詳解例題

2024 BQ4：不均勻集中荷載（point load）及逐段 LTB 驗算（check）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

一條跨距 $11 m$ 的簡支 S355、 $610 \times 229 \times 140$ UB，假定為 Class 1。求支座反力（support reaction），畫出有標註的剪力圖（shear force diagram, SFD）／彎矩圖（SFD／BMD），再用準確的 $u$ 、 $v$ 驗算（check） BC 及 CD 段 LTB。設計荷載（design load）：B 點 $3.5 m$ 處有 $100 kN$ ；C 點 $7.5 m$ 處有 $200 kN$ ；全跨均布荷載（uniformly distributed load, UDL） $1.4 \frac{kN}{m}$ 已含鋼樑（steel beam）自重（self-weight）。A／B／C／D 均有側向約束（lateral restraint）。

原始來源：Pastpaper/23ENGTY004.pdf — 第 6 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，確切的 $610 \times 229 \times 140$ UB 行。尺寸在第 9 頁，截面性質（section properties）在第 10 頁。 $D$ 是總高度； $d$ 是根部圓角（root radius）之間的腹板淨高（clear web depth），不是型鋼標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 617.2$ 、腹板（web） $t = 13.1$ 、翼緣（flange） $T = 22.1$ 、根部圓角（root radius） $r = 12.7$ 、淨高 $d = 547.6$ ，全以 $mm$ 計。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 5.21$ ； $\frac{d}{t} = 41.8$
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 111800 {cm}^{4} = 1.118 \times 10^{9} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 3622 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 4142 {cm}^{3}$
LTB 所需性質	$r_{y} = 5.03 cm = 50.3 mm$ ； $u = 0.875$ ；扭轉指數 $x = 30.6$

計算前：辨認題型與選擇策略

先對整條 $11 m$ 樑用整體平衡。再根據剪力（shear force）變化找控制截面，並計算各指定側向約束（lateral restraint）段的彎矩圖（bending moment diagram, BMD）。全跨均布荷載（uniformly distributed load, UDL）令集中荷載（point load）之間的彎矩圖仍有曲率（curvature）；計四分點彎矩（bending moment）係數時必須保留。

(a) 支座反力（support reaction）——原卷 3 分

淺白解說（Simple explanation）：反力為何要平衡？（Equilibrium）

想像一塊蹺蹺板：不能跌下，也不能一直轉動。

向上反力（Reactions）總和要平衡向下荷載。
以支承點取矩（Moments），該支承反力便沒有力臂。
力臂（Lever arm）是取矩點至力作用線的垂直距離。

注意（Remember）：側向約束（Lateral restraint）不一定提供豎向支承。

相關概念與完整方法（Full method）

均布荷載合力：

1.4 \times 11 = 15.4 kN

作用於

x = 5.5 m

。

Σ M_{A} = 0

11 R_{D} = 100 \times 3.5 + 200 \times 7.5 + 15.4 \times 5.5

= 350 + 1,500 + 84.7 = 1,934.7 kN \cdot m

R_{D} = \frac{1,934.7}{11} = 175.881818 kN

R_{A} = 100 + 200 + 15.4 - 175.881818 = 139.518182 kN

核對：

R_{A} + R_{D} = 315.4 kN

動畫解說（Animation lab）反力與彎矩平衡（Equilibrium）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

本示意為 6 m 簡支樑及 60 kN 集中荷載，並非原題的荷載圖。
$R_{B} \times L = P \times a$ 。荷載越靠近 B， $R_{B}$ 越大。
$R_{A} = P - R_{B}$ 。兩個向上反力的總和必須等於 P。
荷載在跨中時， $R_{A} = R_{B} = 30 kN$ ；端彎矩、均布荷載及懸臂段均須加入各自的平衡項。

(b) 有標註的剪力圖（shear force diagram, SFD）及彎矩圖（bending moment diagram, BMD）——原卷 4 分

x

由 A 點起，以

m

計。定義

⟨ x - a ⟩ = \max (x - a, 0)

。

M (x) = 139.518182 x - 0.7 x^{2} - 100 ⟨ x - 3.5 ⟩ - 200 ⟨ x - 7.5 ⟩ kN \cdot m

AB 段：

V = 139.518182 - 1.4 x

BC 段：

V = 39.518182 - 1.4 x

CD 段：

V = - 160.481818 - 1.4 x

位置	點左側／右側的剪力（shear force）（ $kN$ ）	彎矩（bending moment）（ $kN \cdot m$ ）
$A$	$0$ ／ $+ 139.518182$	$0$
$B$	$+ 134.618182$ ／ $+ 34.618182$	$479.738636$
$C$	$+ 29.018182$ ／ $- 170.981818$	$607.011364$
$D$	$- 175.881818$ ／ $0$	$0$

