詳解例題

鋼樑（steel beam）例題 1：完全側向約束（lateral restraint）樑，由荷載算至撓度（deflection）

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

為跨度（span） $7 m$ 、完全側向約束（lateral restraint）的簡支樑（simply supported beam）選擇 S355 型鋼。驗算（check）剪力（shear force）、彎矩（bending moment）、支承處腹板承壓（web bearing）、支承處腹板屈曲（web buckling）及撓度（deflection）。跨中（midspan）集中荷載（point load）為恆載（dead load） $20 kN$ 、外加荷載（imposed load） $60 kN$ ；全跨均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）為恆載 $7 \frac{kN}{m}$ 、外加荷載 $35 \frac{kN}{m}$ 。

原始來源：LectureNotes/Ch 3_Beam.pdf — 第 18 頁、第 19 頁、第 20 頁、第 21 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

物理量	已知、查表（table lookup）或假設（assumption）
跨度（span）及荷載	上方荷載圖給出 $L = 3.5 + 3.5 = 7 m$ 、一個跨中（midspan）集中荷載（point load），以及兩項全跨均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）分量。
承壓（Bearing）	題目給出 $b_{1} = 160 mm$ 、 $a_{e} = 80 mm$ 、 $b_{e} = 0$ 。受載翼緣（flange）對題目指定的兩種局部位移均有約束。
側向約束（Lateral restraint）	已知受壓翼緣（compression flange）有完全側向約束（lateral restraint），因此不需驗算（check）構件的側向扭轉屈曲（LTB）。
撓度（deflection）	講師假設（assumption）有脆性（brittleness）飾面，只用未乘分項系數的外加荷載（imposed load）；限值 $\frac{L}{360}$ 。 $E = 205,000 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
截面性質（section properties）	查 Data File 第 9–10 頁的 $533 \times 210 \times 82$ UB 列。來源解答（solution）第 19 頁亦列出數值。

計算前：辨認題型與選擇策略

先學會區分荷載與內力：荷載施加在樑上；剪力（shear force） $V$ 及彎矩（bending moment） $M$ 是樑為承受荷載而產生的內力。由於對稱，兩端反力（reaction）相等。剪力在跨中（midspan）集中荷載（point load）處變號，因此該處彎矩最大。完全側向約束（lateral restraint）使本題不用驗算（check） LTB，但仍須驗算腹板（web）局部效應。先按塑性截面模數（plastic section modulus）選試算型鋼，再逐一核實其餘要求。

1. 各荷載分量分別乘分項系數

淺白解說（Simple explanation）：樓板荷載怎樣走到樑？（Load path）

每條樑收集屬於自己的那條樓板帶所承受的荷載。

按平面圖找分擔寬度（Tributary width）。
面荷載（Area load）× 分擔寬度 = 線荷載（Line load）。
支承另一條樑時，接收的是該樑的端反力（End reaction）。

注意（Remember）：端反力形成集中荷載（Point load），不能直接當作均佈荷載（UDL）。

相關概念與完整方法（Full method）

P = 1.4 G_{point} + 1.6 Q_{point} = 1.4 \times 20 + 1.6 \times 60 = 28 + 96 = 124 kN

w = 1.4 g + 1.6 q = 1.4 \times 7 + 1.6 \times 35 = 9.8 + 56 = 65.8 \frac{kN}{m}

題目給出的均佈恆載（dead load）就是指定設計輸入值，不要再另加假定自重（self-weight）。未乘分項系數的外加荷載（imposed load） $60 kN$ 及 $35 \frac{kN}{m}$ 要保留供獨立的撓度（deflection）計算使用。

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
本示意使用課程重力組合 $1.4 G + 1.6 Q$ ；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
示意取 $G = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ ；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

