詳解例題

鋼柱（steel column）例題 5：軸力（axial force）加雙軸端彎矩（bending moment）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

驗算（check）支撐無側移框架（non-sway frame）中的 S355 $254 \times 254 \times 89$ UC 柱。柱長 $4.5 m$ ，一端固定、一端鉸接（pinned connection），設計壓力（compressive force） $1,650 kN$ 。已乘荷載分項系數（partial load factor）的一階端彎矩（bending moment）： $M_{x}$ 頂／底為 $+ 80$ ／ $+ 24 kN \cdot m$ ， $M_{y}$ 頂／底為 $+ 30$ ／ $- 21 kN \cdot m$ 。繞 $x$ 、 $y$ 軸放大系數分別為 $1.08$ 、 $1.15$ 。給定已放大的 $M^{LT} = 86.4 kN \cdot m$ ，分佈與 $M_{x}$ 相同。

原始來源：LectureNotes/Ch 4_Column.pdf — 第 36 頁、第 37 頁、第 38 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

Ch 4 第 36 頁是荷載列表，沒有結構示意圖。clockwise＝順時針，取正；anti-clockwise＝逆時針（anticlockwise），取負。top／bottom＝頂端／底端；factored＝已乘荷載分項系數（partial load factor）；amplification factor＝彎矩（bending moment）放大系數。

4.5 m

長度及固定／鉸接（pinned connection）文字確立模型。原表把放大效應寫成

P - Δ - δ

；其已放大彎矩原式為

M_{LT} = 80 \times 1.08 = 86.4 kN \cdot m

，分佈與

M_{x}

相同。正文亦使用

M^{LT}

記法指同一給定彎矩，不能把它當成另一個未放大輸入。原荷載表及正負號約定保留，沒有推斷新尺寸；各端矩及截面性質（section properties）在下方按步驟排版。開啟原尺寸圖片

讀圖並整理已知資料（given data）

輸入資料	含義／數值來源
端彎矩（bending moment）	給定外加箭嘴正負號：繞 $x$ 為 $+ 80$ ／ $+ 24$ ；繞 $y$ 為 $+ 30$ ／ $- 21$ 。須換成 Table 8.9 內力彎矩圖（bending moment diagram, BMD）的端矩比。
彎矩（bending moment）放大	給定 $1.08$ 及 $1.15$ ； $M^{LT} = 86.4$ 已包括放大。
型鋼表列	Data File 第 11 頁， $254 \times 254 \times 89$ UC： $T = 17.3$ 、 $t = 10.3$ 、 $d = 200.3 mm$ ； $\frac{b}{T} = 7.41$ 、 $\frac{d}{t} = 19.4$ ； $r_{x} = 11.2 cm$ 、 $r_{y} = 6.55 cm$ ； $A = 113 {cm}^{2}$ ； $Z_{x} = 1,096$ 、 $Z_{y} = 379$ 、 $S_{x} = 1,224$ 、 $S_{y} = 575 {cm}^{3}$ ； $u = 0.850$ 、 $x = 14.5$ 。
約束／曲線選擇	Table 8.6 建議固定／鉸接（pinned connection） $K = 0.85$ ；熱軋（hot-rolled） H 型截面厚度（thickness） $\leq 40 mm$ ，繞 $x$ 用曲線 b，繞 $y$ 用曲線 c。

計算前：辨認題型與選擇策略

這是連續框架的端彎矩（bending moment）設計，須用完整 $u - v$ LTB 程序，並分別查彎曲屈曲（flexural buckling）及 LTB 的彎矩系數（moment factor）表。共驗算（check）三項：局部截面相互作用（interaction）、構件彎曲屈曲相互作用，以及軸力（axial force）／LTB 相互作用。截面彎矩分母是受上限限制的塑性（plasticity）承載力（resistance）；構件分母則是彈性（elasticity） $p_{y} Z$ 。來源 LTB 式的弱軸（minor axis）項用一階 $M_{y}$ ，彎曲屈曲式則用已放大 $M_{y}$ 。

