詳解例題

2023 AQ1：必答樓面鋼樑（steel beam）設計及理論

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

完成 $40$ 分必答題。樓板（slab）厚 $125 mm$ ，混凝土單位重（unit weight） $24.5 \frac{kN}{m^{3}}$ ，飾面 $0.5 \frac{kN}{m^{2}}$ ，外加荷載（imposed load） $2.5 \frac{kN}{m^{2}}$ 。B1 為 $356 \times 127 \times 39$ UB，B2 為 $356 \times 171 \times 51$ UB，全部 S355。以 $g = 10 \frac{m}{s^{2}}$ 計入自重（self-weight）。鋼樑（steel beam）為簡支、有完全側向約束（lateral restraint），並承托脆性（brittleness）飾面。

原始來源：Pastpaper/22ENGTY033.pdf — 第 2 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料類型	準確來源位置
已知樓板（slab）資料	題目段落： $125 mm$ 厚、單位重（unit weight） $24.5$ 、飾面 $0.5$ 、外加荷載（imposed load） $2.5$ 。
已知支承／跨度（span）	Figure AQ1 的尺寸鏈及柱符號；配合原裁圖旁的解釋閱讀。
計得寬度	內部 B1 分擔荷載（tributary load）寬度 $\frac{2.5}{2} + \frac{2.5}{2} = 2.5 m$ 。
查表（table lookup）自重（self-weight）	Data File 第 9 頁給 B1 質量 $39.1 \frac{kg}{m}$ ；B2 質量 $51 \frac{kg}{m}$ 。標稱截面名稱內的質量可能已取整。
方法適用性	題目明確指定樓板（slab）提供完全側向約束（lateral restraint）；沒有假定組合截面增強作用。

計算前：辨認題型與選擇策略

這類必答題反覆考同一條解題次序：樓板（slab）面荷載（area load） → 樑分擔線荷載（line load） → 傳到承托樑的反力（reaction） → 截面分類（section classification） → 抗剪／抗彎 → 只計外加荷載（imposed load）的撓度（deflection）。須按實際平面方向作答；單看 B1／B2 名稱不能知道樑跨向。

(a)(i) 樓板（slab）設計面荷載（area load）——原卷 4 分

淺白解說（Simple explanation）：為何先分開恆載與外加荷載？

像兩個購物籃，各自乘不同系數後才加起來。

自重及永久飾面放入恆載（Dead load, G）籃。
指定使用荷載放入外加荷載（Imposed load, Q）籃。
本課程所述重力極限組合（ULS）： $1.4 G + 1.6 Q$ 。

注意（Remember）：這個 ULS 組合不是外加荷載撓度（Imposed-load deflection）的計算荷載。

相關概念與完整方法（Full method）

樓板厚度：

125 mm = 0.125 m

混凝土恆載：

0.125 \times 24.5 = 3.0625 \frac{kN}{m^{2}}

g_{k} = 3.0625 + 0.5 = 3.5625 \frac{kN}{m^{2}}

q_{k} = 2.5 \frac{kN}{m^{2}}

極限面荷載：

1.4 \times 3.5625 + 1.6 \times 2.5 = 8.9875 \frac{kN}{m^{2}}

混凝土單位重（unit weight）為 $\frac{kN}{m^{3}}$ ，乘以米為單位的樓板（slab）厚度（thickness），才得到 $\frac{kN}{m^{2}}$ 。面荷載（area load）還不是樑線荷載（line load）；下一步須加入分擔荷載（tributary load）寬度。

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
本示意使用課程重力組合 $1.4 G + 1.6 Q$ ；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
示意取 $G = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ ；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

(a)(ii) 兩條樑的內力——原卷 8 分

淺白解說（Simple explanation）：樓板荷載怎樣走到樑？（Load path）

每條樑收集屬於自己的那條樓板帶所承受的荷載。

按平面圖找分擔寬度（Tributary width）。
面荷載（Area load）× 分擔寬度 = 線荷載（Line load）。
支承另一條樑時，接收的是該樑的端反力（End reaction）。

