詳解例題

2023 BQ4：同一鋼樑（steel beam）的兩種約束配置

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

一條跨距 $6 m$ 的簡支 S355、 $406 \times 140 \times 46$ UB，假定為 Class 1；中央承受 $110 kN$ 設計集中荷載（point load），忽略自重（self-weight）。(a) 求最大剪力（shear force）及彎矩（bending moment）；(b) 只在支座設側向約束（lateral restraint）時驗算（check） LTB；(c) 中點另加有效側向約束後重做驗算。

原始來源：Pastpaper/22ENGTY033.pdf — 第 6 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，準確選取 $406 \times 140 \times 46$ UB 列。第 9 頁列尺寸，第 10 頁列截面性質（section properties）。 $D$ 是總深度； $d$ 是兩角根圓角之間的腹板（web）淨深度，不是型鋼標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 403.2$ 、腹板（web） $t = 6.8$ 、翼緣（flange） $T = 11.2$ 、角根半徑 $r = 10.2$ 、淨深 $d = 360.4$ ，單位全為 $mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 6.35$ ； $\frac{d}{t} = 53$ 。
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 15690 {cm}^{4} = 1.569 \times 10^{8} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 778 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 888 {cm}^{3}$ 。
LTB 所需性質	$r_{y} = 3.03 cm = 30.3 mm$ ； $u = 0.871$ ；扭轉指數 $x = 38.9$ 。

計算前：辨認題型與選擇策略

兩種配置的豎向荷載相同，因此反力（reaction）及彎矩圖（BMD）不變。改變的是無側向約束（lateral restraint）段：一段 $6 m$ 變成兩段 $3 m$ 。每段的彎矩（bending moment）係數和屈曲（buckling）抗力都要重新計算。

(a) 最大剪力（shear force）及彎矩（bending moment）——原卷 2 分

淺白解說（Simple explanation）：反力為何要平衡？（Equilibrium）

想像一塊蹺蹺板：不能跌下，也不能一直轉動。

向上反力（Reactions）總和要平衡向下荷載。
以支承點取矩（Moments），該支承反力便沒有力臂。
力臂（Lever arm）是取矩點至力作用線的垂直距離。

注意（Remember）：側向約束（Lateral restraint）不一定提供豎向支承。

相關概念與完整方法（Full method）

利用對稱性：

R_{A} = R_{C} = \frac{110}{2} = 55 kN

最大剪力幅值：

| V |_{\max} = 55 kN

跨中最大彎矩：

M_{\max} = \frac{P L}{4} = \frac{110 \times 6}{4} = 165 kN \cdot m

由計算繪製的剪力及彎矩圖，標示支承及荷載位置的縱座標；正值向上。所有數值均在計算過程重列。 — 計算所得的教學圖，並非原始來源圖片。Calculated diagrams＝計算內力圖；positive ordinates upward＝正縱座標向上；Shear force＝剪力；Bending moment＝彎矩。位置以 $m$ 、 $V$ 以 $kN$ 、 $M$ 以 $kN \cdot m$ 表示；圖中 A、B、C 對應左端、跨中（midspan）及右端。全部數值在解題步驟中另列。開啟原尺寸圖片。

動畫解說（Animation lab）反力與彎矩平衡（Equilibrium）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

本示意為 6 m 簡支樑及 60 kN 集中荷載，並非原題的荷載圖。
$R_{B} \times L = P \times a$ 。荷載越靠近 B， $R_{B}$ 越大。
$R_{A} = P - R_{B}$ 。兩個向上反力的總和必須等於 P。
荷載在跨中時， $R_{A} = R_{B} = 30 kN$ ；端彎矩、均布荷載及懸臂段均須加入各自的平衡項。

(b) 只在兩端設約束——原卷 14 分

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

S355，翼緣

T = 11.2 mm

，所以

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣：

\frac{b}{T} = 6.35 < 9 ε = 7.921268

受彎腹板：

\frac{d}{t} = 53 < 80 ε = 70.411267

兩者均屬 Class 1，所以

β_{W} = 1

，可用塑性彎矩承載力。

\frac{d}{t} = 53 < 70 ε = 61.609858

按課程限值，不須計算剪切屈曲。

整段 $6 m$ 的彎矩圖（bending moment diagram, BMD）是中間達峰值的三角形。局部四分點位於 $1.5$ 、 $3$ 、 $4.5 m$ ，彎矩（bending moment）分別為 $82.5$ 、 $165$ 、 $82.5 kN \cdot m$ 。

Table 8.4b：

m_{LT} = 0.2 + \frac{0.15 \times 82.5 + 0.5 \times 165 + 0.15 \times 82.5}{165}

= 0.2 + 0.075 + 0.5 + 0.075 = 0.85

等效均勻彎矩需求：

0.85 \times 165 = 140.25 kN \cdot m

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{6000}{30.3} = 198.019802

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{198.019802}{38.9})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.812407

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.871 \times 0.812407 \times 198.019802 \times 1 = 140.120058

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 355$ 欄：

140

行為

80

，

145

行為

75 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{140.120058 - 140}{145 - 140} = 0.024012

p_{b} = 80 + 0.024012 \times (75 - 80) = 79.879942 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{79.879942 \times 888}{1,000} = 70.933388 kN \cdot m

等效均勻彎矩需求：

m_{LT} M_{\max} = 140.250000 kN \cdot m

利用率：

\frac{140.250000}{70.933388} = 1.977207

不通過。

此樑未能通過 LTB 驗算（check）。截面抗彎力 $315.24 kN \cdot m$ 雖大於 $165$ ，但局部截面通過，不能推翻低得多的側向屈曲（buckling）抗力 $70.933388 kN \cdot m$ 所得結論。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）4 個概念 · 6 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