1. 強度、組合應力（stress）分類及彎矩（bending moment）

T = 17.3 mm

位於

16 < T \leq 40

，所以

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

Class 1 翼緣限值

9 ε = 8.03525

；

\frac{b}{T} = 7.41 < 8.03525

。腹板壓力比：

r_{1} = \frac{F_{c}}{d t p_{y}}

= \frac{1,650,000}{200.3 \times 10.3 \times 345} \approx 2.318

按所提供分類規則，

r_{1}

限於

1

。Class 1 腹板限值：

\frac{80 ε}{1 + r_{1}} = \frac{80 \times 0.892805}{2} = 35.7122

\frac{d}{t} = 19.4 < 35.7122

，腹板為 Class 1，整體亦為 Class 1。

M_{x, amp} = 1.08 \times 80 = 86.4 kN \cdot m

M_{y, amp} = 1.15 \times 30 = 34.5 kN \cdot m; M_{y, first} = 30 kN \cdot m

給定

M_{LT} = 86.4 kN \cdot m

，不要再次放大。

未限制的 $r_{1}$ 超過 $1$ ，因為軸力（axial force）除的是腹板（web）面積 $d t$ ，不是總截面面積（cross-sectional area）。課程分類參數有上限；這不表示毛截面軸壓已超過承載力（resistance）。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

2. 截面相互作用（interaction）

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

A_{g} p_{y} = \frac{113 \times 100 \times 345}{1,000} = 3,898.5 kN

強軸：

p_{y} S_{x} = \frac{345 \times 1,224}{1,000} = 422.28 kN \cdot m

上限：

1.2 p_{y} Z_{x} = \frac{1.2 \times 345 \times 1,096}{1,000} = 453.744 kN \cdot m

M_{cx} = 422.28 kN \cdot m

弱軸：

p_{y} S_{y} = \frac{345 \times 575}{1,000} = 198.375 kN \cdot m

上限：

1.2 p_{y} Z_{y} = \frac{1.2 \times 345 \times 379}{1,000} = 156.906 kN \cdot m

M_{cy} = 156.906 kN \cdot m

利用率：

\frac{1,650}{3,898.5} + \frac{86.4}{422.28} + \frac{34.5}{156.906}

= 0.847720 < 1

截面通過。

給定荷載表中，兩軸最大彎矩（maximum bending moment）大小均在柱頂，所以在該處與指定軸壓同時存在。 $M_{cy}$ 由弱軸（minor axis）上限分支控制。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

3. 有效長度（effective length）及兩軸抗壓屈曲（buckling）承載力（resistance）

L_{Ex} = L_{Ey} = 0.85 \times 4,500 = 3,825 mm

r_{x} = 112 mm; r_{y} = 65.5 mm

λ_{x} = \frac{3,825}{112} = 34.151786

λ_{y} = \frac{3,825}{65.5} = 58.396947

$x$ 軸選曲線 b， $y$ 軸選曲線 c，均用 $p_{y} = 345$ 。來源只列控制的 $y$ 軸結果；下方 $x$ 軸查表（table lookup）補齊略去的比較。

曲線 b，

x

軸：

30

列為

325

，

35

列為

318 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{34.151786 - 30}{35 - 30} = 0.830357

p_{c} = 325 + 0.830357 \times (318 - 325) = 319.187500 \frac{N}{{mm}^{2}}

曲線 c，

y

軸：

58

列為

247

，

60

列為

241 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{58.396947 - 58}{60 - 58} = 0.198473

p_{c} = 247 + 0.198473 \times (241 - 247) = 245.809160 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{113 \times 319.187500}{10} = 3606.818750 kN

P_{cy} = \frac{113 \times 245.809160}{10} = 2777.643511 kN

P_{c} = P_{cy} = 2777.643511 kN

動畫解說（Animation lab）有效長度與屈曲軸（Column buckling）3 個概念 · 3 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