注意（Remember）：端反力形成集中荷載（Point load），不能直接當作均佈荷載（UDL）。

相關概念與完整方法（Full method）

B1 樑：

分擔荷載寬度：

\frac{2.5}{2} + \frac{2.5}{2} = 2.5 m

B1 自重：

\frac{39.1 \frac{kg}{m} \times 10 \frac{m}{s^{2}}}{1,000} = 0.391 \frac{kN}{m}

恆載線荷載：

3.5625 \times 2.5 + 0.391 = 9.297250 \frac{kN}{m}

外加線荷載：

2.5 \times 2.5 = 6.25 \frac{kN}{m}

極限線荷載：

w = 1.4 \times 9.297250 + 1.6 \times 6.25 = 23.016150 \frac{kN}{m}

每端反力：

R = \frac{w L}{2} = \frac{23.016150 \times 7}{2} = 80.556525 kN

V_{\max} = R = 80.556525 kN

剪力

V (x) = R - w x

在

x = 3.5 m

處為零。

M_{\max} = \frac{w L^{2}}{8} = \frac{23.016150 \times 7^{2}}{8} = 140.973919 kN \cdot m

$39 \frac{kg}{m}$ 是標稱名稱；準確截面表（section tables）質量為 $39.1 \frac{kg}{m}$ 。須說明所用慣例並貫徹使用。B1 的豎向支承間距為 $7 m$ ，樓板（slab）分擔寬度（tributary width） $2.5 m$ 並不是樑跨度（span）。

B2 樑：

每條 B2 在中點承受一個 B1 端反力，

P = 80.556525 kN

。B2 自重：

\frac{51 \times 10}{1,000} = 0.51 \frac{kN}{m}

B2 極限均布荷載：

w = 1.4 \times 0.51 = 0.714 \frac{kN}{m}

跨度：

L = 2.5 + 2.5 = 5 m

每端反力：

R = \frac{P}{2} + \frac{w L}{2} = \frac{80.556525}{2} + \frac{0.714 \times 5}{2} = 42.063262 kN

V_{\max} = 42.063262 kN

M_{\max} = \frac{P L}{4} + \frac{w L^{2}}{8}

= \frac{80.556525 \times 5}{4} + \frac{0.714 \times 5^{2}}{8} = 102.926906 kN \cdot m

傳來的 $P$ 已乘荷載系數，不要再乘一次。此處 B2 全跨均布荷載（uniformly distributed load, UDL）只有本身自重（self-weight）：單向樓板（slab）荷載經 B1 傳來，或到達已有支承的端節點，不可任意沿 B2 攤開。

動畫解說（Animation lab）追蹤樓面荷載（3D load path）4 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

樓面承受 $\frac{kN}{m ^{2}}$ 的面荷載；標示的樓面帶由一條次樑承擔。
面荷載乘分擔寬度（tributary width）： $w = q \times b$ 。本示意 $q = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ 。
主樑在接駁位置承受次樑反力；該反力不會自動變成全跨均布荷載。
反力沿鋼柱傳至基礎；同一承載面積只計一次。