2. 反力（reaction）、剪力（shear force）及最大彎矩（maximum bending moment）

極限總荷載：

124 + 65.8 \times 7 = 584.6 kN

R_{A} = R_{B} = \frac{584.6}{2} = 292.3 kN

跨中緊靠左側：

V = 292.3 - 65.8 \times 3.5 = 62 kN

跨中緊靠右側：

V = 62 - 124 = - 62 kN

右支承緊靠左側：

V = - 62 - 65.8 \times 3.5 = - 292.3 kN

M_{mid} = R_{A} \times 3.5 - \frac{w \times {3.5}^{2}}{2}

= 292.3 \times 3.5 - \frac{65.8 \times 12.25}{2}

= 1,023.05 - 403.025 = 620.025 kN \cdot m

等價地， $\frac{P L}{4} + \frac{w L^{2}}{8} = \frac{124 \times 7}{4} + \frac{65.8 \times 49}{8} = 217 + 403.025 = 620.025 kN \cdot m$ 。來源取整後標為 $620$ 。均佈荷載（uniformly distributed load, UDL）使剪力（shear force）呈直線變化、彎矩（bending moment）呈拋物線；集中荷載（point load）令剪力跳變 $124 kN$ ，但彎矩不會跳變。

動畫解說（Animation lab）反力與彎矩平衡（Equilibrium）2 個概念 · 2 個原式

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本示意為 6 m 簡支樑及 60 kN 集中荷載，並非原題的荷載圖。
$R_{B} \times L = P \times a$ 。荷載越靠近 B， $R_{B}$ 越大。
$R_{A} = P - R_{B}$ 。兩個向上反力的總和必須等於 P。
荷載在跨中時， $R_{A} = R_{B} = 30 kN$ ；端彎矩、均布荷載及懸臂段均須加入各自的平衡項。

3. 選試算型鋼，讀取正確表格欄位

先假設翼緣厚

T \leq 16 mm

，試用

p_{y} = 355 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

S_{x, required} = \frac{M}{p_{y}} = \frac{620.025 \times 10^{6}}{355}

= 1,746,549 {mm}^{3} = 1,746.549 {cm}^{3}

試選

533 \times 210 \times 82

UB：

S_{x} = 2,059 {cm}^{3} > 1,746.549

。

表格欄位	所選列數值
總深 $D$ ；腹板（web）厚 $t$ ；翼緣（flange）厚 $T$ ；根部圓角（root radius）半徑 $r$ ；腹板淨高（clear web depth） $d$ （ $mm$ ）	$528.3; 9.6; 13.2; 12.7; 476.5$
翼緣（flange） $\frac{b}{T}$ ；腹板（web） $\frac{d}{t}$	$7.91; 49.6$
強軸（major axis）二次矩 $I_{x}$ ；彈性截面模數（elastic section modulus） $Z_{x}$ ；塑性截面模數（plastic section modulus） $S_{x}$	$47,540 {cm}^{4}; 1,800 {cm}^{3}; 2,059 {cm}^{3}$

$533$ 及 $210$ 是標稱截面代號（section designation），並非準確的總深 $D$ 及翼緣寬度（flange width）。表中 $T = 13.2 mm$ 確認最初 $p_{y} = 355$ 的假設（assumption）成立。豎向荷載使樑繞 $x - x$ 彎曲，所以選強軸（major axis）欄位。這是講師採用的合適試算截面，未有證明它是最輕的最佳選擇。

動畫解說（Animation lab）按正確條件查表（Table lookup）1 個概念 · 4 個原式

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先確認要查材料強度、截面性質、屈曲強度，還是彎矩係數。
截面規格、鋼級、厚度組別、曲線及軸向是不同查表條件，須逐一核對。
$cm^{2}$ 、 $cm^{3}$ 及 $cm^{4}$ 的換算次方不同；相鄰欄位的數值不可互換。
只在同一適用欄內的上下兩列之間插值；所有實際表值均以原頁為準。

