詳解例題

Assignment 2 Q1：承受偏心（eccentricity）反力（reaction）的簡單結構 UC

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

驗算（check）圖示樓面節點下方的 Class 1 $356 \times 406 \times 287$ UC S355 鋼柱（steel column）。實際高度 $4 m$ ；兩軸有效長度（effective length）均為 $3.4 m$ ；上下柱剛度相等；所有彎矩系數（moment factor）為 $1$ 。一階已乘荷載系數的力：中央 $P = 4,500 kN$ ； $P_{x 1} = 600 kN$ 距 $y - y$ 軸 $220 mm$ ； $P_{y 1} = 900 kN$ 距 $x - x$ 軸 $320 mm$ ；相對一側 $P_{y 2} = 850 kN$ ，距離 $280 mm$ 。放大系數 $1.1$ 。

原始來源：Assignment/AY2627s 1-CON4334-Assignment 2.pdf — 第 1 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

來源標為 Figure Q3 的圖其實屬於 Q1。這是 UC 截面平面圖；黑點是豎向壓縮反力（reaction）位置。

P_{y 1}

與

P_{y 2}

在

x - x

軸相對兩側，所以彎矩（bending moment）方向相反。唯一的

600 kN

反力在

y - y

軸左方

220 mm

。

P

在形心（centroid），不產生偏心（eccentricity）彎矩。開啟原尺寸圖片

2023 試卷實體第 22 頁／Data 16：準確的

356 \times 406 \times 287

尺寸列。UNIVERSAL COLUMNS＝通用柱（universal column, UC）截面；DIMENSIONS＝尺寸。

D

總高、

B

總寬、

t

腹板（web）厚、

T

翼緣（flange）厚、

r

根部圓角（root radius）半徑、

d

圓角間淨高；

\frac{b}{T}

及

\frac{d}{t}

是局部屈曲（local buckling）寬厚比（width-to-thickness ratio）。

C

為端部淨空；切口欄用

N

及

n

，大小寫不同。圖示

b

是翼緣外伸寬。本題所選列的線質量為

287.1 \frac{kg}{m}

；其餘尺寸

D = 393.6 mm

、

B = 399.0 mm

、

r = 15.2 mm

、

C = 12 mm

、

N = 200 mm

、

n = 52 mm

。表面積按每米及每公噸分列，本列依次為

2.31 m^{2}

及

8.05 m^{2}

。厚度（thickness）、淨深及寬厚比在下方選列數值表逐項列出。開啟原尺寸圖片

2023 試卷實體第 23 頁／Data 17：準確的

356 \times 406 \times 287

截面性質（section properties）列。PROPERTIES＝截面性質。各對欄按

x - x

／

y - y

軸列出面積二次矩（second moment of area）、迴轉半徑（radius of gyration）、彈性（elasticity）及塑性截面模數（plastic section modulus）。其後為屈曲參數（buckling parameter）

u

、扭轉指數

x

、翹曲（warping）常數

H

、扭轉常數

J

及面積

A

；按各欄所印單位讀取。下方所選列的中文數值表與計算提供可選取公式。原表單位：二次面積矩為

{cm}^{4}

，迴轉半徑為

cm

，兩種截面模數（section modulus）為

{cm}^{3}

，翹曲常數為

{dm}^{6}

，扭轉常數為

{cm}^{4}

，面積為

{cm}^{2}

；屈曲參數及扭轉指數無量綱（dimension）。本列補充值為

I_{x} = 99880 {cm}^{4}

、

I_{y} = 38680 {cm}^{4}

、

H = 19.3 {dm}^{6}

、

J = 1441 {cm}^{4}

，其餘設計所用性質見下表。開啟原尺寸圖片

讀圖並整理已知資料（given data）

查表（table lookup）：2023 試卷實體第 22–23 頁（印刷 Data Pages 16–17），準確選取 $356 \times 406 \times 287$ UC 列。分開讀尺寸／局部寬厚比（width-to-thickness ratio）表及截面性質（section properties）表。表中草圖 $x - x$ 軸水平穿腹板（web）， $y - y$ 軸豎向穿其中央。