鋼柱可能在截面到達壓潰承載力前已側向彎曲。
每個軸向有自己的迴轉半徑及約束間距。
$λ = \frac{L _{E}}{r}$ ，兩者須用相同長度單位；拉繫只影響它實際約束的方向。
先選各軸屈曲曲線及抗壓強度，再求 Pc；控制軸由承載力決定，不能只比較細長比。

4. 分別查兩軸彎曲屈曲（flexural buckling）系數及 LTB 系數

淺白解說（Simple explanation）：相似的彎矩係數，為何不能互換？

像兩份食譜：材料相同，也可能有不同分量。

先分清彎曲屈曲（Flexural buckling）或側扭屈曲（LTB）。
看實際彎矩圖（Moment diagram），包括正負號有否改變。
採用該驗算專用表格、正負號規則及最小係數界限。

注意（Remember）：表 8.9 的彎曲屈曲係數，不是表 8.4 的 LTB 係數。

相關概念與完整方法（Full method）

題目正負號描述外加端彎矩（bending moment）的順／逆時針（anticlockwise）方向。換成內力端彎矩圖（bending moment diagram, BMD）時，底端符號須相對荷載表反轉。因此 $x$ 軸兩個同為正的外加端矩會產生反向彎矩圖； $y$ 軸外加端矩一正一負，則產生同側彎矩圖。

β_{x} = \frac{- 24}{80} = - 0.3

Table 8.9：

m_{x} = 0.54

。

β_{y} = \frac{- (- 21)}{30} = + 0.7

Table 8.9：

m_{y} = 0.88

。

M_{LT}

與

x

軸彎矩圖形相同，

β = - 0.3

。Table 8.4a：

m_{LT} = 0.48

。

不要把 $0.48$ 當作 $m_{x}$ ；它來自另一張 LTB 表。同一軸的均勻放大把兩端同乘一個系數，所以端彎矩（bending moment）比不變。

動畫解說（Animation lab）讀取同一段的彎矩形狀（Moment factor）3 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

彎矩縱座標須屬於同一個有效無側向支承段。
同側彎曲與反曲率彎矩圖有不同的端彎矩比正負號。
標記是此段的 ¼、½、¾ 位置，不一定是整樑的四分點。
側扭屈曲與柱彎曲屈曲係數不同，須保留各自的界限及係數組。

5. 用彈性（elasticity）分母驗算（check）構件彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用（interaction）

M_{ex} = p_{y} Z_{x} = \frac{345 \times 1,096}{1,000} = 378.12 kN \cdot m

M_{ey} = p_{y} Z_{y} = \frac{345 \times 379}{1,000} = 130.755 kN \cdot m

U_{flex} = \frac{1,650}{2777.643511} + \frac{0.54 \times 86.4}{378.12} + \frac{0.88 \times 34.5}{130.755}

= 0.594029 + 0.123389 + 0.232190

= 0.949608 < 1

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

6. 軸力（axial force）／LTB 相互作用（interaction）

淺白解說（Simple explanation）：樑也會向側面逃走（LTB）

受壓翼緣向側面移，整個截面同時扭轉。

在有效側向約束（Lateral restraints）位置分段。
用各段有效長度（Effective length）求屈曲抗力。
把該抗力與該段等效彎矩需求（Equivalent moment demand）比較。

注意（Remember）：截面抗彎通過，不代表側扭屈曲（Lateral-torsional buckling）通過。

相關概念與完整方法（Full method）

λ = 58.396947

；截面扭轉指數

x = 14.5

。

v = {[1 + 0.05 {(\frac{58.396947}{14.5})}^{2}]}^{- 0.25} = 0.862028

β_{w} = 1; λ_{LT} = 0.850 \times 0.862028 \times 58.396947 = 42.788808

Table 8.3a，

p_{y} = 345

欄：

40

列為

317

，

45

列為

302 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{42.788808 - 40}{45 - 40} = 0.557762

p_{b} = 317 + 0.557762 \times (302 - 317) = 308.633576 \frac{N}{{mm}^{2}}

M_{b} = \frac{308.633576 \times 1,224}{1,000} = 377.767497 kN \cdot m

U_{LT} = \frac{1,650}{2777.643511} + \frac{0.48 \times 86.4}{377.767497} + \frac{0.88 \times 30}{130.755}