4. 判定截面類別（section class）及腹板（web）剪切驗算（check）分支

淺白解說（Simple explanation）：薄板會先起皺（Local buckling）

整根鋼構件尚未發揮預期承載力，薄板部分可能已先起皺。

分別按定義算翼緣（Flange）及腹板（Web）的寬厚比。
把各比值與適用截面類別（Section class）界限比較。
較不利板件決定整個截面的類別。

注意（Remember）：彎曲（Bending）與均勻受壓（Uniform compression）的界限不同。

相關概念與完整方法（Full method）

ε = \sqrt{\frac{275}{p_{y}}} = \sqrt{\frac{275}{355}} = 0.880141

Class 1 翼緣限值：

9 ε = 7.92127; \frac{b}{T} = 7.91 \leq 7.92127

純彎曲 Class 1 腹板限值：

80 ε = 70.4113; \frac{d}{t} = 49.6 \leq 70.4113

兩部分均為 Class 1，因此是塑性截面。腹板剪切屈曲界限：

70 ε = 61.6099; \frac{d}{t} = 49.6 < 61.6099

翼緣（flange）分類接近限值，要用表中比值並保留足夠精度。腹板（web）的 $80 ε$ 彎曲分類限值與 $70 ε$ 剪切屈曲（buckling）界限是不同驗算（check）。本題不用另外計算腹板剪切屈曲，但仍須在下文核對集中反力（reaction）引起的腹板局部屈曲（local buckling）。

動畫解說（Animation lab）薄板為何局部屈曲（Section class）2 個概念 · 1 個原式

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翼緣外伸部分與腹板的寬度、厚度及邊界支承不同。
較薄板件可能先局部起皺，早於整條構件失穩。
第 1 類可提供塑性轉動，第 2 類可達塑性承載力，第 3 類達彈性承載力，第 4 類須用有效截面性質。
依原表限值及應力分布驗算所有相關受壓板件，再取較不利類別；圖中變形為定性示意。

5. 抵抗最大剪力（shear force）

A_{v} = t D = 9.6 \times 528.3 = 5,071.68 {mm}^{2}

V_{c} = \frac{p_{y} A_{v}}{\sqrt{3}}

= \frac{355 \times 5,071.68}{\sqrt{3}} = 1,039,488 N = 1,039.488 kN

V_{\max} = 292.3 kN < 1,039.488 kN

通過。

動畫解說（Animation lab）觀察腹板剪力（Shear resistance）1 個概念 · 1 個原式

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內部剪力使切口兩側保持垂直平衡。
課程常見工字截面主要由腹板提供剪切面積，但須採指定定義。
較薄腹板可能需要先按另一剪切屈曲程序驗算，不能直接沿用簡式。
在課程適用條件下使用 $V_{c} = \frac{p _{y} A _{v}}{3}$ ；應先把 N 換成 kN，再與設計剪力比較。

6. 核對同一截面的剪力（shear force），再驗算（check）彎矩（bending moment）

最大彎矩截面上，

| V | = 62 kN

。

0.6 V_{c} = 0.6 \times 1,039.488 = 623.693 kN

62 < 623.693

，適用低剪力彎曲公式。

p_{y} S_{x} = \frac{355 \times 2,059 \times 10^{3}}{10^{6}} = 730.945 kN \cdot m

1.2 p_{y} Z_{x} = \frac{1.2 \times 355 \times 1,800 \times 10^{3}}{10^{6}} = 766.8 kN \cdot m

M_{c} = \min (730.945, 766.8) = 730.945 kN \cdot m

620.025 < 730.945

，抗彎通過。

本題連最大剪力（shear force）亦低於 $0.6 V_{c}$ ，因此所有截面均屬低剪力（low shear）。兩個抗彎承載力（moment resistance）式要取較小者；第二式是上限，不能挑較大值。

動畫解說（Animation lab）截面中的壓力與拉力（Bending）2 個概念 · 1 個原式

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正彎矩使上翼緣受壓、下翼緣受拉；負彎矩時則相反。
彈性彎曲應力隨離中性軸的距離變化： $σ = \frac{M y}{I}$ 。
截面類別決定可用彈性、塑性還是有效截面性質。
採用正在驗算截面的剪力；其他位置的最大剪力不一定同時出現。

7. 支承處腹板承壓（web bearing）

淺白解說（Simple explanation）：力集中在小地方，會怎樣？

同一個力壓在窄接觸面，局部會比攤開施力更吃力。

找實際剛性承壓長度（Stiff bearing length）及距端部位置。
局部壓潰（Bearing）與腹板屈曲（Web buckling）分別驗算。
每條公式都要滿足其約束條件（Restraint conditions）。