(a)(iii) 兩種截面分類（section classification）——原卷 4 分

淺白解說（Simple explanation）：薄板會先起皺（Local buckling）

整根鋼構件尚未發揮預期承載力，薄板部分可能已先起皺。

分別按定義算翼緣（Flange）及腹板（Web）的寬厚比。
把各比值與適用截面類別（Section class）界限比較。
較不利板件決定整個截面的類別。

注意（Remember）：彎曲（Bending）與均勻受壓（Uniform compression）的界限不同。

相關概念與完整方法（Full method）

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，準確選取 $356 \times 127 \times 39$ UB 列。第 9 頁列尺寸，第 10 頁列截面性質（section properties）。 $D$ 是總高； $d$ 是兩根部圓角（root radius）之間的腹板淨高（clear web depth），不是截面名稱的標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 353.4$ 、腹板（web） $t = 6.6$ 、翼緣（flange） $T = 10.7$ 、根部 $r = 10.2$ 、淨高 $d = 311.6$ ，全部以 $mm$ 計。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 5.89$ ； $\frac{d}{t} = 47.2$ 。
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 10170 {cm}^{4} = 1.017 \times 10^{8} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 576 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 659 {cm}^{3}$ 。
LTB 所需性質	$r_{y} = 2.68 cm = 26.8 mm$ ； $u = 0.871$ ；扭轉指數 $x = 35.2$ 。

S355，翼緣

T = 10.7 mm

，故

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣：

\frac{b}{T} = 5.89 < 9 ε = 7.921268

彎曲腹板：

\frac{d}{t} = 47.2 < 80 ε = 70.411267

兩者均為 Class 1，故

β_{W} = 1

，可採塑性抗彎。

\frac{d}{t} = 47.2 < 70 ε = 61.609858

按課程限值，不必另作剪切屈曲計算。

查表（table lookup）：Data File 第 9–10 頁，準確選取 $356 \times 171 \times 51$ UB 列。第 9 頁列尺寸，第 10 頁列截面性質（section properties）。 $D$ 是總高； $d$ 是兩根部圓角（root radius）之間的腹板淨高（clear web depth），不是截面名稱的標稱尺寸。

截面性質（section properties）	查表（table lookup）值／換算
尺寸	$D = 355$ 、腹板（web） $t = 7.4$ 、翼緣（flange） $T = 11.5$ 、根部 $r = 10.2$ 、淨高 $d = 311.6$ ，全部以 $mm$ 計。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 7.46$ ； $\frac{d}{t} = 42.1$ 。
強軸（major axis）截面性質（section properties）	$I_{x} = 14140 {cm}^{4} = 1.414 \times 10^{8} {mm}^{4}$ ； $Z_{x} = 797 {cm}^{3}$ ； $S_{x} = 896 {cm}^{3}$ 。
LTB 所需性質	$r_{y} = 3.86 cm = 38.6 mm$ ； $u = 0.881$ ；扭轉指數 $x = 32.1$ 。

S355，翼緣

T = 11.5 mm

，故

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

翼緣：

\frac{b}{T} = 7.46 < 9 ε = 7.921268

彎曲腹板：

\frac{d}{t} = 42.1 < 80 ε = 70.411267

兩者均為 Class 1，故

β_{W} = 1

，可採塑性抗彎。

\frac{d}{t} = 42.1 < 70 ε = 61.609858

按課程限值，不必另作剪切屈曲計算。

兩條樑均屬 Class 1，不需 Class 4 有效截面性質（section properties）計算。試卷已給樓板（slab）完全側向約束（lateral restraint），所以這些樓面樑不必驗算（check） LTB；仍須驗算局部抗剪／抗彎及撓度（deflection）。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）1 個概念 · 28 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

(a)(iv) B1 是否足夠——原卷 10 分

淺白解說（Simple explanation）：一邊壓、一邊拉（Bending）

彎曲使截面兩側做相反工作：一側被壓短，另一側被拉長。

先按實際荷載及支承求彎矩（Moment）。
按截面類別選適用抗彎承載力（Moment resistance）公式。
檢查同一位置的共同作用剪力（Coexistent shear）會否改變公式。

注意（Remember）：要用該位置的剪力，不是隨意套用另一位置的最大剪力。

相關概念與完整方法（Full method）

A_{v} = t D = 6.6 \times 353.4 = 2332.44 {mm}^{2}

V_{c} = \frac{p_{y} A_{v}}{\sqrt{3}} = \frac{355 \times 2332.44}{\sqrt{3} \times 1,000} = 478.055376 kN

