩。
扭轉分力（Torsional force）沿切線；離中心較遠的螺栓分力較大。
先分別加水平、豎向分量，再求合力（Resultant）。

注意（Remember）：不同方向的力，不能只把兩個大小直接相加。

相關概念與完整方法（Full method）

每板作用力：

P = \frac{200}{2} = 100 kN; n = 8

由兩列相距

100 mm

，得

x = \pm 50 mm

。四行以

100 mm

間距排列，得

y = \pm 150, \pm 50 mm

。

Σ x^{2} = 8 \times 50^{2} = 20,000 {mm}^{2}

Σ y^{2} = 2 (150^{2} + 50^{2} + 50^{2} + 150^{2}) = 100,000 {mm}^{2}

J_{bolts} = Σ (x^{2} + y^{2}) = 120,000 {mm}^{2}

控制角點半徑：

r = \sqrt{50^{2} + 150^{2}} = 158.1139 mm

此處 $J$ 是各螺栓（bolt）半徑平方的總和，單位為 ${mm}^{2}$ 。不要使用單位為 ${mm}^{3}$ 的焊縫（weld）線極慣性矩（polar second moment of area）。

動畫解說（Animation lab）合併直接力與扭轉力（Eccentric bolts）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

以螺栓群形心為原點，為各螺栓指定帶正負號的座標。
等剛度螺栓的彈性模型中，每支螺栓直接力為 $\frac{P}{n}$ 。
彎矩大小為 $P e$ ，正負號由荷載方向決定。採帶正負號的 M： $F_{x} = \frac{- M y}{J}$ 、 $F_{y} = \frac{M x}{J}$ 、 $J = \sum r^{2}$ 。
先在每支螺栓合併有正負號的 x、y 分量，再計合力；示意中最長箭頭表示最不利螺栓。

2. 分解直接剪力（direct shear）及扭轉力

淺白解說（Simple explanation）：先加箭嘴，再算大小（Components）

向東走和向北走，是兩個不同方向。

先定水平、豎向分量的正負號。
同方向分量（Components）各自相加。
互相垂直的兩個總分量，用直角三角形求合力（Resultant）。

注意（Remember）：要找直接力與扭轉分力互相加強的控制角點。

相關概念與完整方法（Full method）

每顆螺栓直接剪力向下：

F_{s} = \frac{100}{8} = 12.5 kN

每板彎矩：

M = 100 \times 300 = 30,000 kN \cdot mm

控制角點的扭轉豎向分量：

\frac{M \times 50}{J} = \frac{30,000 \times 50}{120,000} = 12.5 kN

扭轉水平分量：

\frac{M \times 150}{J} = \frac{30,000 \times 150}{120,000} = 37.5 kN

合成豎向分量：

12.5 + 12.5 = 25 kN

最大合力：

\sqrt{25^{2} + {37.5}^{2}} = 45.06939 kN

另一列螺栓（bolt）的豎向分量相減為零，角點合力（resultant force）為 $37.5 kN$ 。內部各行的扭轉水平分量較小。因此最大合力是 $45.06939 kN$ 。

動畫解說（Animation lab）合併直接力與扭轉力（Eccentric bolts）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

以螺栓群形心為原點，為各螺栓指定帶正負號的座標。
等剛度螺栓的彈性模型中，每支螺栓直接力為 $\frac{P}{n}$ 。
彎矩大小為 $P e$ ，正負號由荷載方向決定。採帶正負號的 M： $F_{x} = \frac{- M y}{J}$ 、 $F_{y} = \frac{M x}{J}$ 、 $J = \sum r^{2}$ 。
先在每支螺栓合併有正負號的 x、y 分量，再計合力；示意中最長箭頭表示最不利螺栓。