注意（Remember）：缺少接觸尺寸（Contact dimensions）時，不能靠圖面比例猜測。

相關概念與完整方法（Full method）

k = T + r = 13.2 + 12.7 = 25.9 mm

n = \min (2 + \frac{0.6 b_{e}}{k}, 5) = \min (2 + 0, 5) = 2

b_{1} + n k = 160 + 2 \times 25.9 = 211.8 mm

P_{bw} = (b_{1} + n k) t p_{yw}

= 211.8 \times 9.6 \times 355 = 721,814.4 N = 721.8144 kN

721.8144 > 292.3

，支承承壓通過。

腹板（web）厚 $9.6 mm$ ，同樣得 $p_{yw} = 355$ 。這是端部承壓（bearing），所以 $b_{e} = 0$ 時 $n = 2$ ；若誤用內部承壓值 $5$ ，會不當增加承載力（resistance）。

動畫解說（Animation lab）集中力如何傳入腹板（Web bearing）1 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

集中反力先經承壓／接觸範圍傳入。
翼緣及根部幾何使荷載在進入腹板前擴散。
相同力下，較闊的有效承壓範圍可降低局部應力。
端距、剛性承壓長度及約束條件必須來自原題；滑桿只供示意。

8. 支承處腹板屈曲（web buckling）

0.7 d = 0.7 \times 476.5 = 333.55 mm

a_{e} = 80 mm < 333.55 mm

，須用端部折減分支。端部系數：

\frac{80 + 333.55}{1.4 \times 476.5} = \frac{413.55}{667.1} = 0.619922

腹板系數：

\frac{25 \times 0.880141 \times 9.6}{\sqrt{211.8 \times 476.5}}

= \frac{211.2338}{\sqrt{100,922.7}} \approx 0.664919

P_{x} = [\frac{413.55}{667.1}] \times [\frac{211.2338}{\sqrt{100,922.7}}] \times 721.8144

= 297.531 kN > 292.3 kN

通過，但餘量很小。

題目明確提供兩項局部翼緣（flange）約束，因此不用 $P_{xr}$ 折減。反力（reaction）用去此承載力（resistance）的 $98.24 %$ ，所以支承處腹板屈曲（web buckling）是最接近限值的強度驗算（check）。不要混淆給定的 $a_{e}$ 與 $b_{e}$ 。

動畫解說（Animation lab）腹板如短柱般屈曲（Web buckling）1 個概念 · 1 個原式

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集中力使兩翼緣之間的局部腹板受壓。
薄腹板可能先向側面屈曲，早於局部壓潰。
原教材分開考慮轉動約束及相對側向位移約束。
腹板承壓及腹板屈曲是獨立驗算；須選假設條件已符合的原公式。

9. 按指定正常使用荷載（service load）情況驗算（check）撓度（deflection）

淺白解說（Simple explanation）：樑下垂多少？（Deflection）

強度問會否破壞；撓度問移動了多遠。

用題目指定的正常使用荷載（Serviceability load case）。
選符合支承及荷載位置的撓度公式。
荷載、長度、E 和 I 的單位要互相配合。

注意（Remember）：最大撓度（Maximum deflection）不一定在跨中（Midspan）。

相關概念與完整方法（Full method）

P_{service} = 60 kN = 60,000 N; w_{service} = 35 \frac{kN}{m} = 35 \frac{N}{mm}

L = 7,000 mm; I_{x} = 47,540 \times 10^{4} = 475,400,000 {mm}^{4}

δ_{P} = \frac{P L^{3}}{48 E I}

= \frac{60,000 \times {7,000}^{3}}{48 \times 205,000 \times 475,400,000} = 4.39938 mm

δ_{w} = \frac{5 w L^{4}}{384 E I}

= \frac{5 \times 35 \times {7,000}^{4}}{384 \times 205,000 \times 475,400,000} = 11.22757 mm

δ_{total} = 4.39938 + 11.22757 = 15.62695 mm

限值：

\frac{L}{360} = \frac{7,000}{360} = 19.44444 mm

15.62695 < 19.44444

，在假設有脆性飾面的情況下通過。

由於對稱，兩項荷載引起的最大撓度（deflection）均在跨中（midspan），所以可把這兩個最大值相加。所選 $533 \times 210 \times 82$ UB 在指定模型下通過全部要求的驗算（check）。