V_{\max} = 80.556525 kN < V_{c}

抗剪通過。

0.6 V_{c} = 286.833226 kN > V_{\max}

即使峰值剪力亦屬低剪力，故全樑均可採低剪力抗彎式。

M_{c} = \min (p_{y} S_{x}, 1.2 p_{y} Z_{x})

= \min (\frac{355 \times 659}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 576}{1,000})

= \min (233.945, 245.376) = 233.945 kN \cdot m

| M |_{\max} = 140.973919 kN \cdot m

抗彎通過。

B1 外加線荷載：

q = 2.5 \times 2.5 = 6.25 \frac{kN}{m} = 6.25 \frac{N}{mm}

L = 7,000 mm

E = 205,000 \frac{N}{{mm}^{2}}

I_{x} = 10,170 \times 10^{4} {mm}^{4}

δ_{B 1} = \frac{5 q L^{4}}{384 E I}

= \frac{5 \times 6.25 \times {7,000}^{4}}{384 \times 205,000 \times 10,170 \times 10^{4}} = 9.372083 mm

脆性飾面限值：

\frac{7,000}{360} = 19.444444 mm

9.372083 < 19.444444

，通過。

動畫解說（Animation lab）觀察腹板剪力（Shear resistance）4 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

內部剪力使切口兩側保持垂直平衡。
課程常見工字截面主要由腹板提供剪切面積，但須採指定定義。
較薄腹板可能需要先按另一剪切屈曲程序驗算，不能直接沿用簡式。
在課程適用條件下使用 $V_{c} = \frac{p _{y} A _{v}}{3}$ ；應先把 N 換成 kN，再與設計剪力比較。

(a)(v) B2 是否足夠——原卷 10 分

淺白解說（Simple explanation）：樑下垂多少？（Deflection）

強度問會否破壞；撓度問移動了多遠。

用題目指定的正常使用荷載（Serviceability load case）。
選符合支承及荷載位置的撓度公式。
荷載、長度、E 和 I 的單位要互相配合。

注意（Remember）：最大撓度（Maximum deflection）不一定在跨中（Midspan）。

相關概念與完整方法（Full method）

A_{v} = t D = 7.4 \times 355 = 2627 {mm}^{2}

V_{c} = \frac{p_{y} A_{v}}{\sqrt{3}} = \frac{355 \times 2627}{\sqrt{3} \times 1,000} = 538.428201 kN

V_{\max} = 42.063262 kN < V_{c}

抗剪通過。

0.6 V_{c} = 323.056920 kN > V_{\max}

即使峰值剪力亦屬低剪力，故全樑均可採低剪力抗彎式。

M_{c} = \min (p_{y} S_{x}, 1.2 p_{y} Z_{x})

= \min (\frac{355 \times 896}{1,000}, \frac{1.2 \times 355 \times 797}{1,000})

= \min (318.08, 339.522) = 318.08 kN \cdot m

| M |_{\max} = 102.926906 kN \cdot m

抗彎通過。

B1 傳給 B2、只計外加荷載的反力：

P_{q} = \frac{(2.5 \times 2.5) \times 7}{2} = 21.875 kN

L = 5,000 mm

I_{x} = 14,140 \times 10^{4} {mm}^{4}

δ_{B 2} = \frac{P L^{3}}{48 E I}

= \frac{21875 \times {5,000}^{3}}{48 \times 205,000 \times 14,140 \times 10^{4}} = 1.965231 mm

脆性飾面限值：

\frac{5,000}{360} = 13.888889 mm

1.965231 < 13.888889

，通過。

動畫解說（Animation lab）觀察腹板剪力（Shear resistance）4 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

內部剪力使切口兩側保持垂直平衡。
課程常見工字截面主要由腹板提供剪切面積，但須採指定定義。
較薄腹板可能需要先按另一剪切屈曲程序驗算，不能直接沿用簡式。
在課程適用條件下使用 $V_{c} = \frac{p _{y} A _{v}}{3}$ ；應先把 N 換成 kN，再與設計剪力比較。

