詳解例題

Assignment 1 Q3：單側矩形焊縫（weld）組

展開教學步驟旁的「動畫解說（Animation lab）」，觀看圖解或逐步讀取原式。模型為示意，原題答案完整保留。

想先看簡單圖解？可展開難點旁的「淺白解說（Simple explanation）」。這些補充不會取代原有完整推導。

求牛腿四條焊接邊所需角焊縫（fillet weld）焊腳（fillet-weld leg）。單塊側板承受特徵恆載（dead load） $140 kN$ 及外加荷載（imposed load） $200 kN$ 。鋼材 S355、焊條 Class 42；矩形焊縫（weld）組寬 $340 mm$ 、高 $560 mm$ ；荷載距焊縫組中心線的偏心距（eccentricity）為 $420 mm$ 。

原始來源：Assignment/AY2627s 1-CON4334-Assignment 1.pdf — 第 2 頁。標為已知（given）的值來自題目或圖；查表（lookup）值來自指定表格；計算（calculated）值由以下步驟求得；假設（assumptions）均會明確說明。

讀圖並整理已知資料（given data）

物理量	來源／類型
$P$	計得極限荷載（ultimate load） $1.4 \times 140 + 1.6 \times 200$ ；雖然引言概括稱「design load」（設計荷載（design load）），但分別標為 dead／live 的荷載按特徵值處理。
幾何（geometry）	已知 $B = 340$ 、 $H = 560$ 、 $e = 420 mm$ ；按矩形對稱性計得角點相對形心（centroid）座標 $x = \pm 170$ 、 $y = \pm 280 mm$ 。
焊縫（weld）模型	課程彈性（elasticity）線焊縫（weld）法（elastic line-weld method）；連續封閉矩形沿周邊採相同喉厚（throat thickness）。S355／Class 42 表給 $p_{w} = 250 \frac{N}{{mm}^{2}}$ 。
未提供的輸入資料	未給牛腿板厚及柱翼緣厚度（flange thickness），故不能以數值確認最小／最大焊腳（weld leg）的構造要求。

計算前：辨認題型與選擇策略

把每單位長度的直接豎向力，與偏心（eccentricity）彎矩（bending moment） $P e$ 產生的扭轉線力合成。扭轉力沿切線方向；最不利角點的一個豎向分量與直接剪力（direct shear）相加，再與水平分量用畢氏定理合成。使用 ${mm}^{3}$ 的線慣性矩（second moment of area），不是 ${mm}^{4}$ 的板面積慣性矩。

1. 形心（centroid）、有效線長及角點座標

B = 340 mm

，

H = 560 mm

。四邊線長：

L = 2 B + 2 H = 680 + 1,120 = 1,800 mm

由對稱性，形心在半寬／半高處。

x_{corner} = \pm \frac{B}{2} = \pm 170 mm

y_{corner} = \pm \frac{H}{2} = \pm 280 mm

課程矩形焊縫（weld）組模型以連續周邊作有效線。不要在連續封閉焊縫每個角另扣 $2 s$ 。若實際製作改為四段各自終止的焊縫，便須按實際有效長度（effective length）重新建立形心（centroid）及慣性矩（second moment of area）模型。

動畫解說（Animation lab）焊縫群是線組（Eccentric weld group）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

2. 極限荷載（ultimate load）及偏心（eccentricity）彎矩（bending moment）

P = 1.4 \times 140 + 1.6 \times 200 = 196 + 320 = 516 kN

M = P e = 516 \times 420 = 216,720 kN \cdot mm

直接豎向線力：

q_{s} = \frac{P}{L} = \frac{516}{1,800} = 0.286666667 \frac{kN}{mm}

$420 mm$ 偏心距（eccentricity）已從形心（centroid）起計。再加 $170 mm$ ，便是重複加入此圖不存在的幾何偏移。

動畫解說（Animation lab）從特徵荷載到設計荷載（Load factors）2 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

G 是永久荷載，Q 是外加荷載；面荷載與線荷載的單位也不同。
本示意使用課程重力組合 $1.4 G + 1.6 Q$ ；原文其他荷載組合仍使用各自的係數。
示意取 $G = 5 \frac{kN}{m ^{2}}$ ；調整 Q，觀察兩種荷載各自的貢獻。
不可直接把此極限狀態（ULS）總荷載代入撓度公式；須遵從指定的正常使用狀態（SLS）荷載。

3. 推導線極慣性矩（polar second moment of area）

淺白解說（Simple explanation）：只把焊縫線算作焊縫

想像鐵線圍成的矩形：中間空白不是額外鐵線。

只計圖上真正存在的焊道（Weld runs）。
用焊道總長及線二次矩（Line second moments）。
在控制位置合成直接力與扭轉力。

注意（Remember）：線二次矩單位是 ${mm}^{3}$ ；板面積的二次矩才是 ${mm}^{4}$ 。

相關概念與完整方法（Full method）

繞水平形心（centroid）軸，兩條豎向焊縫（weld）貢獻 $\frac{2 H^{3}}{12}$ ；位於 $\pm \frac{H}{2}$ 的兩條水平焊縫貢獻 $2 B {(\frac{H}{2})}^{2}$ 。另一軸把 $B$ 與 $H$ 對調。

I_{x, line} = 2 [\frac{H^{3}}{12} + B {(\frac{H}{2})}^{2}]

= 2 [\frac{560^{3}}{12} + 340 \times 280^{2}]

= 2 [14,634,666.666667 + 26,656,000]

= 82,581,333.333333 {mm}^{3}

I_{y, line} = 2 [\frac{B^{3}}{12} + H {(\frac{B}{2})}^{2}]