= 0.594029 + 0.109782 + 0.201904

= 0.905715 < 1

通過。

最後一項刻意用 $30 kN \cdot m$ ：來源 Eq.8.81 用帶橫線的一階 $M_{y}$ 。 $86.4 kN \cdot m$ 的 $M^{LT}$ 已放大。三項相互作用（interaction）全數通過；構件彎曲屈曲（flexural buckling）相互作用最接近 $1$ 。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

精簡考試答案（exam answer）

S355 $254 \times 254 \times 89$ UC： $p_{y} = 345$ ，Class 1。截面利用率（utilisation ratio） $0.84772$ 。 $L^{E} = 3,825 mm$ ； $λ_{x} = 34.1518$ 、 $λ_{y} = 58.3969$ ；曲線 b／c 得 $p_{cx} = 319.1875$ 、 $p_{cy} = 245.8092 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。 $P_{c} = P_{cy} = 2,777.6435 kN$ 。 $m_{x} = 0.54$ 、 $m_{y} = 0.88$ ；彈性（elasticity）承載力（resistance） $378.12$ ／ $130.755 kN \cdot m$ ；彎曲屈曲（flexural buckling）利用率 $0.94961$ 。 $v = 0.862028$ 、 $λ^{LT} = 42.7888$ 、 $p_{b} = 308.6336$ 、 $M_{b} = 377.7675 kN \cdot m$ 、 $m^{LT} = 0.48$ ；軸力（axial force）／LTB 利用率 $0.90571$ 。全部通過。

應避免的錯誤

$17.3 mm$ 翼緣（flange）用 $345$ ，不是 $355$ 。
弱軸（minor axis）須套用 $1.2 p_{y} Z$ 上限。
構件相互作用（interaction）式不能用受上限限制的塑性（plasticity）承載力（resistance）作分母。
區分外加端彎矩（bending moment）正負號與內力彎矩圖（bending moment diagram, BMD）正負號。
來源 Eq.8.81 該項保留一階 $M_{y}$ 。

處理陌生變式的程序

辨認軸力（axial force）、任何彎矩（bending moment）、實際長度（actual length）及兩軸約束。
選截面／讀表，按實際厚度（thickness）確認強度。
核對適用的翼緣（flange）及腹板（web）局部長細比（slenderness ratio）限值。
分別求 $λ_{x}$ 、 $λ_{y}$ ，選各軸曲線，再內插（interpolation） $p_{c}$ 。
計算兩軸抗壓承載力（compression resistance），指出控制軸。
若有彎矩（bending moment），須用各自對應的承載力（resistance）及彎矩定義，完成截面、彎曲屈曲（flexural buckling）及軸力（axial force）／LTB 相互作用（interaction）驗算（check）。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：只把給定已乘分項系數表中的強軸（major axis）端彎矩（bending moment）改為 $+ 88$ ／ $+ 26.4 kN \cdot m$ 。原練習稱這些為「外加」（imposed）端矩，但同時明確指定：把修改視為所給總一階 $x$ 軸彎矩增加 $10 %$ ，軸力（axial force）及 $y$ 軸彎矩不變。按此數值定義，驗算（check）如何改變？

顯示答案及解釋

$x$ 軸端矩比仍為 $- 0.3$ ，所以 $m_{x} = 0.54$ 、 $m^{LT} = 0.48$ 不變。 $M_{x, amp} = M^{LT} = 1.08 \times 88 = 95.04 kN \cdot m$ 。截面利用率（utilisation ratio）增加 $\frac{8.64}{422.28} \approx 0.02046$ 至 $0.86818$ 。彎曲屈曲（flexural buckling）利用率增加 $\frac{0.54 \times 8.64}{378.12} \approx 0.01234$ 至 $0.96195$ 。LTB 利用率增加 $\frac{0.48 \times 8.64}{377.7675} \approx 0.01098$ 至 $0.91669$ 。全部仍通過，承載力（resistance）性質不變。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）3 個概念 · 3 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。