(b) 兩種防腐蝕方法——原卷 4 分

保護漆／塗層系統（protective coating system）：先處理鋼材表面，再施作及維護合適保護塗層，隔開水分／氧氣與鋼材。須解釋屏障機制；只寫「油漆」便漏掉它為何有效。

鍍鋅（galvanizing）：施加鋅層，既作屏障，亦因鋅優先腐蝕而提供犧牲保護。須明確指出鋅，不是泛指有顏色的飾面。

兩方法對應 Ch 1 第 2 頁的腐蝕討論。良好排水／避免積水是有用的構造補充，不能沒有依據地用它代替解釋題目要求的兩方法。試卷未指定塗層厚度（thickness）或維護間隔。

動畫解說（Animation lab）防腐保護如何作用（Corrosion）1 個概念

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

腐蝕會消耗鋼材，減少有效厚度。
油漆及金屬鍍層保護暴露表面，保護層的完整性十分重要。
邊緣、塗層損壞及積水位置需要留意；模型僅示意各層的關係。
耐候鋼及陰極保護（cathodic protection）各有適用環境，不能一概代替油漆。

精簡考試答案（exam answer）

結果	$B1$	$B2$
極限自重（self-weight）／樓面線荷載（line load）模型	$w = 23.016150 \frac{kN}{m}$	$P = 80.556525 kN$ ； $w = 0.714 \frac{kN}{m}$
最大剪力（shear force）	$80.556525 kN$	$42.063262 kN$
最大彎矩（maximum bending moment）	$140.973919 kN \cdot m$	$102.926906 kN \cdot m$
截面類別（section class）	$1$	$1$
外加荷載（imposed load）撓度（deflection）／限值	$9.372083$ ／ $19.444444 mm$	$1.965231$ ／ $13.888889 mm$
題目要求的適用性結論	通過	通過

樓板（slab） $g_{k} = 3.5625$ 、 $q_{k} = 2.5$ 、極限面荷載（area load） $8.9875 \frac{kN}{m^{2}}$ 。最後 $4$ 分部分採上方理論解釋。精簡考試答案（exam answer）仍須列單位、塑性（plasticity）上限及正常使用荷載（service load）的選擇。

應避免的錯誤

不要把樓板（slab）跨間寬度當成承托樑跨度（span）。
不要把傳來的反力（reaction）重複乘荷載系數。
只計外加荷載（imposed load）的撓度（deflection）式，不要用設計荷載（design load）。
不要混淆 $I$ （ ${cm}^{4}$ ）、 $Z$ （ ${cm}^{3}$ ）及 $S$ （ ${cm}^{3}$ ）。
抗彎通過，不代表撓度（deflection）也通過。

處理陌生變式的程序

標出樓板（slab）跨向箭嘴、支承點及構件跨度（span）。
分別求恆載（dead load）／外加面荷載（area load）及線荷載（line load）。
每條被支承樑的反力（reaction）只傳遞一次。
求承載能力極限狀態（ULS）內力，並按每個準確截面分類（section classification）。
先驗算（check）抗剪／低剪力（low shear）抗彎，再驗算只計外加荷載（imposed load）的撓度（deflection）。
最後明確寫通過／不通過，並回答簡答理論部分。

獨立自我測試

自己試做。自編變式：只把外加面荷載（area load）增加 $20 %$ 。兩條樑的撓度（deflection）驗算（check）有甚麼變化？

顯示答案及解釋

只計外加荷載（imposed load）的撓度（deflection）乘 $1.2$ ：B1 變為 $11.246500 mm$ ，B2 變為 $2.358277 mm$ 。分別比較 $19.444444$ 及 $13.888889 mm$ ，兩者仍低於限值。強度內力須按 $1.4 G + 1.6 \times 1.2 Q$ 重算；恆載（dead load）不變，所以不能全部直接乘 $1.2$ 。