= 2 [\frac{340^{3}}{12} + 560 \times 170^{2}]

= 2 [3,275,333.333333 + 16,184,000]

= 38,918,666.666667 {mm}^{3}

J_{line} = I_{x} + I_{y} = 121,500,000 {mm}^{3}

必須核對單位： $M$ 的 $kN \cdot mm$ 乘距離的 $mm$ ，再除以 $J$ 的 ${mm}^{3}$ ，得到 $\frac{kN}{mm}$ ，才能與 $\frac{P}{L}$ 合成。

動畫解說（Animation lab）焊縫群是線組（Eccentric weld group）1 個概念 · 1 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

4. 角點合力（resultant force）及所需焊腳（weld leg）

淺白解說（Simple explanation）：先加箭嘴，再算大小（Components）

向東走和向北走，是兩個不同方向。

先定水平、豎向分量的正負號。
同方向分量（Components）各自相加。
互相垂直的兩個總分量，用直角三角形求合力（Resultant）。

注意（Remember）：要找直接力與扭轉分力互相加強的控制角點。

相關概念與完整方法（Full method）

在扭轉分量加強向下剪力的角點：

q_{torsion, vertical} = \frac{M \times 170}{J}

= \frac{216,720 \times 170}{121,500,000} = 0.303229630 \frac{kN}{mm}

q_{vertical, total} = 0.286666667 + 0.303229630 = 0.589896296 \frac{kN}{mm}

| q_{horizontal} | = \frac{M \times 280}{J}

= \frac{216,720 \times 280}{121,500,000} = 0.499437037 \frac{kN}{mm}

合力：

q = \sqrt{{0.589896296}^{2} + {0.499437037}^{2}}

= 0.772926254 \frac{kN}{mm}

每單位長度焊縫承載力：

\frac{0.7 s p_{w}}{1,000} = \frac{0.7 s \times 250}{1,000} = 0.175 s \frac{kN}{mm}

所需焊腳：

s \geq \frac{0.772926254}{0.175} = 4.416721 mm

強度試選

5 mm

角焊縫；承載力：

0.175 \times 5 = 0.875 \frac{kN}{mm}

使用率：

\frac{0.772926254}{0.875} = 0.883344 < 1

強度通過。

$5 mm$ 等焊腳（weld leg）角焊縫（fillet weld）的喉厚（throat thickness）為 $0.7 \times 5 = 3.5 mm$ 。最短邊長 $340 mm$ 遠大於 $40 mm$ 最小有效焊長（effective weld length）尺度；仍採上述連續焊縫（weld）組幾何假設（assumption）。

動畫解說（Animation lab）焊縫群是線組（Eccentric weld group）2 個概念 · 5 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。

精簡考試答案（exam answer）

單板： $P = 516 kN$ 、 $e = 420 mm$ 。四邊 $340 \times 560$ 焊縫（weld）組： $L = 1,800 mm$ 、 $J = 121.5 \times 10^{6} {mm}^{3}$ 。控制角點 $q_{vertical} = 0.5898963$ 、 $q_{horizontal} = 0.4994370$ ，合力（resultant force） $0.7729263 \frac{kN}{mm}$ 。S355／Class 42： $0.175 s \geq 0.7729263$ ，故 $s \geq 4.41672 mm$ ； $5 mm$ 強度通過。最小／最大尺寸及連接構件驗算（check）尚需未提供的板／翼緣厚度（flange thickness）。

應避免的錯誤

明確由單塊側板承受的荷載，不可減半。
不要在 $420 mm$ 上再加半個焊縫（weld）組寬度。
互相垂直的分力不可直接作算術相加。
線焊縫（weld）組不可採平面面積的極慣性矩（polar second moment of area）。

處理陌生變式的程序

讀清荷載由一塊還是兩塊板承受。
定位焊縫（weld）形心（centroid）及實際偏心距（eccentricity）。
計算線長及兩個形心（centroid）軸的線慣性矩（second moment of area）。
在控制角點分解扭轉力，再與直接力合成。
由合力（resultant force）求喉厚（throat thickness）／焊腳（weld leg），再按實際構件厚度（thickness）驗算（check）最小／最大構造尺寸。

獨立自我測試

自己試做。自編變式：保持 $P = 516 kN$ ，偏心距（eccentricity）增至 $500 mm$ 。試選 $5 mm$ 的強度仍足夠嗎？

顯示答案及解釋

$M = 258,000 kN \cdot mm$ 。豎向總值： $\frac{516}{1,800} + \frac{258,000 \times 170}{121,500,000} \approx 0.647654 \frac{kN}{mm}$ 水平值： $\frac{258,000 \times 280}{121,500,000} \approx 0.594568$ 合力（resultant force） $\approx 0.87918 \frac{kN}{mm}$ ，大於 $0.875$ ，所以 $5 mm$ 剛好不通過強度。重新計算所需焊腳（weld leg）的準確值，選較大而符合構造要求的尺寸；缺少的構造資料仍須保留為未解決條件。

動畫解說（Animation lab）焊縫群是線組（Eccentric weld group）1 個概念 · 2 個原式

原教材的補充解說。啟用 JavaScript 即可播放動畫、逐步讀取原式及旋轉 3D 模型；下列文字亦可離線閱讀。

中間是空的；承載力來自焊縫線，不能把整個群組當作實心板。
以線長作形心權重；線二次矩單位為 $mm^{3}$ ，並須加入平行軸項。
直接力流為 $\frac{P}{L}$ ；偏心彎矩加入與形心距離成正比的切向力流。
在各可能最不利角點合併帶正負號分量，再把最大合力與每單位長度喉部承載力比較。