M (B) = 139.518182 \times 3.5 - 0.7 \times {3.5}^{2} = 479.738636 kN \cdot m

M (C) = 139.518182 \times 7.5 - 0.7 \times {7.5}^{2} - 100 \times 4 = 607.011364 kN \cdot m

剪力在 AB／BC 全段為正，在 CD 全段為負；故最大彎矩位於 C，該處的

200 kN

荷載使剪力變號。D 旁的剪力幅值最大：

| V |_{\max} = 175.881818 kN

。

由計算繪製的剪力及彎矩圖，標示支承及荷載位置的縱座標；正值向上。所有數值均在計算過程重列。 — 計算所得的教學圖，並非原始來源圖片。Calculated diagrams＝計算內力圖；positive ordinates upward＝正縱座標向上；Shear force＝剪力；Bending moment＝彎矩。位置以 $m$ 、 $V$ 以 $kN$ 、 $M$ 以 $kN \cdot m$ 表示；圖中 A、B、C、D 與原樑圖位置相同。全部數值在解題步驟中另列。開啟原尺寸圖片。

動畫解說（Animation lab）建立剪力及彎矩圖（SFD / BMD）1 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意為 6 m 簡支樑承受 60 kN 集中荷載；先平衡反力，再切開截面。
在集中荷載之前， $V = R_{A}$ 、 $M = R_{A} x$ ，彎矩沿長度線性增加。
剪力向下跳 P；右側 $V = R_{A} - P$ ， $M = R_{A} x - P (x - a)$ 。
本例彎矩連續，並在 B 點回到零；若施加集中力偶，彎矩圖則會出現跳躍。

(c) BC 段 LTB——原卷 13 分

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

S355，翼緣

T = 22.1 mm

，故

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

翼緣：

\frac{b}{T} = 5.21 < 9 ε = 8.035248

受彎腹板：

\frac{d}{t} = 41.8 < 80 ε = 71.424431

兩者均為 Class 1，因此

β_{W} = 1

，可用塑性抗彎。

\frac{d}{t} = 41.8 < 70 ε = 62.496377

按課程限值，不需另做剪切屈曲計算。

翼緣（flange）厚 $22.1 mm$ ，即使鋼級叫 S355，仍須用 $p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。在上述模型中，BC 有效長度（effective length）為 $4,000 mm$ 。為清楚交代，四分點計算如下：

在

x = 4.5

：

M = 139.518182 \times 4.5 - 0.7 \times {4.5}^{2} - 100 \times 1

在

x = 5.5

：

M = 139.518182 \times 5.5 - 0.7 \times {5.5}^{2} - 100 \times 2

在

x = 6.5

：

M = 139.518182 \times 6.5 - 0.7 \times {6.5}^{2} - 100 \times 3

本段局部四分點由 A 量起分別為 $4.5$ 、 $5.5$ 、 $6.5 m$ 。代入（substitution）整樑 $M (x)$ 求該處彎矩（bending moment）；段內距離與全樑座標 $x$ 是不同的量。

M_{2} = M (4.5) = 513.656818 kN \cdot m

M_{3} = M (5.5) = 546.175000 kN \cdot m

M_{4} = M (6.5) = 577.293182 kN \cdot m

本段

M_{\max} = 607.011364 kN \cdot m

。

m_{LT} = 0.2 + \frac{0.15 | M_{2} | + 0.5 | M_{3} | + 0.15 | M_{4} |}{M_{\max}}

= 0.919476 > 0.44

等效需求

558.132273 kN \cdot m

。

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{4000}{50.3} = 79.522863

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{79.522863}{30.6})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.929847

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.875 \times 0.929847 \times 79.522863 \times 1 = 64.701095

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 345$ 欄：

60

行為

251

，

65

行為

234 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{64.701095 - 60}{65 - 60} = 0.940219

p_{b} = 251 + 0.940219 \times (234 - 251) = 235.016276 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{235.016276 \times 4142}{1,000} = 973.437414 kN \cdot m

等效均勻彎矩需求：

m_{LT} M_{\max} = 558.132273 kN \cdot m

利用率：

\frac{558.132273}{973.437414} = 0.573362

通過。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）4 個概念 · 8 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

(d) CD 段 LTB——原卷 10 分

淺白解說（Simple explanation）：為何彎矩圖形狀也重要？

最高值相同，但若很長一段都接近最高值，通常更吃力。

只看正在驗算的無側向約束段（Unrestrained segment）。
選課程適用圖示或四分點規則（Quarter-point rule）。
依指定驗算，把相應係數用在彎矩需求上。