動畫解說（Animation lab）觀察剛度與撓度（Deflection）1 個概念 · 1 個原式

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選用指定 SLS 荷載、跨度及支承條件；此示意採全跨均布荷載。
樑受荷後彎曲；圖中變形放大，以便觀察。
簡支樑全跨均布荷載： $δ = \frac{5 w L ^{4}}{384 E I}$ 。保持 w、E、I 不變，L 加倍便使 δ 增至 16 倍。
讀數示意採 $w = 10 \frac{N}{mm}$ 、 $E = 205000 \frac{N}{mm ^{2}}$ 、 $I = 200000000 mm^{4}$ ；容許值須按原表的飾面及支承類別選取。

精簡考試答案（exam answer）

採用 S355 $533 \times 210 \times 82$ UB，Class 1。極限 $P = 124 kN$ 、 $w = 65.8 \frac{kN}{m}$ 、 $R = V_{\max} = 292.3 kN$ 、 $M_{\max} = 620.025 kN \cdot m$ 。 $V_{c} = 1,039.49 kN$ ； $M_{c} = \min (730.945, 766.8) = 730.945 kN \cdot m$ 。 $P_{bw} = 721.814 kN$ ； $P_{x} = 297.531 kN > 292.3$ 。外加荷載（imposed load）撓度（deflection） $δ = 15.627 mm < \frac{L}{360} = 19.444 mm$ 。足夠；支承腹板屈曲（web buckling）最接近強度限值。

應避免的錯誤

指定撓度（deflection）驗算（check）中，不要再把外加荷載（imposed load）乘分項系數。
用表格中的實際尺寸，不要把 $533 mm$ 當作 $D$ 。
與兩個抗彎承載力（moment resistance）式中較小者比較。
不要把腹板（web）剪切長細比（slenderness ratio）驗算（check）與集中荷載（point load）引起的腹板屈曲（web buckling）混為一談。

處理陌生變式的程序

辨認豎向支承、跨度（span）、側向約束（lateral restraint）及各荷載位置。
分開恆載（dead load）及外加荷載（imposed load），建立所需極限狀態（limit state）及正常使用荷載（service load）工況。
從平衡方程（equilibrium equation）求反力（reaction）及最大剪力（shear force）／彎矩（bending moment），並標明單位。
選取截面表（section tables）型號行，確認隨厚度（thickness）而變的強度，並對翼緣（flange）及腹板（web）分類。
驗算（check）剪力（shear force）及彎矩（bending moment）；若只在個別位置設側向約束（lateral restraint），另作分段 LTB 驗算。
完成題目要求的腹板（web）及撓度（deflection）驗算（check），說明控制結果及欠缺資料。

獨立自我測試

自己試一試。自擬變式：截面及極限荷載（ultimate load）不變，但把剛性承壓（stiff bearing）寬度減至 $140 mm$ ，承壓（bearing）區置於構件端部（ $a_{e} = 70 mm$ 、 $b_{e} = 0$ ）。支承處腹板（web）仍足夠嗎？

提示（hint）

這個改變會同時影響承壓（bearing）承載力（resistance）及端部折減系數。

顯示答案及解釋

重算 $n = 2$ 、 $b_{1} + n k = 191.8 mm$ 。 $P_{bw} = \frac{191.8 \times 9.6 \times 355}{1,000} = 653.6544 kN$ $P_{x} = [\frac{70 + 333.55}{667.1}] \times [\frac{25 \times \sqrt{\frac{275}{355}} \times 9.6}{\sqrt{191.8 \times 476.5}}] \times 653.6544 \approx 276.3 kN$ 低於 $292.3 kN$ 。承壓（bearing）通過，但腹板屈曲（web buckling）不通過，不能直接沿用原截面的結論。

動畫解說（Animation lab）集中力如何傳入腹板（Web bearing）2 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

集中反力先經承壓／接觸範圍傳入。
翼緣及根部幾何使荷載在進入腹板前擴散。
相同力下，較闊的有效承壓範圍可降低局部應力。
端距、剛性承壓長度及約束條件必須來自原題；滑桿只供示意。