3. 按所提供表格選擇螺栓（bolt）尺寸

所需拉應力面積：

A_{s} \geq \frac{F \times 1,000}{p_{s}}

= \frac{45.06939 \times 1,000}{375} = 120.1850 {mm}^{2}

M12：

A_{s} = 84.3 {mm}^{2}

，

P_{s} = \frac{84.3 \times 375}{1,000} = 31.6125 kN

不通過。M16：

A_{s} = 157 {mm}^{2}

，

P_{s} = \frac{157 \times 375}{1,000} = 58.875 kN

通過。就題目要求的抗剪選徑，採用 Grade 8.8 M16。

即每塊板八顆螺栓（bolt），對稱雙板共十六顆。按課程標準孔規則，M16 用 $18 mm$ 孔。題目沒有柱翼緣厚度（flange thickness）及端距（end distance）／邊距（edge distance），取得資料後須驗算（check）承壓（bearing）及構造。若 $200 kN$ 原意是全由單塊板承受，合力（resultant force）會加倍至 $90.1388 kN$ ，抗剪至少須 M20。所示平面圖支持本解採用的對稱雙板模型；列出替代情況，是說明荷載分配假設（assumption）必須寫明。

動畫解說（Animation lab）數清螺栓剪切面（Shear planes）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

荷載須跨越被連接鋼板之間的界面。
搭接（lap joint）使每支螺栓有一個剪切面。
對稱雙蓋板接頭可提供兩個剪切面；應數實際傳力界面，不能只數看見的鋼板。
按原教材選螺栓面積及剪切強度，再分別檢查承壓、板件承載力及構造要求。

精簡考試答案（exam answer）

對稱雙板模型： $P_{plate} = 100 kN$ 。每板八顆螺栓（bolt）， $x = \pm 50 mm$ ， $y = \pm 50, \pm 150 mm$ ； $Σ r^{2} = 120,000 {mm}^{2}$ 。 $F_{s} = 12.5 kN$ ；彎矩（bending moment） $30,000 kN \cdot mm$ 產生角點豎向分量 $12.5 kN$ 、水平分量 $37.5 kN$ 。 $F_{\max} = 45.0694 kN$ 。 $A_{s} \geq 120.185 {mm}^{2}$ ；Grade 8.8 M16 單剪（single shear）承載力（resistance） $58.875 kN$ ，通過。承壓（bearing）／構造驗算（check）仍需未提供的翼緣（flange）及邊距（edge distance）資料。

應避免的錯誤

不要把荷載減半兩次。
不要把 $300 mm$ 誤讀成螺栓（bolt）組半高。
水平與豎向作用力不能直接作算術相加。
缺少承壓（bearing）輸入資料時，不要把所選螺栓（bolt）稱為已全面驗算（check）的接合。

處理陌生變式的程序

辨認傳力路徑，以及接頭屬同心（concentric）、平面內偏心（eccentricity）還是平面外偏心。
所有尺寸均從相關視圖讀取，不按繪圖比例量度。
區分特徵荷載（characteristic load）與極限荷載（ultimate load），只在需要時乘分項系數。
採用合適的平衡模型，計算每顆緊固件／每段焊縫（weld）的作用力。
逐項分開驗算（check）所要求的承載力（resistance）及構造條件。
說明原佈置通過、不通過，或因缺少資料而仍有條件。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：總荷載仍為 $200 kN$ ，偏心距（eccentricity）改為 $400 mm$ 。在相同抗剪模型下，M16 是否仍通過？

顯示答案及解釋

每板 $M = 40,000 kN \cdot mm$ 。扭轉豎向分量 $16.6667 kN$ 、水平分量 $50 kN$ ；直接豎向剪力（shear force） $12.5 kN$ 。合力（resultant force）： $\sqrt{{29.1667}^{2} + 50^{2}} = 57.8852 kN < 58.875 kN$ 僅以小幅餘量通過。所有承壓（bearing）／構造條件仍須各自所需的資料。

動畫解說（Animation lab）合併直接力與扭轉力（Eccentric bolts）1 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

以螺栓群形心為原點，為各螺栓指定帶正負號的座標。
等剛度螺栓的彈性模型中，每支螺栓直接力為 $\frac{P}{n}$ 。
彎矩大小為 $P e$ ，正負號由荷載方向決定。採帶正負號的 M： $F_{x} = \frac{- M y}{J}$ 、 $F_{y} = \frac{M x}{J}$ 、 $J = \sum r^{2}$ 。
先在每支螺栓合併有正負號的 x、y 分量，再計合力；示意中最長箭頭表示最不利螺栓。