注意（Remember）：鋼柱彎曲屈曲（Flexural buckling）係數不能和 LTB 係數互換。

相關概念與完整方法（Full method）

CD 長 $3.5 m$ 。均布荷載（uniformly distributed load, UDL）令其彎矩圖（bending moment diagram, BMD）略帶曲率（curvature），因此不能用完全三角形的 $β = 0$ 情況代替完整計算。三個四分點均須扣去 $100$ 及 $200 kN$ 集中荷載（point load）的彎矩（bending moment）貢獻。

M (x) = 139.518182 x - 0.7 x^{2} - 100 (x - 3.5) - 200 (x - 7.5)

分別代入

x = 8.375

、

9.25

、

10.125 m

。

本段局部四分點由 A 量起分別為 $8.375$ 、 $9.25$ 、 $10.125 m$ 。代入（substitution）整樑 $M (x)$ 求該處彎矩（bending moment）；段內距離與全樑座標 $x$ 是不同的量。

M_{2} = M (8.375) = 456.866335 kN \cdot m

M_{3} = M (9.25) = 305.649432 kN \cdot m

M_{4} = M (10.125) = 153.360653 kN \cdot m

本段

M_{\max} = 607.011364 kN \cdot m

。

m_{LT} = 0.2 + \frac{0.15 | M_{2} | + 0.5 | M_{3} | + 0.15 | M_{4} |}{M_{\max}}

= 0.602560 > 0.44

等效需求

365.761037 kN \cdot m

。

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{3500}{50.3} = 69.582505

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{69.582505}{30.6})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.944133

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.875 \times 0.944133 \times 69.582505 \times 1 = 57.483259

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 345$ 欄：

55

行為

268

，

60

行為

251 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{57.483259 - 55}{60 - 55} = 0.496652

p_{b} = 268 + 0.496652 \times (251 - 268) = 259.556920 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{259.556920 \times 4142}{1,000} = 1075.084763 kN \cdot m

等效均勻彎矩需求：

m_{LT} M_{\max} = 365.761037 kN \cdot m

利用率：

\frac{365.761037}{1075.084763} = 0.340216

通過。

在上述約束模型下，題目要求的兩段均通過。本題沒有要求驗算（check） AB 屈曲（buckling）；不能因 BC／CD 通過，就聲稱整條樑已全面驗算。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）4 個概念 · 7 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

精簡考試答案（exam answer）

$R_{A} = 139.518182$ 、 $R_{D} = 175.881818 kN$ ； $M_{B} = 479.738636$ 、 $M_{C} = 607.011364 kN \cdot m$ ；最大剪力（shear force） $175.881818 kN$ ； $p_{y} = 345$ 。BC： $L_{E} = 4 m$ ， $m_{LT} = 0.919476$ ，需求 $558.132273$ ， $λ_{LT} = 64.701095$ ， $p_{b} = 235.016276$ ， $M_{b} = 973.437414 kN \cdot m$ ，通過。CD： $L_{E} = 3.5 m$ ， $m_{LT} = 0.602560$ ，需求 $365.761037$ ， $λ_{LT} = 57.483259$ ， $p_{b} = 259.556920$ ， $M_{b} = 1075.084763 kN \cdot m$ ，通過。保留均布荷載（uniformly distributed load, UDL）引起的曲率（curvature），以及上述正常荷載／ $L_{E}$ 假設（assumption）。

應避免的錯誤

不要再對 $1.4 \frac{kN}{m}$ 乘荷載係數。
不要把 B／C 當成豎向支座。
$T = 22.1 mm$ 時用 $345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
兩項驗算（check）分別用 $4 m$ 及 $3.5 m$ 段長，不要都用全跨 $11 m$ 。
四分點位置必須以所選段為基準。

處理陌生變式的程序

求整樑反力（reaction），並計入均布荷載（uniformly distributed load, UDL）合力（resultant force）。
寫出分段剪力（shear force）／彎矩（bending moment）方程。
用剪力（shear force）正負號找實際最大彎矩（maximum bending moment）位置。
逐個指定段計算其四分點彎矩（bending moment）及係數。
查確切截面性質（section properties）及隨厚度（thickness）而定的強度，再計算 $u$ ／ $v$ 並插值（interpolation）求 $p_{b}$ 。
列明每段結果及驗算（check）範圍。

獨立自我測試

自行練習。自編變式：把 $1.4 \frac{kN}{m}$ 設計均布荷載（uniformly distributed load, UDL）改為零，保留兩個集中荷載（point load）。可以沿用 BC／CD 原有彎矩（bending moment）係數嗎？

顯示答案及解釋

不可以。反力（reaction）及全部彎矩圖（bending moment diagram, BMD）縱座標均改變，集中荷載（point load）之間各段彎矩圖變成直線。重新求兩端彎矩（bending moment），並用適用的直線彎矩係數。截面性質（section properties）及已列明的約束長度不變。