(c) 中點加設有效約束——原卷 14 分

淺白解說（Simple explanation）：這一步到底用哪個長度？

側向拉繫可縮短屈曲範圍，但不一定改變樑的豎向跨度。

分開支承跨度（Support span）與側向約束間距（Unbraced length）。
按實際端部約束及荷載，套課程有效長度（Effective length）規則。
豎向支承沒有改變，就保留原有豎向荷載分析。

注意（Remember）：約束某一方向，不代表同時約束另一方向。

相關概念與完整方法（Full method）

左側 $3 m$ 段現在由 A 點彎矩（bending moment） $0$ 增至 B 點 $165$ ；右段與它鏡像對稱。每段彎矩圖（bending moment diagram, BMD）均為直線三角形，最大值位於段端，而非段中。

端彎矩比：

β = \frac{0}{165} = 0

Table 8.4a：

m_{LT} = 0.6 + 0.4 β = 0.6

等效需求：

0.6 \times 165 = 99 kN \cdot m

每半段的新有效長度為

L_{E} = 3,000 mm

。

正常荷載的有效長度（effective length），採用所給分段長度。 $λ$ 及 $λ^{LT}$ 均為無量綱（dimension）量。此 Class 1 截面採用 $β_{W} = 1$ 。

λ = \frac{L_{E}}{r_{y}} = \frac{3000}{30.3} = 99.009901

v = {[1 + 0.05 {(\frac{λ}{x})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}}

= {[1 + 0.05 {(\frac{99.009901}{38.9})}^{2}]}^{- \frac{1}{4}} = 0.932256

λ_{LT} = u v λ \sqrt{β_{W}}

= 0.871 \times 0.932256 \times 99.009901 \times 1 = 80.395537

Data File 第 5 頁 Table 8.3a， $p_{y} = 355$ 欄：

80

行為

190

，

85

行為

175 \frac{N}{{mm}^{2}}

。插值比例：

\frac{80.395537 - 80}{85 - 80} = 0.079107

p_{b} = 190 + 0.079107 \times (175 - 190) = 188.813390 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{p_{b} S_{x}}{1,000} = \frac{188.813390 \times 888}{1,000} = 167.666290 kN \cdot m

等效均勻彎矩需求：

m_{LT} M_{\max} = 99.000000 kN \cdot m

利用率：

\frac{99.000000}{167.666290} = 0.590459

通過。

兩半段均通過。集中荷載（point load）本身不是側向約束（lateral restraint）；(c) 額外明確給該位置一個有效約束。建議展示的方法分依據：改變後的 $L_{E}$ 、彎矩（bending moment）係數、 $λ$ ／ $v$ ／ $λ_{LT}$ 、查表（table lookup）插值（interpolation）、抗力及結論。不要只寫「加約束後便安全」。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）4 個概念 · 5 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。

精簡考試答案（exam answer）

(a) $V = 55 kN$ ， $M = 165 kN \cdot m$ 。(b) $L_{E} = 6 m$ ， $m_{LT} = 0.85$ ，需求 $140.25$ ； $λ = 198.019802$ ， $v = 0.812407$ ， $λ_{LT} = 140.120058$ ， $p_{b} = 79.879942$ ， $M_{b} = 70.933388 kN \cdot m$ ，不通過。(c) 兩段各 $L_{E} = 3 m$ ， $m_{LT} = 0.6$ ，需求 $99$ ； $λ = 99.009901$ ， $v = 0.932256$ ， $λ_{LT} = 80.395537$ ， $p_{b} = 188.813390$ ， $M_{b} = 167.666290 kN \cdot m$ ，通過。採上述正常荷載／ $L_{E}$ 假設（assumption）。

應避免的錯誤

不要再對 $110 kN$ 設計荷載（design load）乘荷載係數。
半跨段不要用 $m_{LT} = 0.85$ 。
不要因為分成兩段，就把螺栓（bolt）／鋼樑（steel beam）荷載加倍。
局部截面抗彎通過，並不排除 LTB 失效。

處理陌生變式的程序

保留相同的豎向荷載分析。
按各配置重畫側向約束（lateral restraint）分段界線。
按每段實際彎矩圖（bending moment diagram, BMD）計算該段彎矩（bending moment）係數。
用該段長度重新計算長細比（slenderness ratio）及抗力。
把等效需求與 $M_{b}$ 比較，分別寫出每種配置的結論。

獨立自我測試

自行練習。自編變式：保留中點約束，中央設計荷載（design load）增至 $180 kN$ 。LTB 是否仍通過？

顯示答案及解釋

新最大彎矩（maximum bending moment） $M = \frac{180 \times 6}{4} = 270 kN \cdot m$ ；半跨段 $m_{LT}$ 仍為 $0.6$ ，需求為 $162 kN \cdot m$ 。抗力仍為 $167.666290 kN \cdot m$ ，故 LTB 僅以小幅裕量通過。其他驗算（check）亦須更新；此結論只針對上述 LTB 模型。

動畫解說（Animation lab）樑的側移與扭轉（Lateral-torsional buckling）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

示意樑承受正彎矩，因此上翼緣受壓。
無側向約束的受壓翼緣可向旁移動，並帶動整個截面扭轉。
只有有效約束才能分隔無側向支承段；它們不會自動增添垂直支承。
逐段使用有效長度、截面性質及相應彎矩係數；此為放大的屈曲模式，不是計算位移。