截面性質（section properties）	數值與單位
翼緣（flange）／腹板厚度（web thickness）／兩根部之間的腹板（web）淨深度	$T = 36.5 mm$ 、 $t = 22.6 mm$ 、 $d = 290.2 mm$ 。
局部寬厚比（width-to-thickness ratio）	$\frac{b}{T} = 5.47$ 、 $\frac{d}{t} = 12.8$ 。
迴轉半徑（radius of gyration）（由 $cm$ 換算）	$r_{x} = 16.5 \times 10 = 165 mm$ ； $r_{y} = 10.3 \times 10 = 103 mm$ 。
面積（Area）	$A = 366 {cm}^{2} = 36600 {mm}^{2}$ 。
彈性截面模數（elastic section modulus）	$Z_{x} = 5075 {cm}^{3}$ ； $Z_{y} = 1939 {cm}^{3}$ 。
塑性截面模數（plastic section modulus）	$S_{x} = 5812 {cm}^{3}$ ； $S_{y} = 2949 {cm}^{3}$ 。
LTB 參數	$u = 0.835$ 、 $x = 10.2$ ；兩者均無量綱（dimension）。

計算前：辨認題型與選擇策略

把軸力（axial force）總和與節點彎矩（bending moment）平衡分開。所有豎向反力（reaction）均增加下柱壓力（compressive force）。相反方向的偏心（eccentricity）反力彎矩先相減，再因上下柱剛度相等而平均分配淨彎矩。軸壓屈曲（buckling）用 $3.4 m$ ；簡單結構 LTB 用實際 $4 m$ 。

(a) 總軸力（axial force）、節點彎矩（bending moment）及柱彎矩

F_{lower} = 4,500 + 600 + 900 + 850 = 6,850 kN

M_{x, joint} = \frac{900 \times 320}{1,000} - \frac{850 \times 280}{1,000}

= 288 - 238 = 50 kN \cdot m

| M_{y, joint} | = \frac{600 \times 220}{1,000} = 132 kN \cdot m

上下柱

\frac{I}{L}

相等，各承受節點彎矩的

\frac{1}{2}

。

M_{x, first} = \frac{50}{2} = 25 kN \cdot m

M_{y, first} = \frac{132}{2} = 66 kN \cdot m

M_{x, amp} = M_{LT} = 1.1 \times 25 = 27.5 kN \cdot m

M_{y, amp} = 1.1 \times 66 = 72.6 kN \cdot m

同時列出一階 $25$ ／ $66$ 及放大後 $27.5$ ／ $72.6 kN \cdot m$ ，使 (a) 的答案明確。不要把 $6,850 kN$ 軸力（axial force）總和分給上下柱。題目指中央 $P$ 已包括自重（self-weight），不另加自重。

動畫解說（Animation lab）偏心反力與剛度分配（Moment sharing）3 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

即使樑端採名義鉸接，反力仍可能偏離鋼柱中心。
$M = R e$ 。相反側反力可抵消部分帶正負號彎矩，但兩者仍增加軸向壓力。
課程簡化模型按上下柱的 $\frac{I}{L}$ 比例分配節點彎矩。
相關剛度相同才各分一半；沒有上柱的屋頂節點是另一種情況。

(b) 截面承載力（resistance）

淺白解說（Simple explanation）：鋼柱要過不只一道關

一個切面夠強，不代表整根構件不會屈曲。

先驗算截面受壓加彎曲（Cross-section interaction）。
再做各項構件屈曲（Member buckling）共同作用驗算。
彎矩、係數及抗力都要放回指定的公式。

注意（Remember）：三項驗算的抗力分母（Resistance denominators）不能互換。

相關概念與完整方法（Full method）

題目容許採 Class 1。所附截面性質（section properties）列亦支持此分類；核對材料厚度（thickness）區間及保守局部限值：

T = 36.5 mm

，按 S355 厚度區間取

p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

。

ε = \sqrt{\frac{275}{345}} = 0.892805

翼緣

\frac{b}{T} = 5.47

；Class 1 限值

9 ε = 8.035248

；Class 2 限值

10 ε = 8.928054

。翼緣屬 Class 1。腹板應力參數：

r_{1} = \frac{F}{d t p_{y}} = \frac{6850 \times 1,000}{290.2 \times 22.6 \times 345}

限於

0 \leq r_{1} \leq 1

後取

1.000000

。對任何在此範圍的

r_{1}

，保守 Class 1 腹板限值為

40 ε = 35.712215

。

\frac{d}{t} = 12.8 < 35.712215

，腹板符合較嚴格界限。整體屬 Class 1；採受上限限制的塑性截面承載力。

講義 Class 1 組合應力（stress）腹板（web）限值 $\frac{80 ε}{1 + r_{1}}$ 不會低於 $40 ε$ ，因為 $r_{1} \leq 1$ 。採用此較嚴格界限，既保守，也避免在沒有依據下宣告塑性（plasticity）分類。翼緣（flange）仍須獨立驗算（check）。

在同一截面，壓力（compressive force）及彎矩（bending moment）共用材料承載能力。使用已放大彎矩，以及受上限限制的塑性（plasticity）抗彎承載力（moment resistance）。總和不得超過 $1$ ；以下各項均無量綱（dimension）。

A_{g} p_{y} = \frac{366 \times 100 \times 345}{1,000} = 12627 kN

M_{x, amp} = 1.1 \times 25 = 27.5 kN \cdot m

M_{y, amp} = 1.1 \times 66 = 72.6 kN \cdot m

M_{cx} = \min (\frac{345 \times 5812}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 5075}{1,000})

= \min (2005.14, 2101.05) = 2005.14 kN \cdot m

M_{cy} = \min (\frac{345 \times 2949}{1,000}, \frac{1.2 \times 345 \times 1939}{1,000})

= \min (1017.4, 802.746) = 802.746 kN \cdot m

截面比值：

\frac{6850}{12627} + \frac{27.5}{2005.14} + \frac{72.6}{802.746} = 0.646643

通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）5 個概念 · 4 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

(c) 兩項構件屈曲（buckling）相互作用（interaction）

淺白解說（Simple explanation）：長柱為何未壓碎就先彎走？

從兩端壓一把細長尺，它可能先向側面彎曲。

每一軸都找有效長度及迴轉半徑（Radius of gyration）。
分別算兩軸長細比（Slenderness）。
先選正確屈曲曲線（Buckling curve），再求抗力。

注意（Remember）：最後比較抗力；不能只憑長細比大小決定控制軸。

相關概念與完整方法（Full method）

簡單結構：按已知取 $m_{x} = m_{y} = m_{LT} = 1$ 。已指定有效長度（effective length） $3,400 mm$ ，不要再乘 $K$ 系數。

Table 8.7：熱軋（hot-rolled） H 形（UC），最大厚度（thickness） $\leq 40 mm$ ，繞 $x$ 軸用曲線 $b$ ，繞 $y$ 軸用曲線 $c$ 。使用 Data File 第 8 頁的 $p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 欄。兩軸曲線不同，因此不能只看長細比（slenderness ratio）便判定控制軸。

L_{Ex} = L_{Ey} = 3400 mm

（已知有效長度）。

λ_{x} = \frac{3400}{165} = 20.606061

λ_{y} = \frac{3400}{103} = 33.009709

x

軸曲線 b：

20

列為

339

；

25

列為

332 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{20.606061 - 20}{25 - 20} = 0.121212

p_{c} = 339 + 0.121212 \times (332 - 339) = 338.151515 \frac{N}{{mm}^{2}}

y

軸曲線 c：

30

列為

315

；

35

列為

305 \frac{N}{{mm}^{2}}

。內插比例：

\frac{33.009709 - 30}{35 - 30} = 0.601942

p_{c} = 315 + 0.601942 \times (305 - 315) = 308.980583 \frac{N}{{mm}^{2}}

P_{cx} = \frac{A p_{cx}}{10} = \frac{366 \times 338.151515}{10} = 12376.345455 kN

P_{cy} = \frac{366 \times 308.980583}{10} = 11308.689320 kN

P_{c} = \min (P_{cx}, P_{cy}) = 11308.689320 kN

構件相互作用（interaction）使用彈性（elasticity）彎矩（bending moment）分母 $p_{y} Z$ ，即使截面驗算（check）使用塑性截面模數（plastic section modulus）亦然。此處使用已放大彎矩。

M_{ex} = \frac{345 \times 5075}{1,000} = 1750.88 kN \cdot m

M_{ey} = \frac{345 \times 1939}{1,000} = 668.955 kN \cdot m

\frac{F}{P_{c}} + \frac{m_{x} M_{x, amp}}{M_{ex}} + \frac{m_{y} M_{y, amp}}{M_{ey}}

= \frac{6850}{11308.689320} + \frac{1 \times 27.5}{1750.88} + \frac{1 \times 72.6}{668.955}

= 0.729963

通過。

簡單結構（simple construction）特別規則： $\frac{0.5 L}{r_{y}}$ 中用實際層高 $L$ ；軸壓有效長度（effective length）是另一個量。

λ_{LT} = \frac{0.5 \times 4000}{103} = 19.417476

查 Data File 第 5 頁 Table 8.3a 的 $p_{y} = 345$ 欄：

計得

λ_{LT} = 19.417476

，低於首個印刷列

25

。保守採較大細長比

25

，不作外推：

p_{b} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}

，亦不超過材料設計強度。

M_{b} = p_{b} S_{x} = \frac{345.000000 \times 5812}{1,000} = 2005.140000 kN \cdot m

課程 Eq.8.81 的最後一項使用一階弱軸（minor axis）彎矩（bending moment）。 $M^{LT}$ 是指定的已放大強軸（major axis）值，不可再放大。軸力（axial force）分母為 $P_{cy}$ 。

\frac{F}{P_{cy}} + \frac{m_{LT} M_{LT}}{M_{b}} + \frac{m_{y} M_{y, first}}{M_{ey}}

= \frac{6850}{11308.689320} + \frac{1 \times 27.5}{2005.140000} + \frac{1 \times 66}{668.955}

= 0.718105

通過。

$p_{y} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ ； $P_{cx} = 12376.345 kN$ 、 $P_{cy} = 11308.689 kN$ ； $M_{cx} = 2005.140 kN \cdot m$ 、 $M_{cy} = 802.746 kN \cdot m$ 。 $M_{b} = 2005.140 kN \cdot m$ 。比值：截面 $0.646643$ ；彎曲屈曲（flexural buckling） $0.729963$ ；軸壓／LTB $0.718105$ 。三項要求的強度驗算（check）全部通過。

計得簡單結構 $λ_{LT} = 19.417$ ，低於 Table 8.3a 首個印刷列 $25$ 。保守讀較細長的 $25$ 列，得 $p_{b} = 345 \frac{N}{{mm}^{2}}$ ，等於材料上限，無須外推。三項要求的驗算（check）全部通過。

動畫解說（Animation lab）截面足夠不等於構件穩定（Column checks）6 個概念 · 17 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

把軸向壓力及雙向彎矩按指定截面承載力組合。
整條構件還受有效長度及屈曲曲線影響。
此式有自己的彎矩係數及抗彎承載力，不能直接照抄截面驗算。
彈性、塑性及屈曲承載力不能互換；須核對三個原式及各自的一階／放大彎矩。

精簡考試答案（exam answer）

(a) $F = 6,850 kN$ ；節點淨彎矩（bending moment） $M_{x} = 50$ ／ $M_{y} = 132$ ；下柱一階 $25$ ／ $66$ ，放大後 $27.5$ ／ $72.6 kN \cdot m$ 。Class 1， $p_{y} = 345$ ；曲線 b／c； $L_{E} = 3.4 m$ ，實際 $L = 4 m$ ；所有 $m = 1$ 。

應避免的錯誤

現有資料表沒有所需列時，不要以名稱相近的 $305$ UC 代替。
不要把相反方向的偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）相加。
不要把軸力（axial force）減半。
已給有效長度（effective length）時，不要再乘 $0.85$ 。

處理陌生變式的程序

找準確截面性質（section properties）列；有需要時查所附補充資料。
合計壓力（compressive force），按正負方向平衡節點彎矩（bending moment），再按剛度比例分配。
只放大一次，然後驗算（check）截面。
各軸採其迴轉半徑（radius of gyration）／曲線，並用正確的彎矩（bending moment）分母。
採簡單結構 LTB 長度規則，報告每項驗算（check）。

獨立自我測試

自己試做。自編變式： $P_{y 2}$ 由 $850$ 增至 $950 kN$ 。繞 $x$ 軸的彎矩（bending moment）是否必定增加？

顯示答案及解釋

不一定。節點淨彎矩（bending moment） $M_{x} = 900 \times 0.320 - 950 \times 0.280 = 22 kN \cdot m$ ，所以下柱一階 $M_{x}$ 變為 $11 kN \cdot m$ ，放大後 $M_{x} = 12.1 kN \cdot m$ 。軸力（axial force）增至 $6,950 kN$ 。相反方向反力（reaction）的淨彎矩減少，但壓力（compressive force）增加；必須重新計算所有相互作用（interaction）。

動畫解說（Animation lab）偏心反力與剛度分配（Moment sharing）4 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

即使樑端採名義鉸接，反力仍可能偏離鋼柱中心。
$M = R e$ 。相反側反力可抵消部分帶正負號彎矩，但兩者仍增加軸向壓力。
課程簡化模型按上下柱的 $\frac{I}{L}$ 比例分配節點彎矩。
相關剛度相同才各分一半；沒有上柱的屋頂節點是另一種情況。